初高中衔接教材-数学.docx

初高中衔接教材
数 学
SHU XUE

第一部目
录
分
现有初高中数学知识存在的“脱节”

第二部分
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

第三部分
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像
和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹
分章节突破

第四部分
专题五 二次函数
专题六 二次函数的最值问题
专题七 不等式
各专题参考答案
专题一 数与式的运算
专题二 因式分解
专题三 一元二次方程根与系数的关系
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

衔接知识点的专题强化训练

现有初高中数学知识存在的“脱节”
第一部分

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
第二部分

1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:；或
2 乘法公式：
⑴平方差公式： ⑵立方差公式：
⑶立方和公式： ⑸完全立方公式：
⑷完全平方公式：、
3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论①当时，方程有唯一 ；②当，时，方程无解③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有两根同号 ③方程有两根异号
④韦达定理及应用：、、
8 函数
(1) 变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的 数轴上的点表示因变量。

(2）一次函数：
①若两个变量,间的关系式可以表示成 （为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。
(3)一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当0， O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0， 0时，则经1、3、4象限；当0， 0时，则经1、2、3象限。④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。
（4）二次函数：
①一般式()对称轴是顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做轴或横轴，铅直的数轴叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设，是直角坐标系内的两点，
①若和关于轴对称，则有。②若和关于轴对称，则有。
③若和关于原点对称，则④若和关于直线对称，则。
⑤若和关于直线对称，则有或。
11 统计与概率：
（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成的形式，其中大于等于1小于10， 是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体 的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。
（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目②折线统计图：能清楚反映事物的 变化情况③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
（4）平均数：对于个数，我们把()叫做这个个数的算术平均数，记为。
（5）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。
（6）中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。
（7）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。
（8）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。
（9）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。
（10）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。
（11）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作（必然事件）；不可能事件发生的概率为，记作（不可能事件）；如果A为不确定事件，那么
分章节突破
第三部分

1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
例1 解不等式：＞4．
解法一：由，得；由，得；
② 若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；
② 若， 不等式可变为， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x；
③ 若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．∴x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若c＝________.
2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）
A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数