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第十四讲 31 基本几何体的投影及尺寸标注课 题：1、平面立体的投影及表面取点2、曲面立体的投影及表面取点课堂类型：讲授教学目的：1、讲解平面立体和曲面立体的种类及其三视图画法 2、讲解在平面立体和圆柱体表面取点、取线的作图方法教学要求：1、能够熟练掌握平面立体和圆柱体的三视图画法2、能够熟练运用利用点所在的面的积聚性法和辅助线法在平面立体和圆柱体表面取点、取线教学重点：1、平面立体和曲面立体的种类及其三视图画法。 2、在平面立体和圆柱体表面取点、取线的作图方法教学难点：在圆柱体表面取点、取线的作图方法教 具：基本体模型：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱体等教学方法：用教学模型辅助讲解。教学过程：一、复习旧课结合作业复习直线和平面投影变换的作图方法和步骤。二、引入新课题机器上的零件，不论形状多么复杂，都可以看作是由基本几何体按照不同的方式组合而成的。基本几何体表面规则而单一的几何体。按其表面性质，可以分为平面立体和曲面立体两类。1、平面立体立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。（出示模型给学生看）。2、曲面立体立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。（出示模型给学生看）。曲面立体也称为回转体。三、教学内容（一）平面立体的投影及表面取点1、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。本节仅讨论正棱柱的投影。（1）棱柱的投影 以正六棱柱为例。如图31（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面。上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。（a）立体图 （b）投影图图31 正六棱柱的投影及表面上的点边画图边讲解作图方法与步骤。总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。（2）棱柱表面上点的投影 方法：利用点所在的面的积聚性法。（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。）平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。举例：如图31（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m，求作它的其他两面投影m、m。因为m可见，所以点M必在面ABCD上。此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m必在此直线上，再根据m、m 可求出m。由于ABCD的侧面投影为可见，故m 也为可见。特别强调：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。2、棱锥（1）棱锥的投影 以正三棱锥为例。如图32（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。由于锥底面ABC为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚为直线段abc 和a(c )b。棱面SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为一段斜线sa(c)，正面投影和水平投影为类似形sac 和sac，前者为不可见，后者可见。棱面SAB和SBC均为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB、BC为水平线。（a）立体图 （b）投影图图32 正三棱锥的投影及表面上的点边画图边讲解作图方法与步骤。总结正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。（2）棱锥表面上点的投影方法：1）利用点所在的面的积聚性法。2）辅助线法。首先确定点位于棱锥的哪个平面上，再分析该平面的投影特性。若该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影；若该平面为一般位置平面，可通过辅助线法求得。举例：如图32（b）所示，已知正三棱锥表面上点M的正面投影m 和点N的水平面投影n，求作M、N两点的其余投影。因为m 可见，因此点M必定在SAB上。SAB是一般位置平面，采用辅助线法，过点M及锥顶点S作一条直线SK，与底边AB交于点K。图32中即过m 作s k，再作出其水平投影sk。由于点M属于直线SK，根据点在直线上的从属性质可知m必在s k上，求出水平投影m，再根据m、m 可求出m。因为点N不可见，故点N必定在棱面SAC上。棱面SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线段sa（c），因此n 必在sa（c）上，由n、n 即可求出n。（二）曲面立体的投影及表面取点曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。1、圆柱圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。（1）圆柱的投影画图时，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。举例：如图34（a）所示，圆柱的轴线垂直于侧面，圆柱面上所有素线都是侧垂线，因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点划线，表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影，上、下两边aa1、bb1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA1、BB1是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线，也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。（a）立体图 （b）投影图图34 圆柱的投影及表面上的点边画图边讲解作图方法与步骤。总结圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。（2）圆柱面上点的投影 方法：利用点所在的面的积聚性法。（因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性。）举例：如图34（b）所示，已知圆柱面上点M的正面投影m，求作点M的其余两个投影。因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在圆周上。又因为m 可见，所以点M必在前半圆柱面的上边，由m 求得m，再由m 和m 求得m。四、小结1、棱柱、棱锥、圆柱体的投影分析和投影特征。2、棱柱、棱锥、圆柱体上表面求点的方法。五、布置作业习题集31（1）、（2）、（3）第十五讲 31 基本几何体的投影及尺寸标注课 题：1、曲面立体的投影及表面取点2、基本体的尺寸标注课堂类型：讲授教学目的：1、讲解圆锥体和圆球体的三视图画法及表面取点、取线的作图方法2、讲解基本体的尺寸标注教学要求：1、能够熟练运用辅助面法在平面立体和圆柱体表面取点、取线2、能够正确标注基本体所需的尺寸教学重点：1、圆锥体和圆球体的三视图画法及表面取点、取线的作图方法2、基本体的尺寸标注教学难点：在圆球体表面取点、取线的作图方法教 具：基本体模型：圆锥体、圆球体等教学方法：用教学模型辅助讲解。教学过程：一、复习旧课1、棱柱、棱锥投影分析和投影特征以及表面求点的方法。2、圆柱体的投影分析和投影特征以及表面求点的方法。二、引入新课题上次课我们学习了平面立体和圆柱体的投影及表面求点，本次课我们继续学习其他几种曲面立体的投影及表面求点。三、教学内容（一）曲面立体的投影及表面取点1、圆锥圆锥表面由圆锥面和底面所围成。如图35（a）所示，圆锥面可看作是一条直母线SA围绕与它平行的轴线SO回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。（1）圆锥的投影 画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。举例：如图35（b）所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水平面，图35（c）是它的投影图。圆锥的水平投影为一个圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。圆锥的正面、侧面投影均为等腰三角形，其底边均为圆锥底面的积聚投影。正面投影中三角形的两腰sa、sc 分别表示圆锥面最左、最右轮廓素线SA、SC的投影，他们是圆锥面正面投影可见与不可见的分界线。SA、SC的水平投影sa、sc和横向中心线重合，侧面投影sa（c）与轴线重合。同理可对侧面投影中三角形的两腰进行类似的分析。 （b）立体图 （c）投影图图35 圆锥的投影边画图边讲解作图方法与步骤。总结圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。（2）圆锥面上点的投影 方法：1）辅助线法。2）辅助圆法。举例：如图36、37所示，已知圆锥表面上M的正面投影m，求作点M的其余两个投影。因为m 可见，所以M必在前半个圆锥面的左边，故可判定点M的另两面投影均为可见。作图方法有两种：作法一：辅助线法 如图36 （a）所示，过锥顶S和M作一直线SA，与底面交于点A。点M的各个投影必在此SA的相应投影上。在图36（b）中过m 作sa，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的从属性质可知m必在sa上，求出水平投影m，再根据m、m 可求出m。 （a）立体图 （b）投影图图36 用辅助线法在圆锥面上取点边画图边讲解作图方法与步骤。作法二：辅助圆法 如图37（a）所示，过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。在图37（b）中过m 作水平线a b，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a b 的圆，圆心为s，由m 向下引垂线与此圆相交，且根据点M的可见性，即可求出 m 。然后再由m 和m可求出m。（a）立体图 （b）投影图图37 用辅助线法在圆锥面上取点边画图边讲解作图方法与步骤。2、圆球 圆球的表面是球面，如图38(a)所示，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。（1）圆球的投影如图38（b）所示为圆球的立体图、如图38（c）所示为圆球的投影。圆球在三个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这三个圆分别表示三个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A（它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线）的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这三条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。 （b）立体图 （c）投影图图38 圆球的投影边画图边讲解作图方法与步骤。（2）圆球面上点的投影 方法：1）辅助圆法。圆球面的投影没有积聚性，求作其表面上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。举例：如图39(a)所示，已知球面上点M的水平投影，求作其余两个投影。过点M作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m的直线ab，正面投影为直径等于ab长度的圆。自m向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m可见，故点M必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m，再由m、m 可求出m。如图39（b）所示（a） （b）图39 圆球面上点的投影边画图边讲解作图方法与步骤。（二）基本体的尺寸标注1、平面立体的尺寸标注平面立体一般标注长、宽、高三个方向的尺寸，如图310所示。其中正方形的尺寸可采用如图310（f）所示的形式注出，即在边长尺寸数字前加注“”符号。图310（d）、（g）中加“（）”的尺寸称为参考尺寸。（a） （b） （c） （d）（e） （f） （g）图310 平面立体的尺寸注法2、曲面立体的尺寸标注圆柱和圆锥应注出底圆直径和高度尺寸，圆锥台还应加注顶圆的直径。直径尺寸应在其数字前加注符号“”，一般注在非圆视图上。这种标注形式用一个视图就能确定其形状和大小，其他视图就可省略，如图311（a）、（b）、（c）所示。标注圆球的直径和半径时，应分别在“、R”前加注符号“S”，如图311（d）、（e）所示。（a） （b） （c） （d） （e）图311 曲面立体的尺寸注法四、小结1、圆锥体、圆柱体的投影分析和投影特征以及表面求点的方法。2、各种基本几何体应标注的尺寸数目和种类。五、布置作业习题集31（4）、（5）、（6）、（7）、（8）第十六讲 32 平面与立体相交课 题：1、截交线的性质2、平面与平面立体相交课堂类型：讲授教学目的：1、介绍截平面与截交线的概念2、讲解截交线的两个基本性质2、讲解平面立体截割的截交线的投影教学要求：1、了解截交线的两个基本性质2、熟练掌握求平面立体截交线的方法，即利用在立体表面上取点、取线的方法绘制截交线和截切后的平面立体的投影教学重点：平面立体截交线的画法教学难点：平面立体截交线的画法教 具：模型：斜切的正四棱锥体、开槽的正三棱锥体教学方法：平面立体（棱柱和棱锥）的截割实际就是根据线面分析法求截交线。讲课中要特别强调先作出原始的完整几何体，然后分步截割，并举例说明作图方法。教学过程：一、复习旧课1、圆锥体、圆柱体的投影分析和投影特征以及表面求点的方法。2、各种基本几何体应标注的尺寸数目和种类。二、引入新课题在曲面几次课我们学习了基本几何体的投影及表面求点，而在实际应用中，机器中的零件，往往不是基本几何体，而是基本几何体经过不同方式的截割或组合而成的。三、教学内容（一）截交线的性质1、截交线的概念平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。图312为平面与立体表面相交示例。图312 平面与立体表面相交2、截交线的性质（1）截交线一定是一个封闭的平面图形。（2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。（二）平面与平面立体相交平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线。通过例题讲解平面立体截交线的画法。1、讲解例题（例31） 如图313（a）所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交线是四边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。（a） （b） 图313 四棱锥的截交线边画图边讲解作图方法与步骤。当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。2、讲解例题（例32） 如图314（a）所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，求其另两面投影。分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与棱面SAB和SAC的交线DE、DF必分别平行与底边AB和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别与棱面SAB和SAC交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影。（a）立体图 （b）（c） （d） 图314 带切口正三棱锥的投影边画图边讲解作图方法与步骤。四、小结1、截交线的基本性质。2、总结例题，说明求平面立体截交线的方法和步骤。五、布置作业习题集32（1）、（2）、（5）、（6）