中考“圆”热点题型分类解析(含解答)-.doc

2006年中考“圆” 热点题型分类解析

【专题专点剖析】
本专题包括圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆四方面内容，它们是初中数学中最核心的内容之一．2006年各省市的考题中反映出的考点主要有：
1．准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题．
2．既会从距离与半径的数量关系确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系探索相应半径与距离的数量关系．
3．利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解证与角、线段相关的几何问题．
4．会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理证明一类与圆相关的几何问题．
5．会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形、弓形的面积公式，解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积．
6．会准确表述有关点的轨迹问题，会用分析法证明一类简单的几何问题．
7．会用T形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题，会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形，并会以圆弧和圆的基本元素设计各种优美图案．
8．充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计．
9．综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．
10．本专题主要考查对称作图的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．
【解题方法技巧】
1．与圆有关的概念
正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系．
2．与圆有关的角
掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径．
3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理
定理与推论是在圆的旋转不变上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”这个关系．
4．与圆有关的位置关系
了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键．
5．切线长定理
切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．
6．弧长、扇形面积计算问题
通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题．
7．圆锥的侧面积、全面积的计算
正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键．
【热点试题归类】
题型1 圆的有关性质
1．（2006，泉州）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______度．

(1) (2) (3) (4)
2．（2006，哈尔滨市）在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．
3．（2006，南京市）如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm．
4．（2006，旅顺口区）如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=________．
5．（2006，盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______．
6．（2006，大连）如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为______．
7．（2006，盐城）如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________．

(5) (6) (7) (8) (9)
8．如图6，⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm．
9．（2006，重庆）如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE=；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________．
10．（2006，海淀区）如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．200°
11．（2006，温州）如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°

(10) (11) (12) (13) (14)
12．（2006，陕西）如图10，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是（ ）
A． B． D．
13．（2006，浙江）如图11，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=45°，则∠BOC的大小是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．22．5°
14．（2006，浙江台州）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图12，若P是⊙O外一点，直线PO交⊙O于A、B两点，PC切⊙O于点C，则点P到⊙O的距离是（ ）
A．线段PO的长度; B．线段PA的长度; C．线段PB的长度; D．线段PC的长度
15．（2006，绵阳）如图13，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
16．（2006，重庆）如图14，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
17．（2006，广安）用一把带有刻度尺的直角尺，①可以画出两条平行的直线a和b，如 图（1）；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；④可以量出一个圆的半径，如图（4）．这四种说法正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．（2006，攀枝花）图16中∠BOD的度数是（ ）
A．55° B．110° C．125° D．150°

（16） （17） （18）
19．（2006，攀枝花）如图17，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则等于（ ）
A．tan∠AED B．cot∠AED C．sin∠AED D．cos∠AED
20．（2006，浙江舟山）如图18已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°，则∠AOB的度数为（ ）
A．44° B．46° C．68° D．88°
21．（2006，浙江台州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交边BC于点E，连结BD．
（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明．

22．（2006，黄冈）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）若PC=PF；求证：AB⊥ED．
（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD=DE．DF，为什么？

23．（2006，广东课改区）如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．

24．（2006，上海市）本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．

题型2 直线与圆的位置关系
1．（2006，温州）已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，3cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________．
2．（2006，大连）如图1，AB是⊙O的切线，OB=2OA，则∠B的度数是_______．

（1） （2） （3）
3．（2006，天津）已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为_______cm．
4．（2006，天津）如图2，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD=40°，则∠ABC的大小等于_______（度）．
5．（2006，上海市）已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P作圆的切线，那么切线长是________．
6．（2006，哈尔滨）如图3，PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．4
7．（2006，旅顺口区）如图4，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm

（4） （5） （6）
8．（2006，浙江绍兴）如图5，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（2006，浙江台州）如图6，已知⊙O中弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2006，重庆）⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
11．（2006，白云区）如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO的延长线交⊙O 于点C，连结BC，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB是⊙O的切线．

12．（2006，陕西）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线．

13．（2006，攀枝花）如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．

14．（2006，绵阳）已知在Rt△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长．

15．（2006，天津）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，PO与⊙O交于点C，且PA=AB=6cm，PO=12cm．
（1）求⊙O的半径；（2）求△PBO的面积．（结果可带根号）

16．（2006，海淀区）如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．

17．（2006，盐城）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

题型3 圆与圆的位置关系
1．（2006，攀枝花市）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C，则BC=_______．
2．（2006，淄博市）要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm的两个外切圆，该矩形长的最小值是_______．
3．（2006，哈尔滨）已知⊙O与⊙O半径的长是方程x2-7x+12=0的两根，且O1O2=，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．内含 D．外切
4．（2006，白云山区）已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．（2006，南安市）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．（2006，烟台市）已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+d2=0无实数根，其中R、r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
7．（2006，哈尔滨市）下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①垂直于弦的直径平分这条弦；②平行四边形对角互补；③有理数与数轴上的点是一一对应的；④相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2006，浙江）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
9．（2006，广安）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（  ）
A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上都不对
10．（2006，攀枝花）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
11．（2006，哈尔滨市）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，经过⊙O1上一点A作⊙O1的切线交⊙O2于B、C两点，直线AP交⊙O2于点D，连结DC、PC．
（1）求证：DC2=DP·DA；
（2）若⊙O1与⊙O2的半径之比为1：2，连结BD，BD=4，PC=12，求AB的长．

12．（2006，成都）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD．
（1）求证：△ACG∽△DBG；
（2）求证：AC2=AC·AB；
（3）若⊙A、⊙O的直径分别为6、15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长．

13．（2006，盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中心．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是________．
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：
问题1：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题2：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．
我选择问题______，结论：___________．
证明：

14．（2006，天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（1）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1．
（2）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2．
（3）如图③，当n为大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On均与AB边相切，求rn．

① ② ③

题型4 与圆有关的计算
1．（2006，浙江）如图1，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是________cm2．

（1） （2） （3） （4）
2．（2006，泉州）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_____cm2．
3．（2006，黄冈）如图2，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是_____cm．
4．（2006，广州）如图3，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为________．
5．（2006，旅顺口）若圆锥的底面周长为20，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为________．
6．（2006，晋江）若圆锥的底面半径为3，母线长为8，则这个圆锥的全面积是_____平方单位．
7．（2006，哈尔滨市）已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为______cm2．
8．（2006，晋江）正十二边形的每一个外角等于______度．
9．（2006，黄冈）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是________．
10．（2006，广东课改实验区）如图4，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬地到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______（结果保留根式）．
11．（2006，广安）将一个弧长为12cm，半径为10cm的扇形铁皮围成个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为_______cm．
12．（2006，重庆）圆柱的底面周长为2，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为______．
13．（2006，浙江舟山）已知正六边形的外接圆的半径是a，则正六边形周长是_____．
14．（2006，浙江台州）如图5，已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．20cm2 C．12cm2 D．30cm2

（5） （6） （7）
15．（2006，浙江）在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（ ）
A．
16．（2006，成都）如图6，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．200° C．180° D．240°
17．（2006，广州）一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A．
18．（2006，天津）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（ ）
A．1：： B．：：1 C．1：2：3 D．3：2：1
19．（2006，青岛市）如图7，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4- B．4- C．8- D．8-
20．（2006，南安）如图，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180°．
（1）请你画出旋转后半圆M的图形；
（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到1cm2）

21．（2006，海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于E，连结AD，BD，OC，OD，且OD=5，
（1）若sin∠BAD=，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．

22．（2006，烟台市）如图a，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD=24cm，AB=25cm，若的长为底面周长的，如图b所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留和根号）

（a） （b）

23．（2006，攀枝花市）如图，圆锥的底面半径r=3cm，高h=4cm，求这个圆锥的表面积（取3.14）．

题型5 综合与创新
1．（2006，福建泉州）如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2，过A作直线L平行于x轴，点P在直线L上运动．
（1）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（2）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．

2．（2006，广安市）已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．

3．（2006，广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥L，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）求证：CE2=FG·FB；
（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径．

4．（2006，苏州市）如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连结BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD2=AC·AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．

5．（2006，晋江）街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC=5米，半圆形的直径为6米，DE=2米．
（1）求电线杆落在广告牌上的影长（即的长度，精确到0.1米）．
（2）求电线杆的高度．

6．（2006，深圳）如图①，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点．若点A的坐标为（-2，0），AE=8．
（1）求点C的坐标;（2）连结MG、BC，求证：MG∥BC;
（3）如图②，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，请说明变化规律．

① ②

7．（2006，烟台市）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连结CD、AD．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若AO+CD=11，求AB的长．

8．（2006，上海市）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO,求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m>1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．

题型6 中考新题型
1．（2006，浙江市）在平面直角坐标系xOy中，直线L1经过点A（-2，0）和点B（0，），直线L2的函数表达式为y=-x+，L1与L2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线L1上运动，设圆心C的横坐标是a，过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．
（1）填空：直线L1的函数表达式是________，交点P的坐标是______，∠FPB的度数是_______．
（2）当⊙C和直线L2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R=3-2时a的值．
（3）当⊙C和直线L2不相离时，已知⊙C的半径R=3-2，记四边形NMOB的面积为S（其中点N是直线CM与L2的交点），S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

2．（2006，浙江舟山）如图10-62①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）如图10-62②，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AG=m，AF=n，用含n的代数式表示m．

【热点试题详解】
题型1
1．55 2． 3．6 4．70°
5．120° 点拨：∵∠A+∠C=180°，∠A：∠C=1：2，∴∠A=60°，∠BOD=2∠A=120°．
6．9 点拨：△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长=3AC=9．
7． 点拨：在Rt△AOD中，AD=AB=2，OD=1，∴OA==．
8．4 点拨：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AB=4（cm）．
9．①②
10．B 点拨：∠CBA=∠COA=50°．
11．A 点拨：在Rt△ABC中，∠B=70°，∴∠A=90°-∠B=20°．
12．B 点拨：∵∠B=∠D，在Rt△ADC中，AC=2，AD=2r=3，∴DC==．
∴cosB=cosD=．
13．A 点拨：∠BOC=2∠BAC=90°．
14．B 15．C
16．D 点拨：∠DCF=∠EOD=20°．
17．A
18．B 点拨：∠BOD=2（∠BAC+∠CED）=110°．
19．D 点拨：连结AD，则∠ADE=90°，△CDE≌△BAE，
∴=cos∠AED．
20．D
21．（1）△BED∽△AEC △BED∽△ABD △ABD∽△AEC
（2）证明：在△BED和△AEC中，
∠BED=∠AEC，∠D=∠C，
∴△BED∽△AEC．
22．（1）证明：连结OC，∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC．
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC．
∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH．
∴∠AFH+∠OAC=∠PCF+∠OCA=∠PCO=90°．
∴AB⊥ED．
（2）点D是劣弧AC的中点时，使AD2=DE·DF．
在△ADF和△EDA中，
∠ADF=∠EDA，∠E=∠DAF，
∴△ADF∽△EDA．
∴．
∴AD2=DE·DF．
23．OE=OF．
证明：连结OA，OB．
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB．
又∵AE=BF．
∴△OAE≌△OBF，∴OE=OF．
24．解：连结OA交BC于D，连结OB．
在Rt△BOD中，OB=R，BD=BC=120，
OD=R-5，
OB2=OD2+BD2．
即R2=（R-5）2+1202．
解得R=1 442.5（米）．
题型2
1．相交 点拨：过O作OD⊥BC，在Rt△BOD中，OD=OB=，
∵r=3，∴OD<r，∴⊙O与BC相交．
2．30° 点拨：AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB．
在Rt△AOB，OB=2OA，∴∠B=30°．
3．10 点拨：设AP=2x，PB=3x，由相交弦定理得，2x·3x=24，∴x=2，AB=5×2=10．
4．50 点拨：由于∠A=∠BCD=40°，
在Rt△ACB中，∠B=90°-∠A=50°．
5．
6．A 点拨：连结OB，在Rt△POB中，PO=5，OB=OA=PO-PA=3，∴PB= =4．
7．B 8．B
9．D 点拨：由相交弦定理，得AP·BP=CP·PD．
∴PD==3．
10．A
11．证明：连结OB（如图）．

∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB=OC．
∴∠OBC=∠OCB=22．5°．
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=45°．
∵∠A=45°．
∴∠OBA=180°-（∠AOB+∠A）=90°．
∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
（过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线）
12．解：（1）点D在⊙O上，
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F，
在Rt△BOF中，OB=AB=2，∠B=30°，
∴BF=2·cos30°=．
∵BD=BC=2，∴DF=．
在Rt△ODF中，
∵OD==2=OB，
∴点D在⊙O上．
（2）∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，∴∠EDO=90°．
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
13．解：连结OA、OB，在AB弧上任取一点C，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连结AC、BC，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°．
①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°．
②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
14．解：（1）略．
（2）证明：连结OD，∵点O是AD垂直平分线上的点，∴OD=OA，∴点D在⊙O上．
∠ODA=∠OAD=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．
∴BC为⊙O的切线．
（3）设⊙O的半径长为R，在Rt△ABC中，AC=3，tanB=．
∴BC=4，AB=5，
OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴．
解得R=．
15．解：（1）设⊙O的半径为R，
延长PO交⊙O于点D．
由割线定理，得PC·PD=PA·PB．
即（12-R）（12+R）=6×12．
解得R=6．
（2）过点O作OE⊥AB于E，在Rt△BOE中，OE==3．
∴S△PBO=PB·OE=×12×3=18．
16．解：因为弦AC与BD交于E，所以A，B，C，D是⊙O上的点．
所以∠B=∠C，∠A=∠D，
所以△ABE≌△DCE，
所以，所以CD=3．
17．证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴AB⊥DB．
∵CH⊥AB，
∴CH∥DB．
即CE∥DF．∴．
∵EH∥BF，∴．
∵点E为CH中点，即CE=EH．
∴DF=BF．
∴点F是BD中点．

（2）方法1：连接CB、OC，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线．
方法2：可证明△OCF≌△OBF．
（3）解：由FC=FB=FE得∠FCB=∠FBC，
可证得FA=FG，AB=BG．
由切割线定理得（2+EG）2=BG×AG=2BG2． ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得BG2=FG2-BF2． ②
由①、②得FG2-4FG-12=0．
解得FG=6或FG=-2（舍去）．
∴AB=BG=4．
∴⊙O的半径为2．
题型3
1．6 2．9cm
3．C 点拨：设⊙O1、⊙O2的半径为R，r，则R=4，r=3，∴0．5<R-r，两圆内含．
4．D 点拨：O1O2=R-r．