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投资分配问题（四）
摘要
本文解决的主要问题是:投资者利用自己有限的基金10万元，在今后5年内对下列4个项目进行投资，在不考虑投资风险的情况下进行合理的安排资金，使投资利润最大化。
针对此问题，我们建立起单目标线性规划模型，利用lingo软件进行最优化求解(表一)，第5年年末的最大资金总额为148400元，具体投资方案（表二）。
具体的实施步骤如下：
1.分析各个投资项目情况：如投资利润、投资年限、投资金额。
2.通过分析各个项目的关系和自身的情况写出正确的方程和方程之间的联系。
3.利用程序求出结果。

关键词:单目标最优化 投资利润最大化
一、问题重述
1.1问题背景
某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：
项目A 从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%
项目B 从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125%
项目C 从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能超过3万元
项目D 5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106%
应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？
1.2需要解决的问题
一、根据题目所给数据总结出表一。
试根据表一数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？
表一
项目
项目1
项目2
项目3
项目4
本利比
1.06
1.15
1.40
1.25

二、模型的假设及符号说明
1.1模型假设
假设1：题目所给的数据都是真实可靠的
假设2：未来5年市场的投资环境稳定，没有突发事件
假设3：前一年的利润可以用于下一年的投资
假设4：下一年的投资资金不超过前一年的本利（本金和利润）
1.2符号说明 1表示D ， 2表示A， 3表示C， 4表示B。
xij ：表示第i年投资j项目上的资金(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4)。
pj :投资j项目的利润率(j=1,2,3,4)。
R ：第5年年末的利润。

三、问题分析
本文研究的是投资决策问题。要求对资金合理安排投资，获得最大的收益。
针对此问题：这是一个单目标多约束的最优化问题，我们可以通过建立单目标线性规划模型解决该问题。由于不考虑各项投资的风险，且总资金为100000元，要使得第五年年末的利润最大，我们设定目标函数的思路为：用各个项目最后一次投资的本利总和表示出第五年年末收回的本利。对于每年各项投资资金的安排，要符合的约束条件为：每年年初的投资总额不能超过上一年年末收回的本利总和。

四、模型的建立与求解
5.1单目标线性规划模型的建立
确定目标函数
该模型是为了解决资金投资问题，要求我们合理安排手中的资金，以5年为一个周期，使得第5年末所得的本利最大化。据此，我们建立目标函数如下：

确定约束条件
由于项目1每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目2每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目4只能在第三年年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目3只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；想要第五年末利润达到最大，只要在项目能在第五年年末前收回成本就可以。

每年年初的投资总额应不大于前一年年末收回的本利。

第一年：

第二年：

第三年：

第四年：

第五年：

综上所述，得到单目标最优化模型
目标函数：

5.2单目标线性规划模型的求解
利用lingo软件对建立起的模型编程求解（程序运行过程见附录一）
求解程序：
model:
sets:
xiangmo/1..4/:p;
nianfen/1..5/:y;
z(nianfen,xiangmo):x;
endsets
data:
p=1.06,1.15,1.40,1.25;
enddata
max=p(1)*x(5,1) +p(2)*x(4,2)+p(4)*x(3,4) +p(3)*x(2,3);
@for(nianfen(i):y(i)=@if((i#eq#1),100000,
@if((i#eq#2),100000-(x(1,1)+x(1,2)+x(1,3)+x(1,4))+p(1)*x(1,1),
@if((i#eq#3),p(1)*x(2,1)+p(2)*x(1,2),
@if((i#eq#4),p(1)*x(3,1)+p(2)*x(2,2),
@if((i#eq#5),p(1)*x(4,1) +p(2)*x(3,2),0))))));
@for(nianfen(i):@sum(xiangmo(j):x(i,j))<=y(i));
end

得到：第5年年末的最大资金总额为148400元，5年内的投资决策方案如下表所示：
表二

项目1
项目2
项目3
项目4
第一年
100000
0
0
0
第二年
0
0
10600
0
第三年
0
0
0
0
第四年
0
0
0
0
第五年
0
0
0
0

由上表可知
第一年：项目1投资100000元，项目2、3、4不投资。
第二年：项目1、2、4均不投资，项目3投资106000元。
第三年，第四年，第五年均不投资。
五、参考文献
[1]谢金星、薛毅编著, 优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学出版社, 2005年7月第1版
[2]王泽文、乐励华、颜七笙等，数学实验与数学建模，东华理工大学出版社，2010年9月
[3]
资源分配如资金安排数学建模，，2011.11.3 附录：
附录一
运用Lingo软件所得结果：

六、结果分析
投资项目只有第一个项目和第三个项目主要原因是第一个项目每年都可以投资并且年初投资年末就可以获得收益并且可以用来在次年投资而第三个项目的利润率比较大会的收益也比较大。所以这要投资应该可以获得较大的收益的并且与事实相同。

七、模型的评价与推广
评价:模型的建立过程比较严谨，思路清晰，最终得出的结果也符合事实。但是该模型是建立在一定的理想情况下没有考虑利润率发生变化的情况和一些突发事件的发生。
推广：该模型不仅可以应用于企业的投资分配问题还可以用来指导个人理财和工厂的生产计划的制定等方面。