衍生证券定价的一般方法介绍.docx

Ch13 衍生证券定价的一般方法

可交易证券——被大量投资者仅仅用于投资的交易资产。
如：股票、债券、黄金和白银等都是可交易证券。
而：利率、通货膨胀率和大多数商品并不是可交易证券。

13.1 单一基本变量

设变量遵循随机过程：
（13.1）
其中是一个维纳过程，分别为的期望增长率和波动率，
注：
未必是可交易证券的价格，它可能是新奥尔良中部地区的气温
设是仅决定于和时间的两种衍生证券的价格，即：

可能是期权，也可能是其它衍生证券，如期货、远期合约等，其盈利仅取决于

有Ito定理，不妨设分别满足：

和
其中分别是和的函数
离散化得：
（13.2）
（13.3）
构造投资组合：
对 ：
对 ：
组合价值：

其增量为：

将（13.2）、（13.3）式代入上式，得到：

所以

从而可得：
（13.6）
1. 风险的市场价格
定义:

则对基于和的某个证券的价格,必有
　　　　 (13.7)
且满足:
　　　　　 (13.8)
称为的风险的市场价格(market price of risk)
一般地，与，有关，而与无关。分别为的预期收益和波动率。
由　
　　　　　 （13.9）

:解释为中代表的的风险的数量.愈大,则也愈大,亦即投资者要补偿的预期收益也愈大.
(无风险),　则预期收益为无风险利率!

2. 微分方程:
由Ito定理

则得:
比较
得:
由(13.9) 或, 从而得满足的微分方程:
(13.10)
形式上与方程类似.
观察(12.4):(支付连续红利)
(12.4)
若改为, 则(13.10)即为支付已知红利收益率

的衍生证券定价的微分方程.
从而11.6节中关于风险中性定价的结果可作进一步推广到标的变量为非可交易证券的衍生证券的情形.

3. 单一标的变量的风险中性定价
类似于ch12中，的预期增长率为

并以此求解方程（13.10），然后以无风险利率贴现。

§13.2 利率风险（的市场价格的性质）

一般地：股票和债券与利率变化是负相关的，设利率遵循过程：
（13.1）
又设某证券的价格与利率正相关，且遵循过程：
（13.7）
注意到：股票和债券的收益是与 利率的变化负相关的，
所以，如果构造投资组合：
股票或债券+证券()
则相关性得到抵消，这可使得该证券组合的持有者对低于无风险利率的预期收益感到满意。
由于，与正相关，从而>0 为正，此时

即 利率风险的市场价格为负。
在风险中性世界中利率的增长率 > 它在现实世界中的期望增长率
远期利率 >　期望的未来的即期利率

§13.３　基于几个状态变量的证券

Ito 定律的一般表示式：
Th1 设函数依赖于个变量和时间，即

遵循Ito 过程，其瞬间漂移率和瞬间波动率为，即：
　　　　　　　　　　　　　　（13A.1）
其中是维纳过程，可以是所有的任意函数，对。则

（13A.3）

Th2(一般微分方程) 设个状态变量遵循Ito 过程

设函数依赖于和时间，即

其中是维纳过程是的期望增长率和波动率，可以是中任一个变量和时间的函数，记
，
则第个可交易证券的价格满足微分方程：
即：
　　　　　　　　　　　　　　（13A.1）
，可以是所有的任意函数，对。则

去掉下标，则得任何价格只依赖于状态变量和时间的衍生证券，都满足如下微分方程：

（13.B.11）
Ex 1 , 2, 9