2024年汇总小学阶段奥数知识点.doc

小学奥数（知识点梳理）
序言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很也许出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题措施聚集，可补充对应杂题），标准上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述
一、 计算
1． 四则混合运算繁分数
⑴ 运算次序
⑵ 分数、小数混合运算技巧
一般而言：
① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2． 简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹变化运算次序
① 运算定律的综合利用
② 连减的性质
③ 连除的性质
④ 同级运算移项的性质
⑤ 增减括号的性质
⑥ 变式提取公因数
形如：
3． 估算
求某式的整数部分：扩缩法
4． 比较大小
① 通分
a. 通分母
b. 通分子
② 跟“中介”比
③ 利用倒数性质
若，则c>b>a.。形如：，则。
5． 定义新运算
6． 特殊数列求和
利用有关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
二、 数论
1． 奇偶性问题
奇奇=偶 奇×奇=奇
奇偶=奇 奇×偶=偶
偶偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值标准
形如：=100a+10b+c
3． 数的整除特性：
整除数
特 征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，二者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
4． 整除性质
① 假如c|a、c|b，那么c|(ab)。
② 假如bc|a，那么b|a，c|a。
③ 假如b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④ 假如c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5． 带余除法
一般地，假如a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又能够表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个不小于1的自然数n都能够写成质数的连乘积，即
n= p1× p2×...×pk
7. 约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2×...×pk那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
8. 同余定理
① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用措施：
枚举、归纳、反证、结构、配对、估量
三、 几何图形
1． 平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
① 三角形内等底等高的三角形
② 平行线内等底等高的三角形
③ 公共部分的传递性
④ 极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
⑷相同三角形性质（份数、百分比）

① ; S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
⑸燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
⑹差不变原理

知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考措施
① 化整为零
② 先补后去
③ 正反结合

2． 立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

四、 经典应用题
1． 植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2． 方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3． 列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4． 年龄问题
差不变原理
5． 鸡兔同笼
假设法的解题思想
6． 牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7． 平均数问题
8． 盈亏问题
分析差量关系
9． 和差问题
10． 和倍问题
11． 差倍问题
12． 逆推问题
还原法，从成果入手
13． 代换问题
列表消元法
等价条件代换

五、 行程问题
1． 相遇问题
旅程和=速度和×相遇时间
2． 追及问题
旅程差=速度差×追及时间
3． 流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
4． 数次相遇
线型旅程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型旅程： 甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行旅程=单在单个全程所行旅程×共行全程数
5． 环形跑道
6． 行程问题中正反百分比关系的应用
旅程一定，速度和时间成反比。
速度一定，旅程和时间成正比。
时间一定，旅程和速度成正比。
7． 钟面上的追及问题。
① 时针和分针成直线；
② 时针和分针成直角。
8． 结合分数、工程、和差问题的某些类型。
9． 行程问题时常利用“时光倒流”和“假定当作”的思考措施。

六、 计数问题
1． 加法原理：分类枚举
2． 乘法原理：排列组合
3． 容斥原理：
① 总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
② 常用：总数量=A+B-AB
4． 抽屉原理：
至多最少问题
5． 握手问题
在图形计数中应用广泛
① 角、线段、三角形，
② 长方形、梯形、平行四边形
③ 正方形

七、 分数问题
1． 量率对应
2． 以不变量为“1”
3． 利润问题
4． 浓度问题
倒三角原理
例：
5． 工程问题
① 合作问题
② 水池进出水问题
6． 按百分比分派

八、 方程解题
1． 等量关系
① 有关联量的表示法
例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3
x 100-x 3x x
②解方程技巧
恒等变形
2． 二元一次方程组的求解
代入法、消元法
3． 不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
4． 不等方程的分析求解

九、 找规律
⑴周期性问题
① 年月日、星期几问题
② 余数的应用
⑵数列问题
① 等差数列
通项公式 an=a1+(n-1)d
求项数： n=
求和： S=
② 等比数列
求和： S=
③ 裴波那契数列
⑶方略问题
① 抢报30
② 放硬币
⑷最值问题
① 最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
② 最优化问题
a.统筹措施
b.烙饼问题

十、 算式谜
1． 填充型
2． 替代型
3． 填运算符号
4． 横式变竖式
5． 结合数论知识点

十一、 数阵问题
1． 相等和值问题
2． 数列分组
⑴知行列数，求某数
⑵知某数，求行列数
3． 幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法 罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：对称互换法
单偶阶：同心方阵法
十二、 二进制
1． 二进制计数法
① 二进制位值标准
② 二进制数与十进制数的相互转化
③ 二进制的运算
2． 其他进制（十六进制）
十三、 一笔画
1． 一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；
2． 哈密尔顿圈与哈密尔顿链
3． 多笔画定理
笔画数=
十四、 逻辑推理
1． 等价条件的转换
2． 列表法
3． 对阵图
竞赛问题，包括体育比赛常识
十五、 火柴棒问题
1． 移动火柴棒变化图形个数
2． 移动火柴棒变化算式，使之成立
十六、 智力问题
1． 突破思维定势
2． 某些特殊情境问题
十七、 解题措施
（结合杂题的处理）
1． 代换法
2． 消元法
3． 倒推法
4． 假设法
5． 反证法
6． 极值法
7． 设数法
8． 整体法
9． 画图法
10． 列表法
11． 排除法
12． 染色法
13． 结构法
14． 配对法
15． 列方程
⑴方程
⑵不定方程
⑶不等方程

另外补充阐明：
在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点包括棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。

汇总小学阶段奥数知识点，包括小升初中常考的题目类型等。有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。
1.、小升初奥数知识点（年龄问题的三大特性）
①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
和差倍问题：

和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式合用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
核心问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数

和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
公式合用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式 ①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
核心问题 求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数

2、小升初奥数知识点（植树问题总结）:
基本类型：
　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
基本公式 棵数=段数＋1
棵距×段数=总长 棵数=段数－1
棵距×段数=总长 棵数=段数
棵距×段数=总长
核心问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

3、鸡兔同笼问题
　　基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
　　基本思绪：
　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙同样或者乙和甲同样）：
　　②假设后，发生了和题目条件不一样的差，找出这个差是多少；
　　③每个事物导致的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
　　④再依照这两个差作适当的调整，消去出现的差。
　　基本公式：
　　①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
　　②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
核心问题：找出总量的差与单位量的差。
4、奥数知识点（盈亏问题）
盈亏问题
　　基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一个成果：按照另一个标准分组，又产生一个成果，因为
　　分组的标准不一样，导致成果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
　　基本思绪：先将两种分派方案进行比较，分析因为标准的差异导致成果的变化，依照这个关系求出参加分派的总份数，然后依照题意求出对象的总量．
　　基本题型：
　　①一次有余数，另一次不足；
　　基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
　　②当两次都有余数；
　　基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
　　③当两次都不足；
　　基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
　　基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
　　核心问题：确定对象总量和总的组数。
5、小升初奥数知识点（牛吃草问题）
牛吃草问题
　　基本思绪：假设每头牛吃草的速度为“1”份，依照两次不一样的吃法，求出其中的总草量的差；再找出导致这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　核心问题：确定两个不变的量。
　　基本公式：
　　1）生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
2）总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
　 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
6、小升初奥数知识点（平均数问题）
平均数
　　基本公式：①平均数=总数量÷总份数
　　总数量=平均数×总份数
　　总份数=总数量÷平均数
　　②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
　　基本算法：
② 出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
　　②基准数法：依照给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，详细关系见基本公式②
7 、小升初奥数知识点（周期循环数）
周期循环与数表规律
　　周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特性有规律循环出现。
　　周期：我们把连续两次出现所通过的时间叫周期。
　　核心问题：确定循环周期。
　　闰 年：一年有366天；
　　①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
　　平 年：一年有365天。
① 年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被400整除；
8、小升初奥数知识点（抽屉原理）
抽屉原理
　　抽屉标准一：假如把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中最少放有2个物体。
　　例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有如下四种情况：
　　①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
　　观测上面四种放物体的方式，我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中最少放有2个物体。
　　抽屉标准二：假如把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉最少有:
　　①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
　　了解知识点：[X]表示不超出X的最大整数。
　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
　　核心问题：结构物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉标准进行运算。
9、奥数知识点（定义新运算）
基本概念：定义一个新的运算符号，这个新的运算符号包括有多个基本（混合）运算。
基本思绪：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
核心问题：正确了解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，尤其注意运算次序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
小升初奥数知识点（数列求和）
数列求和
　　等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这么的一列数，就叫做等差数列。
　　基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
　　项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
　　公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
　　通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
　　数列的和：这一数列所有数字的和，一般用Sn表示．
　　基本思绪：等差数列中包括五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中包括四个量，假如己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中包括四个量，假如己知其中三个，就能够求这第四个。
　　基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
　　通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
　　数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
　　数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
　　项数公式：n= (an- a1)÷d＋1；
　　项数=（末项-首项）÷公差＋1；
　　公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
　　公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
　　核心问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式
10、加法乘法原理和几何计数
　　加法原理：假如完成一件任务有n类措施，在第一类措施中有m1种不一样措施，在第二类措施中有m2种不一样措施……，在第n类措施中有mn种不一样措施，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不一样的措施。
　　核心问题：确定工作的分类措施。
　　基本特性：每一个措施都可完成任务。
　　乘法原理：假如完成一件任务需要提成n个步骤进行，做第1步有m1种措施，无论第1步用哪一个措施，第2步总有m2种措施……无论前面n-1步用哪种措施，第n步总有mn种措施，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不一样的措施。
　　核心问题：确定工作的完成步骤。
　　基本特性：每一步只能完成任务的一部分。
　　直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
　　直线特点：没有端点，没有长度。
　　线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
　　线段特点：有两个端点，有长度。
　　射线：把直线的一端无限延长。
　　射线特点：只有一个端点；没有长度。
　　①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
　　③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
　　④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
11 、小升初奥数知识点（质数与合数）
　　质数：一个数除了1和它自身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
　　合数：一个数除了1和它自身之外，尚有别的约数，这个数叫做合数。
　　质因数：假如某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
　　分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。一般用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的成果是唯一的。
　　分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。
　　求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
　　互质数：假如两个数的最大条约数是1，这两个数叫做互质数。
12 、小升初奥数知识点（约数与倍数）
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
　　条约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的条约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大条约数。
　　最大条约数的性质：
　　1、几个数都除以它们的最大条约数，所得的几个商是互质数。
　　2、几个数的最大条约数都是这几个数的约数。
　　3、几个数的条约数，都是这几个数的最大条约数的约数。
　　4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大条约数等于这几个数的最大条约数乘以m。
　　例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
　　18的约数有：1、2、3、6、9、18；
　　那么12和18的条约数有：1、2、3、6；
　　那么12和18最大的条约数是：6，记作（12，18）=6；
　　求最大条约数基本措施：
　　1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
　　2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
　　3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大条约数。
　　公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
　　12的倍数有：12、24、36、48……；
　　18的倍数有：18、36、54、72……；
　　那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
　　那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
　　最小公倍数的性质：
　　1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
　　2、两个数最大条约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
　　求最小公倍数基本措施：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的措施
13 、小升初奥数知识点（数的整除）
一、基本概念和符号：

　　1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，并且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，因此的符号“∴”；

　　二、整除判断措施：

　　1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位此前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位此前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位此前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1. 假如a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

　　2. 假如a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
14 、小升初奥数知识点（余数及其应用）
小升初奥数知识点（余数问题）
余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数
余数、同余与周期

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，假如m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a(mod m)；

　　②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

　　③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

　　三、有关乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特性：

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　五、费尔马小定理：假如p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
15、小升初奥数知识点（分数与百分数的应用）
基本概念与性质：

　　分数：把单位“1”平均提成几份，表示这么的一份或几份的数。

　　分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

　　分数单位：把单位“1”平均提成几份，表示这么一份的数。

　　百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

　　常用措施：

　　①逆向思维措施：从题目提供条件的反方向（或成果）进行思考。

　　②对应思维措施：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系。

　　③转化思维措施：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成百分比和转换成倍数关系；把不一样的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理措施是确定不一样的标准为一倍量。

　　④假设思维措施：为了解题的以便，能够把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出对应的成果，然后再进行调整，求出最后成果。

　　⑤量不变思维措施：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，无论其他量怎样变化，而这个量是一直固定不变的。有如下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

　　⑥替代思维措施：用一个量替代另一个量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

　　⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

　　⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的情况。

16 、小升初奥数知识点（分数大小的比较）
基本措施：

　　①通分分子法：使所有分数的分子相同，依照同分子分数大小和分母的关系比较。

　　②通分分母法：使所有分数的分母相同，依照同分母分数大小和分子的关系比较。

　　③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

　　④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定期，分子或分母越大的分数值越大。

　　⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了利用以上措施外，能够用同倍率的变化关系比较分数的大小。（详细利用见同倍率变化规律）

　　⑥转化比较措施：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

　　⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，成果得数和1进行比较。

　　⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

　　⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

　　⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较
17 、小升初奥数知识点（比和百分比）
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号背面的数叫比的后项。

　　比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

　　比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

　　百分比：表示两个比相等的式子叫做百分比。a:b=c:d或
　　百分比的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

　　正百分比：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

　　反百分比：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

　　百分比尺：图上距离与实际距离的比叫做百分比尺。

　　按百分比分派：把几个数按一定百分比提成几份，叫按百分比分派
18 、小升初奥数知识点（综合行程问题）
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、旅程三者之间的关系.

　　基本公式：旅程=速度×时间；旅程÷时间=速度；旅程÷速度=时间

　　核心问题：确定运动过程中的位置和方向。

　　相遇问题：速度和×相遇时间=相遇旅程（请写出其他公式）

　　追及问题：追及时间＝旅程差÷速度差（写出其他公式）

　　流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

　　逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

　　顺水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

　　水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

　　流水问题：核心是确定物体所运动的速度，参考以上公式。

　　过桥问题：核心是确定物体所运动的旅程，参考以上公式。

　　重要措施：画线段图法

　　基本题型：已知旅程（相遇旅程、追及旅程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
19 、小升初奥数知识点（工程问题）
基本公式：

　　①工作总量=工作效率×工作时间

　　②工作效率=工作总量÷工作时间

　　③工作时间=工作总量÷工作效率

　　基本思绪：

　　①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

　　②假设一个以便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，能够简单地表示出工作效率及工作时间.

　　核心问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

　　经验简评：合久必分，分久必合。
20 、小升初奥数知识点（逻辑推理问题）
基本措施简介：

　　①条件分析—假设法：假设也许情况中的一个成立，然后按照这个假设去判断，假如有与题设条件矛盾的情况，阐明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

　　②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要数次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件所有表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不一样的对象与情况，观测表格内的题设情况，利用逻辑规律进行判断。

　　③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

　　④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行对应的计算，依照计算的成果为推理提供一个新的判断筛选条件。

　　⑤简单归纳与推理：依照题目提供的特性和数据，分析其中存在的规律和措施，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出有关的关系式，从而得到问题的处理。
21 、小升初奥数知识点（几何面积）
基本思绪：

　　在某些面积的计算上，不能直接利用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆某些常规的面积规律。

　　常用措施：

　　1. 连辅助线措施

　　2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

　　3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

　　4. 利用特殊规律

　　①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

　　②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

　　③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
22 、小升初奥数知识点（时钟问题—快慢表问题）
基本思绪：

　　1、 按照行程问题中的思维措施解题；

　　2、 不一样的表当成速度不一样的运动物体；

　　3、 旅程的单位是分格（表一周为60分格）；

　　4、 时间是标准表所通过的时间；

　　5、 合理利用行程问题中的百分比关系；

23 、小升初奥数知识点（时钟问题—钟面追及）
时钟问题—钟面追及

　　基本思绪：封闭曲线上的追及问题。

　　核心问题：①确定分针与时针的初始位置；

　　②确定分针与时针的旅程差；

　　基本措施：

　　①分格措施：

　　时钟的钟面圆周被均匀提成