山东师大附中XXXX—XXXX学年度第二学期教学质量检查.docx

山东师大附中2011—2012学年度第二学期教学质量检查
数学试题（文科）
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若( )
A． B．
C． D．
2. “”是“直线与直线平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知为实数集，，则( )
A． B． C． D．
4. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A． B． C． D．
5. 函数是( )
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率是( )
A． B．
C． D．
7. 给出右面的程序框图，那么输出的数是( )
A．2450 B．2550
C．5050 D．4900
8. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，mα,nβ,则α∥β
C．若∥，∥，则∥
D．若∥，⊥，⊥，则∥
9. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A． B．
C． D．
10. 在 上有一点 ，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是( )
A．（－2，1） B．（1，2） C．(2，1） 　 D．（－1，2）
11. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为( )
A． B． C． D．1
12. 已知函数，且，则下列结论中，必成立的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13. 已知平面向量，，与垂直，则 .
14. 已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 .
15. 某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），如果90分以上（含90分）获奖，那么该校参赛学生的获奖率为 .

16. 若,则实数的取值范围是 .

三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)现有7名数理化成绩优秀者，其中数学成绩优秀，物理成绩优秀，化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
（Ⅰ）求被选中的概率；
（Ⅱ）求和不全被选中的概率．

18．(本小题满分12分)已知函数
（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值.

19．(本小题满分12分) 直棱柱中，底面是直角梯形，，．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）在上是否存一点，使得与平面与平面都平行？证明你的结论．

20．(本小题满分12分)已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足，其中为正常数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：

21．(本小题满分12分)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）
（Ⅰ）将日利润（元）表示成日产量（件）的函数；
（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.

22．(本小题满分14分)设上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率的值；
（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

山东师大附中高三考试模拟试卷参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
ACACD AADBB BD
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13. -1 14. 3 15. 16.
三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件
{，
，，
，} …………3分
由12个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
{，， ，，，，}.
事件由6个基本事件组成，因而． ………………6分
（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件， 则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有2个基本事件组成，
所以，
由对立事件的概率公式得． ………………12分
18．(本小题满分12分)
解:（I）= …………3分
则的最小值是-2,最小正周期是. ……………………6分
（II）,则=1,
,,
, , ………………………………………………8分
向量与向量共线
， ……………………………………………………10分
由正弦定理得， ①
由余弦定理得，，即3= ②
由①②解得. ……………………………………………………12分
19．(本小题满分12分)
证明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC． …2分
又∠BAD＝∠ADC＝90°，，
∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC． …………………4分
又，平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C． ……6分
（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ………………………………………………7分
证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB． ……………………8分
又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1，
∴DC B1P为平行四边形，从而CB1∥DP． …………… …………………10分
又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1． ……………………11分
同理，DP‖面BCB1． …………………………………………………………12分
20．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由题设知，解得. ……………………………2分
由 两式作差得
所以，即， ………………………………4分
可见，数列是首项为，公比为的等比数列。
……………………………………………………6分
（Ⅱ） ……………………………………8分
…………………………………………10分

. ……………………………………………12分
21．(本小题满分12分)
解：（I）.………………4分
=3600－
∴所求的函数关系是y=－+3600（1≤x≤40）.………………6分
（II）显然令y′=0，解得x=30.

∴函数y=－+3600x（x∈N*，1≤x≤40）在上是单调递增函数，
在上是单调递减函数. …………………………9分
∴当x=30时，函数y=－+3600x（x∈N*，1≤x≤40）取最大值，最大值为
－×303+3600×30=72000（元）.
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元.…………12分
22．(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）
椭圆的方程为 ………………………………3分
（Ⅱ）由题意，设的方程为

由已知得：
……7分
(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由
………………………………8分
又 在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值. ……………………………………9分
（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

……………………………………10分

………………………………………12分

所以三角形的面积为定值. ………………………………………14分