闰土教育江苏省扬州市邗江中学2014-2015学年七年级下学期第一次月考数学试卷.doc

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江苏省扬州市邗江中学2014-2015学年七年级下学期第一次月考数学试卷

一、选择（每题3分，共24分）
1．如图，下列说法正确的是（ ）

A． ∠2和∠B是同位角 B． ∠2和∠B是内错角
C． ∠1和∠A是内错角 D． ∠3和∠B是同旁内角

2．甲型H1N1流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为（）
A． 0.8×10﹣7米 B． 8×10﹣8米 C． 8×10﹣9米 D． 8×10﹣7米

3．多边形的边数增加1，则它的外角和（）
A． 不变 B． 增加180° C． 增加360° D． 无法确定

4．下列算式①，②a2+2a﹣1=（a﹣1）2，③a8÷a8=a0（a≠0），④（a﹣b）3=a3﹣b3，其中正确的有：（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

5．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． m2+n2 B． m2+4m+1 C． m2﹣n D． m2﹣2m+1

6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）

A． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B． 2a（a+b）=2a2+2ab
C． （a+b）2=a2+2ab+b2 D． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

7．（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中x的二次项系数为零，则m的值是（）
A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D． 2

8．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为（）

A． 0.5cm2 B． 1cm2 C． 2cm2 D． 4cm2

二、填空题（每题3分，共30分）
9．计算（）﹣2=．

10．已知23×83=22n，则n=．

11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若∠B+∠C=120°，则∠1+∠2=．

12．已知等腰三角形的两边长分别为2、5，则三角形的周长为．

13．如图，长方形由8个边长为3cm的小正方形组成，图中阴影部分的面积是cm2．

14．一个直角三角形的两条直角边长分别是2a+b和b﹣2a，则这个直角三角形的面积是．

15．已知 （x﹣y）2=25，（x+y）2=1，则x2+y2=．

16．已知a+b=2，则=．

17．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=．

18．已知：（x+2）x+5=1，则x=．

三、解答题（共96分）
19．化简计算：
（1）
（2）（﹣2x3）2•（﹣x2）÷[（﹣x）2]3
（3）（3x﹣2）（﹣3x﹣2）
（4）（2a﹣b）2•（2a+b）2．

20．因式分解：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）
（2）x4﹣18x2+81．

21．如图，画出三角形ABC先向右平移5格，再向下平移2格得到的三角形A′B′C′．

22．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5x（x﹣y），其中x=，y=．

23．已知ax=，bk=﹣，求（a2）x÷（b3）k的值．

24．已知x+y=3，xy=2，求x2+y2，x﹣y的值．

25．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

26．先阅读：分解因式x2﹣2xy+y2﹣z2．
解：x2﹣2xy+y2﹣z2=（x﹣y）2﹣z2=（x﹣y+z）（x﹣y﹣z）
解答下列问题：
（1）分解因式：
①4x2﹣4xy+y2﹣z2；
②1﹣m2﹣n2+2mn；
（2）若a，b，c为△ABC的三边长，判断代数式△a2﹣2ab+b2﹣c2的值的正负．

27．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请在横线上画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．这个等式是．

（2）小明想用类似的方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a+7ab+3b2，那么需用2号卡片张，3号卡片张．

28．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．

江苏省扬州市邗江中学2014-2015学年七年级下学期第一次月考数学试卷

一、选择（每题3分，共24分）
1．如图，下列说法正确的是（）

A． ∠2和∠B是同位角 B． ∠2和∠B是内错角
C． ∠1和∠A是内错角 D． ∠3和∠B是同旁内角

考点： 同位角、内错角、同旁内角．
分析： 根据同位角、内错角和同旁内角的定义，结合图形即可进行判断．
解答： 解：A、∠2和∠B不是同位角，故本选项错误；
B、∠2和∠B不是内错角，故本选项错误；
C、∠1和∠A不是内错角，故本选项错误；
D、∠3和∠B是同旁内角，故本选项正确．
故选：D．
点评： 此题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，属于基础题，注意掌握各自的定义及特点．

2．甲型H1N1流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为（）
A． 0.8×10﹣7米 B． 8×10﹣8米 C． 8×10﹣9米 D． 8×10﹣7米

考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.00 000 008=8×10﹣8，
故选：B．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．多边形的边数增加1，则它的外角和（）
A． 不变 B． 增加180° C． 增加360° D． 无法确定

考点： 多边形内角与外角．
分析： 任意多边形的外角和都是360度，依此可得答案．
解答： 解：多边形的边数增加1，它的外角和还是360°．
故选：A．
点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．

4．下列算式①，②a2+2a﹣1=（a﹣1）2，③a8÷a8=a0（a≠0），④（a﹣b）3=a3﹣b3，其中正确的有：（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 负整数指数幂；同底数幂的除法；完全平方公式．
分析： 根据负整数指数幂的定义、同底数幂的除法法则和完全平方公式的定义解答．
解答： 解：①==﹣8≠﹣，错误；
②因为a2+2a﹣1不是完全平方的形式，所以a2+2a﹣1≠（a﹣1）2，错误；
③a8÷a8=a0（a≠0），正确；
④（a﹣b）3=（a﹣b）（a2+b2﹣2ab）=a3﹣b3+3ab2﹣3a2b≠a3﹣b3，错误．
只有③正确，
故选A．
点评： 本题主要考查了同底数幂的除法法则、零指数幂和负整数指数幂的运算．
负整数指数幂为正整数指数的倒数；
任何非0数的0次幂等于1；
同底数幂相除，底数不变，指数相减．

5．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． m2+n2 B． m2+4m+1 C． m2﹣n D． m2﹣2m+1

考点： 因式分解的意义．
分析： 根据因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，可得答案．
解答： 解：m2﹣2m+1=（m﹣1）2，
故选：D．
点评： 本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，因式分解的方法是一提取公因式，二套用公式，三分解要彻底．

6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）

A． （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B． 2a（a+b）=2a2+2ab
C． （a+b）2=a2+2ab+b2 D． （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

考点： 单项式乘多项式．
分析： 由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．
解答： 解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，
即2a（a+b）=2a2+2ab．
故选：B．
点评： 本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．

7．（x2﹣mx+1）（x﹣2）的积中x的二次项系数为零，则m的值是（）
A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D． 2

考点： 多项式乘多项式．
分析： 先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，根据x的二次项系数为零，得出关于m的方程，求出m的值．
解答： 解：∵（x2﹣mx+1）（x﹣2）=x3﹣（m+2）x2+（2m+1）x﹣2，
又∵积中x的二次项系数为零，
∴m+2=0，
∴m=﹣2．
故选C．
点评： 本题考查了多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．

8．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△BCF的面积为（）

A． 0.5cm2 B． 1cm2 C． 2cm2 D． 4cm2

考点： 三角形的面积．
专题： 计算题．
分析： 连接CE，由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC，
则S△EBC=2S△EDC=S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△BCF=S△EBC=×S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．
解答： 解：连接CE，如图，
∵点D为BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，
∵点E为AD的中点，
∴S△EDC=S△ADC，
∴S△EDC=S△ABC，
∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC，
∵F点为BE的中点，
∴S△BCF=S△EBC=×S△ABC=××8=2（cm2）．
故选C．

点评： 本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高德积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．

二、填空题（每题3分，共30分）
9．计算（）﹣2=．

考点： 负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数为正整数指数的倒数，可得答案．
解答： 解：原式=（），
故答案为：．
点评： 本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数是解题关键．

10．已知23×83=22n，则n=6．

考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析： 先化为以2为底的形式，然后根据积的乘方的运算法则求解．
解答： 解：∵23×83=23×29=212，
∴2n=12，
解得：n=6．
故答案为：6．
点评： 本题考查了积的乘方和幂的乘方和同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解答本题的关键．

11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若∠B+∠C=120°，则∠1+∠2=120°．

考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形的内角和定理可得出∠1+∠2=∠B+∠C．
解答： 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠1+∠2=120°，
故答案为120°．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180度．

12．已知等腰三角形的两边长分别为2、5，则三角形的周长为12．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
解答： 解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．

13．如图，长方形由8个边长为3cm的小正方形组成，图中阴影部分的面积是18cm2．

考点： 旋转的性质．
分析： 观察图形可得：S阴影=2S小正方形，继而求得答案．
解答： 解：如图，∵小正方形的边长为3cm，
∴S小正方形=9，
∴S阴影=2S小正方形=18．
故答案为：18．
点评： 此题考查了旋转的性质．此题难度不大，注意根据题意得到S阴影=2S小正方形是解此题的关键．

14．一个直角三角形的两条直角边长分别是2a+b和b﹣2a，则这个直角三角形的面积是．
考点： 平方差公式．
分析： 根据三角形的面积公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
解答： 解：=（b2﹣4a2）=，
故答案为：．
点评： 本题考查了平方差公式，两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差．

15．已知 （x﹣y）2=25，（x+y）2=1，则x2+y2=13．

考点： 完全平方公式．
分析： 利用完全平方公式把（x﹣y）2=25，（x+y）2=1展开，把两边相加得出2（x2+y2）=26，进一步求得答案即可．
解答： 解：∵（x﹣y）2=25，（x+y）2=1
∴x2﹣2xy+y2=25，x2+2xy+y2=1
∴2（x2+y2）=26
∴x2+y2=13．
故答案为：13．
点评： 此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式计算，进一步把代数式变形求得答案．

16．已知a+b=2，则=2．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先将原式提取公因式，进而配方得出原式=（a+b）2，即可得出答案．
解答： 解：∵a+b=2，
∴=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×22=2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握因式分解的基本方法是解题关键．

17．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=0．

考点： 三角形三边关系；绝对值；整式的加减．
分析： 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
解答： 解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，
=（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），
=a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，
=0，
故答案为：0．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．

18．已知：（x+2）x+5=1，则x=﹣5或﹣1或﹣3．

考点： 零指数幂．
专题： 计算题；分类讨论．
分析： 根据：a0=1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．
解答： 解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5=0，解得x=﹣5．
当x+2=1时，x=﹣1，
当x+2=﹣1时，x=﹣3，x+5=2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
点评： 本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到．

三、解答题（共96分）
19．化简计算：
（1）
（2）（﹣2x3）2•（﹣x2）÷[（﹣x）2]3
（3）（3x﹣2）（﹣3x﹣2）
（4）（2a﹣b）2•（2a+b）2．

考点： 整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二项利用零知识公式化简，最后一项利用负指数公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式先利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式第二个因式提前﹣1变形后，利用平方差公式化简，即可得到结果；
（4）原式先利用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式化简，最后利用完全平方公式展开，即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=6+1﹣（﹣3）
=10；

（2）原式=4x6•（﹣x2）÷x6=﹣4x8÷x6=﹣4x2；

（3）原式=﹣（3x﹣2）（3x+2）
=﹣（9x2﹣4）
=4﹣9x2；

（4）原式=[（2a﹣b）（2a+b）]2=（4a2﹣b2）2=16a4﹣8a2b2+b4．
点评： 此题考查了整式的混合运算，以及实数的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．

20．因式分解：
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）
（2）x4﹣18x2+81．

考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第二项变形后，提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式分解，再利用平方差公式化简即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b）；
（2）原式=（x2﹣9）2=（x+3）2（x﹣3）2．
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法与提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．如图，画出三角形ABC先向右平移5格，再向下平移2格得到的三角形A′B′C′．

考点： 作图-平移变换．
分析： 直接根据图形平移的性质即可得出结论．
解答： 解：如图所示：

点评： 本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

22．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5x（x﹣y），其中x=，y=．

考点： 整式的混合运算—化简求值．
分析： 先利用完全平方公式和单项式乘多项式的计算方法计算，进一步合并代入求得数值即可．
解答： 解：原式=4x2+4xy+y2﹣（9x2﹣6xy+y2）+5x2﹣5xy
=4x2+4xy+y2﹣9x2+6xy﹣y2+5x2﹣5xy
=5xy．
当x=，y=时，
原式=5××=．
点评： 此题考查整式的化简求值，注意先利用公式计算化简，进一步代入求值即可．

23．已知ax=，bk=﹣，求（a2）x÷（b3）k的值．

考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
专题： 计算题．
分析： 所求式子利用幂的乘方运算法则变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
解答： 解：∵ax=，bk=﹣，
∴（a2）x÷（b3）k=（ax）2÷（bk）3=×÷（﹣）=×（﹣27）=﹣．
点评： 此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．（6分）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2，x﹣y的值．

考点： 完全平方公式．
分析： 根据完全平方公式的变形来a2+b2=（a+b）2﹣2ab和（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab求解．
解答： 解：∵x+y=3，xy=2，
∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=32﹣2×2=5，即x2+y2=5．
（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=32﹣4×2=1，
则x﹣y=±1．
点评： 本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．

25．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
解答： 证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
点评： 本题考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．

26．先阅读：分解因式x2﹣2xy+y2﹣z2．
解：x2﹣2xy+y2﹣z2=（x﹣y）2﹣z2=（x﹣y+z）（x﹣y﹣z）
解答下列问题：
（1）分解因式：
①4x2﹣4xy+y2﹣z2；
②1﹣m2﹣n2+2mn；
（2）若a，b，c为△ABC的三边长，判断代数式△a2﹣2ab+b2﹣c2的值的正负．

考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题．
分析： （1）①把前面三项分为一组，最后一项分为一组，再把前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解；
②把前面一项分为一组，后面三项分为一组，再把后面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解；
（2）先把a2﹣2ab+b2﹣c2利用前面的方法分解得到（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），再根据三角形三边的关系得到a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，所以（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0．
解答： 解：（1）①4x2﹣4xy+y2﹣z2=（2x﹣y）2﹣z2
=（2x﹣y+z）（2x﹣y﹣z）；
②1﹣m2﹣n2+2mn=1﹣（m2﹣2mn+n2）
=1﹣（m﹣n）2
=（1+m﹣n）（1﹣m+n）；
（2）a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2
=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a，b，c为△ABC的三边长．
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0，
即：a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
点评： 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．

27．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请在横线上画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．没有这个这个等式是a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．

（2）小明想用类似的方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a+7ab+3b2，那么需用2号卡片3张，3号卡片7张．

考点： 多项式乘多项式．
专题： 计算题．
分析： （1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．
解答： 解：（1）如图所示：

故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；

（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2，
需用2号卡片 3 张，3号卡片7 张．
故答案为：3；7．
点评： 此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

28．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．
专题： 探究型．
分析： 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
解答： 解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（180°﹣∠A），
=90°+∠A；

探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，
=180°﹣（∠ADC+∠BCD），
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），
=（∠A+∠B）；

探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
点评： 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．

我要去看得更远的地方 第 17 页 共 17 页