计量经济学第二章主要公式.docx

第二章主要公式
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1、回归模型概述
（1）相关分析与回归分析
经济变量之间的关系：函数关系、相关关系
相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。
相关分析：
——总体相关系数
——样本相关系数
——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量
回归分析：相关关系 + 因果关系
（2）随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区别。
（3）总体回归模型
总体回归曲线：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹。
总体回归函数：
总体回归模型：
线性总体回归模型：
（4）样本回归模型
样本回归曲线：根据样本回归函数得到的被解释变量的轨迹。
（线性）样本回归函数：
（线性）样本回归模型：
2、一元线性回归模型的参数估计
（1）基本假设
① 解释变量：是确定性变量，不是随机变量

② 随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等

③ 随机误差项与解释变量：不相关

④ （针对最大似然法和假设检验）随机误差项：

⑤ 回归模型正确设定。
【前四条为线性回归模型的古典假设，即高斯假设。满足古典假设的线性回归模型称为古典线性回归模型。】
（2）参数的普通最小二乘估计（OLS）
目标：
对于一元线性回归模型：
正规方程组：

解得：

（3）最大似然估计（ML）
对于一元线性回归模型：
重要的基本假设：

得到：
【且，这个对最大似然法的估计很重要】
则目标：的联合概率密度最大，即

最终结果与OLS得到的结果相同。

（4）OLS估计量的性质
① 线性性
，其中
，其中
② 无偏性
à
à
③ 有效性
，
可以证明，OLS得到的方差最小。
④ 一致性
随着样本量的增大，参数的估计量以概率趋向于真值
，

（5）OLS回归函数的性质
① 样本回归线过样本均值点，即
② 被解释变量估计值的均值等于实际值的均值，即
③ 残差和为零，即
④ 解释变量与残差的乘积之和为零，即
⑤ 解释变量的估计与残差的乘积之和为零，即
（6）随机误差项的估计
OLS估计量（无偏）：
ML估计量（有偏）：
3、拟合优度检验
（1）离差分解
总体平方和（or总离差平方和）
回归平方和
残差平方和
有
（2）决定系数

【总离差中，能够解释的部分所占的比重】
4、统计推断
（1）参数估计的分布（T检验）
对于一元线性回归模型：
由正态分布的基本假设和估计量的性质（线性性、无偏性、有效性），参数的估计量有如下性质：
，
à
,其中
，其中
由于未知，用代替，则不再为常数。此时，
统计量1=，
其中，服从正态分布，

说明（1）：服从正态分布，则服从分布，残差平方和的自由度为n-2，故

用估计量代替以后的统计量1=
故：
同理：
（2）区间估计
，
（3）参数的假设检验
原假设，备择假设 à 双边检验
原假设，备择假设 à 单边检验
统计量：
临界值（临界水平为）： à 双边
à 单边
判断规则：如果，则拒绝原假设； à 双边
如果，则拒绝原假设； à 单边
【在实际应用中，一般取；当检验结果为拒绝原假设时，表明该参数显著地不为零，即认为该参数对应的变量具有显著的影响能力。】

（4）结果表达
【必须采用规范的表达方式】

或

5、预测
（1）总体均值的点预测（也是个别值的点预测）

（2）总体均值的预测置信区间

其中，
（3）个别值的预测置信区间

其中，。
【由于误差项的存在，个别值的波动更加明显，因此其方差更大。在实际做题中，如果未特别说明，都是计算均值的置信区间。】