2024年经济数学基础考点版.doc

3-2经济数学基础线性代数
一、单项选择题
1．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）能够进行.
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）
　　A. 　 　 B.
　　C. D.
3． 0，则有A = 0，或B = 0
8．设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ C 　）．
　　A.　　 B. 　　 C. 　　　　D.
9．设，则r(A) =（ D ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，
则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．线性方程组 解的情况是（ A 　）．
　　A. 无解　　 　B. 只有0解　　 C. 有唯一解　 　　 D. 有无穷多解
12．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（ A ）时线性方程组无解．
A． B．0 C．1 D．2
　　13． 线性方程组只有零解，则（ B ）.
　　A. 有唯一解　　　 B. 也许无解 　　 C. 有无穷多解　　 D. 无解
14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）．
A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解
15．设线性方程组有唯一解，则对应的齐次方程组（ C ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
16．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）能够进行.
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
17．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）
　　A. 　 　 B.
C. D.
18．设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（　D ）．
　　A. 若AB = I，则必有A = I或B = I　 　 B.
C. 秩秩秩 D.
19．设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）．
A． B． C． D．
20．设是可逆矩阵，且，则（　C ）.
A. 　　 　B. 　　 C. 　　D.
21．设，，是单位矩阵，则 ＝（ D ）．
A． B． C． D．
22．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.
A．AB = AC，A ¹ 0，则B = C B．AB = AC，A可逆，则B = C
C．A可逆，则AB = BA D．AB = 0，则有A = 0，或B = 0
23．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（D）时线性方程组有无穷多解．
A．1 B． C．2 D．
24． 若非齐次线性方程组Am×n X = b的( C )，那么该方程组无解．
A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m C．秩(A）¹ 秩 () D．秩(A）= 秩()
25．线性方程组 解的情况是（ A 　）．
　　A. 无解　　 　B. 只有0解　　 C. 有唯一解　 　 D. 有无穷多解
　　26． 线性方程组只有零解，则（B ）.
A. 有唯一解　　　 B. 也许无解 　　 C. 有无穷多解　　 D. 无解
27．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）．
A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解
28．设线性方程组有唯一解，则对应的齐次方程组（ C ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
30. 设A, B均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ).
　　 A. (AB)T = ATBT　　　 B. (AB)T = BTAT
C. (AB T)-1 = A-1(BT)–1 　　 　 D. (AB T)-1 = A-1(B–1) T
解析：(AB )-1＝B-1 A-1　　(AB)T = BTAT　　故答案是B
31. 设A= (1 2), B= (-1 3), E是单位矩阵, 则ATB –E ＝( A ).
A. B. C. D.
解析：ATB –E＝
32. 设线性方程组AX = B的增广矩阵为, 则此线性方程组
一般解中自由未知量的个数为( A ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：
33. 若线性方程组的增广矩阵为(A, B)=, 则当＝(D )时线性方程组有无穷多解.
A. 1 B. 4 C. 2 D.
解析：
34. 线性方程组 解的情况是( A 　).
A. 无解　　　B. 只有零解　　 C. 有惟一解　 D. 有无穷多解
解析：
35. 如下结论或等式正确的是（ C ）．
A．若均为零矩阵，则有
B．若，且，则
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若，则
36. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵故意义，则为（ A ）矩阵．
A． B． C． D．
37. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（　C ）． `
A．， B． C． D．
38. 下列矩阵可逆的是（ A ）．
A． B． C． D．

39. 矩阵的秩是（ B ）．
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
1．两个矩阵既可相加又可相乘的充足必要条件是 与是同阶矩阵
2．计算矩阵乘积=[4]
3．若矩阵A = ，B = ，则ATB=
4．设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式
5．设，当　　 0　 　 时，是对称矩阵.
6．当 时，矩阵可逆.
7．设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解
8．设为阶可逆矩阵，则(A)= n ．
9．若矩阵A =，则r(A) = 2 ．
10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ．
11．若线性方程组有非零解，则 -1 ．
12．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r ．
13．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量)
14．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当　 =-1 　时，方程组有无穷多解.
15．若线性方程组有唯一解，则　只有0解 　.
16．两个矩阵既可相加又可相乘的充足必要条件是 　　. 答案：同阶矩阵
17．若矩阵A = ，B = ，则ATB= ．答案
18．设，当　 　 时，是对称矩阵. 答案：
19．当 时，矩阵可逆. 答案：
20．设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解答案：
21．设为阶可逆矩阵，则(A)= ．答案：
22．若矩阵A =，则r(A) = ．答案：2
23．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b ．答案：无解
24．若线性方程组有非零解，则 ．答案：
25．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于答案：
26．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .
答案： (其中是自由未知量)
27．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当　 　时，方程组有无穷多解. 答案：
28. 计算矩阵乘积= [4] .
29. 设A为阶可逆矩阵, 则(A)= n .
30. 设矩阵A =, E为单位矩阵, 则(E –A) T=
31. 若线性方程组有非零解, 则 －1 .
32. 若线性方程组AX=B(B ¹O)有惟一解, 则AX=O　　无非零解 　　　　.
33.设矩阵，则的元素.答案：3
34.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：
35. 设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是 .答案：
36. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：
37. 设矩阵，则.答案：
三、计算题
1．设矩阵，，求．
1．解 因为 =
==
因此 ==
2．设矩阵 ，，，计算．
2．解：=
= =
3．设矩阵A =，求．
3．解 因为 (A I )=

因此 A-1 =
4．设矩阵A =，求逆矩阵．
4．解 因为(A I ) =

因此 A-1=
5．设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1．
5．解 因为AB ==
(AB I ) =

因此 (AB)-1=
6．设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．
6．解 因为BA==
(BA I )=

因此 (BA)-1=
7．解矩阵方程．
7．解 因为

即
因此，X ==
8．解矩阵方程.
8．解：因为
即
因此，X ===
9．设线性方程组

讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
9．解 因为

因此当且时，方程组无解；
当初，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解.
10．设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
10．解 因为

因此 r(A) = 2，r() = 3.
又因为r(A) ¹ r()，因此方程组无解.
11．求下列线性方程组的一般解：

11．解 因为系数矩阵

因此一般解为 （其中，是自由未知量）
12．求下列线性方程组的一般解：

12．解 因为增广矩阵

因此一般解为 （其中是自由未知量）
13．设齐次线性方程组

问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.
13．解 因为系数矩阵
A =
因此当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为
（其中是自由未知量）
14．当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.
14．解 因为增广矩阵

因此当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量〕
15．已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.
15．解：当=3时，，方程组有解.
当=3时，
一般解为， 其中, 为自由未知量.
16．设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．
解 因为BA==
(BA I )=

17．设矩阵，是3阶单位矩阵，求．
解：由矩阵减法运算得

利用初等行变换得

即　　　　
18．设矩阵，求．
解：利用初等行变换得

即　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　
由矩阵乘法得

19．求解线性方程组的一般解

解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形

一般解为
(是自由未知量)
20．求当取何值时，线性方程组

有解，在有解的情况下求方程组的一般解．
解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

因此，当初，方程组有解，且有无穷多解，

答案：其中是自由未知量．
21．求当取何值时，线性方程组

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

　 　当初，方程组有解，且方程组的一般解为

其中为自由未知量．
22．计算
解 =
23．设矩阵，求。
解 因为

因此
（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）
24．设矩阵，确定的值，使最小。
解：
当初，达成最小值。
25．求矩阵的秩。
解：
→
∴。
26．求下列矩阵的逆矩阵：
（1）
解：

∴
（2）A =．
解：→
→

∴A-1 =
27．设矩阵，求解矩阵方程．
解：
∴
∴ =
四、证明题
1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．
1．证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB
因此 AB = (AB)T = BT AT = BA
2．试证：设是n阶矩阵，若= 0，则．
　　2．证 因为
= ==
因此
3．已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求.
3. 证 因为，且，即
，
得，因此是可逆矩阵，且.
4. 设阶矩阵满足，，证明是对称矩阵.
4. 证 因为
==
因此是对称矩阵.
5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．
5．证 因为 ，且

因此 AB＋BA是对称矩阵．
6、试证：若都与可互换，则，也与可互换。
证：∵，
∴
即 也与可互换。

即 也与可互换.
7．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。
证：∵
∴是对称矩阵。
∵=
∴是对称矩阵。
∵
∴是对称矩阵.
8．设均为阶对称矩阵，则对称的充足必要条件是：。
证： 必要性：
∵ ，
若是对称矩阵，即
而 因此
充足性：
若，则
∴是对称矩阵.
9．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。
证：∵

∴是对称矩阵. 证毕.