2024年高一数学三角恒等变换.doc

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：
本章学习的重要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及利用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和措施的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的某些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，深入体会向量措施的作用；
2. 了解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 利用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生深入提升利用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的有关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，利用向量的知识来予以证明，减少了难度，使学生轻易接收；
2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其他的公式；
3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章所有内容的安排上，尤其注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化利用数学思想措施指引设计变换思绪的意识；
4. 本章在内容的安排上落实“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过度强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
三、教学内容及学时安排提议
本章教学时间约8学时，详细分派如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3学时
3.2简单的恒等变换 约3学时
复习 约2学时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立有关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特性及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为利用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标
掌握用向量措施建立两角差的余弦公式.通过简单利用，使学生初步了解公式的结构及其功效，为建立其他和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，尚有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，利用已学知识和措施的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学构想：
（一）导入：我们在初中时就懂得 ，，由此我们能否得到大家能够猜测，是不是等于呢？
依照我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们懂得，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也能够用角的余弦线来表示，大家思考：怎样结构角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识处理有关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应当选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索成果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识处理问题的不一样之处，体会向量措施的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出

（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、结组成两个特殊角的和、差.

点评：把一个详细角结组成两个角的和、差形式，有诸多个结构措施，例如：，要学会灵活利用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，因此
因此
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特性，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活利用.
（五）作业：

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标
了解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的措施，体会三角恒等变换特点的过程，了解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及利用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活利用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学构想：
（一）复习式导入：大家首先回忆一下两角和与差的余弦公式：
；．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）能够实现正弦、余弦的互化，这对我们处理今日的问题有协助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
．
让学生观测认识两角和与差正弦公式的特性，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．
通过什么途径能够把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，
于是有

两成果同样，我们能否用第一章知识证明？

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：分析：解此类题首先要学会观测，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
（3）、．
例3、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发觉规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是结构一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发觉规律，学会灵活利用.
作业：
1、 已知求的值．（）
2、 已知，求的值．

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，了解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的了解及其灵活利用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学构想：
（一）复习式导入：大家首先回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中当作即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述有关的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发觉规律，学会灵活利用.
（五）作业：

3.2 简单的三角恒等变换（3个学时）
一、课标要求：
本节重要包括利用已经有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中怎样选择公式，怎样依照问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想措施的认识，从而加深了解变换思想，提升学生的推理能力．
三、教学目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中怎样选择公式，怎样依照问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想措施的认识，从而加深了解变换思想，提升学生的推理能力．
四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已经有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思绪和措施，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提升推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能利用数学思想措施指引变换过程的设计，不停提升从整体上把握变换过程的能力．
五、学法与教学用具
学法：讲授式教学
六、教学构想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思绪和措施愈加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．
例1、试以表示．
解：我们能够通过二倍角和来做此题．
因为，能够得到；
因为，能够得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不一样？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，因为不一样的三角函数式不但会有结构形式方面的差异，并且还会有所包括的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包括的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在背面的练习当中尚有六个有关积化和差、和差化积的公式．
例３、求函数的周期，最大值和最小值．
解：这种形式我们在前面见过，，
因此，所求的周期，最大值为２，最小值为．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个学时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想措施加深认识，学会灵活利用．
作业：

《三角恒等变换》复习课（2个学时）

一、教学目标
深入掌握三角恒等变换的措施，怎样利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与措施：
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan2α=
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用-β替代β、±β替代β、α=β等换元法能够推导出其他公式。你能依照下图回忆推导过程吗？

2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽也许少，名称尽也许少，次数尽也许底，分母尽也许不含三角函数，根号内尽也许不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要依照上三角函数值深入缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与措施，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差异；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间能够用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后利用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。

例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。

例4 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。

例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为减少成本，必须尽也许减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？

8

A

E D

B C
分析：解答本题的核心是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值