2024年排列组合插板法插空法捆绑法.doc

排列组合问题插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插 板 法 （m为空的数量） 【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不一样的m组中，且每组最少有一个元素，问有多少种分法？图中“ ”表示相同的名额，“ ”表示名额间形成的空隙，构想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、七个部分所包括的名额数分给第一、二、三七所学校，则“挡板”的一个插法恰好对应了10 个名额的一个分派措施，反之，名额的一个分派措施也决定了档板的一个插法，即挡板的插法种数与名额的分派措施种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不一样个m组，每组最少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不一样措施。注意：这么对于诸多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，能够通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这么就能够利用插板法处理，并且常常会产生意想不到的效果。【基本解题思绪】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，目前我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（也许是1个、2个、3个、4个、.），这么不一样的插入措施就对应着n个相同的元素分到m组的一个分法，这种借助于这么的虚拟“档板”分派元素的措施称之为插板法。【基本题型例题】【例1】 共有10完全相同的球分到7个班里，每个班最少要分到一个球，问有几个不一样分法？解析：我们能够将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，目前我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（也许是1个、2个、3个、4个），这么，借助于虚拟“档板”就能够把10个球分到了7个班中。【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不一样的分法？解题思绪：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中能够为空的。对于这么的题，我们就首先将每组都填上1个，这么所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组最少分到一个的问题，也就能够用插板法来处理。 【例2】有8个相同的球放到三个不一样的盒子里，共有（ ）种不一样措施.A35 B28 C21 D45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+31=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素最少某个确定值S（s1，且每组的s值能够不一样），问有多少种不一样的分法？ 解题思绪：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是最少为一个了。对于这么的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应确实定值s那么多个，这么就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩余的球。这么这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就能够用插板法来处理。【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几个不一样的放法？解析：编号1：最少1个，符合要求。编号2：最少2个：需预先添加1个球，则总数-1编号3：最少3个，需预先添加2个，才能满足条件，背面添加一个，则总数-2则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里因此C（11，2）=55（种）【例】10 个学生中，男女生各有5 人，选4 人参加数学竞赛。（1）最少有一名女生的选法种数为_。（2）A、B 两人中最多只有一人参加的选法种数为_解法1：10 名中选4 名代表的选法的种类：C104, 排除4名参赛全是男生：C54 (排除法)C104 -C54=205解法2：选1女生时，选2个女生时，选3、4个女生时的选法，分别相加真题（国考真题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门最少发放9份材料。问一共有多少种不一样的发放措施？（ ） A.7 B.9 C.10 D.12 解析：每个部门先放8个，背面就最少放一个，三个部门则要先放83=24份，还剩余30-24=6份来放入这三个部门，且每个部门最少发放1份，则C（5,2）=10 插 空 法 插空法就是对于处理某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。首要特点就是不相邻。下面举例阐明。一. 数字问题【例】 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不一样排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不一样的五位数有二. 节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目标相对次序不变，再添加进去三个节目，则所有不一样的添加措施共有多少种？解析：-o - o - o - o - o - o -六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种措施；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种措施；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种措施。由乘法原理得，所有不一样的添加措施为：。三. 关灯问题【例】一条公路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，能够把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不一样的关灯措施有多少种？解析：假如直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩余亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有种措施，因此所有不一样的关灯措施为种。四. 停车问题【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不一样的停车措施有多少种？解析：先排好8辆车有种措施，要求空位置连在一起（剩余4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位能够插），将空位置插入其中有种措施。因此共有种措施。五. 座位问题【例】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。 捆 绑 法 解答：依照题目要求，则其中一个盒子必须得放2个，其他每个盒子放1个球，因此从6个球中挑出2个球当作一个整体，则有，这个整体和剩余4个球放入5个盒子里，则有。措施是