南航戴华《矩阵论》矩阵函数与矩阵值函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第7章 矩阵函数与矩阵值函数,7.1 矩阵函数,7.2 矩阵值函数,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,7.4,*,特征对的灵敏度分析,1,7.1 矩阵函数,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,2,7.1.1,矩阵函数的幂级数表示,定义7.1.1,3,4,5,定理7.1.1,6,推论 7.1.1,定理7.1.2,7,7.1.2,矩阵函数的另一种定义,设矩阵,A,的最小多项式为,8,定理7.1.3,定义7.1.2,则定义矩阵函数,f,(,A,)为,9,定理7.1.4,10,定理7.1.5,定理7.1.6,11,其中,且(7.1.25)给出的矩阵函数,f,(,A,)与,A,的Jordan标准形,J,中Jordan块的排列次序及变换矩阵,P,的选取均无关,。,定理7.1.7,12,定理7.1.8,13,7.2 矩阵值函数,7.2.1 矩阵值函数,7.2.2 矩阵值函数的分析运算,14,7.2.1,矩阵值函数,定义7.2.1,称为定义在(a,b),上的,矩阵值函数,。,特别地，当,n=1,时，得到,向量值函数,。,通常用,等形式表示,。,15,定义7.2.2,区间(,a,b,)上,m,n,矩阵值函数,A,(,x,)不恒等于,零的子式的最高阶数称为,A,(,x,)的,秩,，记为,rank,(,A,(,x,)。,特别地，如果,A,(,x,)是区间(,a,b,)上,n,阶矩阵值函数，并,且,rank,(,A,(,x,)=,n,，则称,A,(,x,)为,满秩,的,。,定义7.2.3,则称,A,(,x,)在(,a,b,)上,可逆,，并称,B,(,x,)为,A,(,x,)的逆矩阵，,记为,A,-,1,(,x,)。,16,定理7.2.1,n,阶矩阵值函数,A,(,x,)在区间(,a,b,)上可逆的,充分必要条件是|,A,(,x,)|在(,a,b,)上处处不为零，并且,其中,是,A,(,x,)的伴随矩阵值函数，,A,ij,(,x,)是,A,(,x,)中元素,a,ij,(,x,)的,代数余子式。,17,7.2.2,矩阵值函数的分析运算,定义7.2.4,18,19,定义7.2.5,20,矩阵值函数的导数运算具有下列性质,：,21,因为,矩阵乘法没有交换律,，一般地，对正整数,m,1和可导的,n,阶矩阵值函数,A,(,x,),定理7.2.2,如果,n,阶矩阵值函数,A,(,x,)在(,a,b,)上可逆且,可导，则,22,定义7.2.6,为,A,(,x,)在,a,b,上的,积分,。,矩阵值函数的积分具有如下性质：,23,(3),对常数矩阵,A,和,C,，有,(4),如果矩阵值函数,A,(,x,)在,a,b,上连续，则,(5),如果矩阵值函数,A,(,x,)在,a,b,上连续，则,24,定义7.2.7,25,矩阵值函数的导数具有如下性质：,26,27,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,一阶线性微分方程组,28,其中,29,方程组(7.3.1)的初始条件,可以表示成,定理7.3.1,设,A,是,n,阶常数矩阵，则微分方程组,30,定义7.3.1,设,A,是,n,阶常数矩阵，如果对任意的,t,0,和,x,0,，,初值问题,定理7.3.2,对任意的,t,0,和,x,0,，初值问题(7.3.8)的解,x,(,t,)渐,近稳定的充分必要条件是矩阵,A,的特征值都有负实部。,31,定义7.3.2,设,A,是,n,阶矩阵，如果,A,的特征值都有负实,部，则称,A,为,稳定矩阵,。,定理7.3.3,设,A,是,n,阶常数矩阵，则微分方程组,32,7.4,*,特征对的灵敏度分析,定理7.4.1,则方程组,33,定理7.4.2,则方程组,34,证明,是非奇异矩阵，并且,令,35,定理7.4.3,36,由(7.4.3)和(7.4.6)得,令,37,由定理7.4.1知，方程组,38,令,由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有,39,由定理7.4.1知，方程组,40,令,由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有,41,定理7.4.4,42,定理7.4.5,43,则,44,定理7.4.6,45,