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惠州市第三中学2010-2011学年第一学期第三次测试高三文科数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2．抛物线的焦点坐标为 ( )
A B C D
3．已知点M（1，0）是圆C:内的一点，则过点M的最短弦所在的直线方程
是 ( )
A B C D
4．等差数列的前项和为，那么值的是 （ ）
A 130 B 65 C 70 D 以上都不对
5. 已知R是实数集，，则= ( )
A B C D
6. 下列有关命题的说法错误的是 ( )
A 命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.
B “”是“”的充分不必要条件.
C 若为假命题，则、均为假命题.
D 对于命题：使得. 则： 均有.
7． 函数的图象的大致形状是 ( )
A B C D
8．已知函数 若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A B C D
9．已知函数，，的零点分别为
，则的大小关系是( )]
A B
C D
10．设，又记则（ ）
A B C D
二、填空题：(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分)
（一）必做题（11～13题）
11.过曲线（）上横坐标为1的点的切线方程为 ．
12．已知向量, 如果与所成的角为锐角，则的取值范围是 .
13. 已知的最大值为8，则= .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；如果二题都做，则按第14题评分）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离为 .
15.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，∠PAB=300，则圆O的面积为 。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知电流与时间的关系式为.
（１）如图是（ω＞0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；
（２）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
17.（本小题满分12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
①
0.350
第3组
30]
②
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.00
18．（本题满分14分）右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，平面，
，且=2 .
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B－CEPD的体积；
（3）求证：平面．
19.（本小题满分14分） 已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
20. (本题满分14分)已知函数的图像过点（1,3），且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称.
（Ⅰ）求与的解析式；
（Ⅱ）若在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
21. 已知数列中，对一切自然数，都有 且．
求证：(1)；
(2)若表示数列的前项之和，则．
高三文科数学答案
一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
A
B
C
D
C
A
D
二、填空题：(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分)
11. ______ 12. __
13. __ -6 ___ 14. __ ___ 15. _ _____
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
解（１）由图可知 A＝300 …………………1分
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝…………………3分
∴ ω＝＝150π. …………………4分
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴ ＝. …………………6分
故所求的解析式为. …………………7分
（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）…………………10分
∴ ω≥200π＞628，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝629. …………………12分
17. （本小题满分12分）
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
①
0.350
第3组
30]
②
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.00
所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………12分
18
．（本小题满分14分）
解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分
(2)∵平面，平面
∴平面平面ABCD
∵ ∴BC平面----------5分
∵--6分
∴四棱锥B－CEPD的体积
.----8分
(3) 证明：∵，平面，
平面
∴EC//平面,------------------------------------10分
同理可得BC//平面----------------------------11分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面-----------------------------13分
又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）设，依题意，则点的坐标为 ……………1分
∴ ………………………2分
又 ∴ ………………………4分
∵ 在⊙上，故 ∴ ………………………5分
∴ 点的轨迹方程为 ………………………6分
（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足
，则是线段MN的中点，且有…9分
又 在椭圆上
∴ 两式相减，得 ……12分
∴ ∴ 直线MN的方程为
∴ 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为 ………………14分
20．（本小题满分14分）
解：⑴由题意知：，
设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为P（x,y）,
则， ……………………4分
因为点
⑵
连续，恒成立……9分
即，………………..10分
由上为减函数，………………..12分
当时取最小值0，………………..13分
故
另解：，
，解得
21．（本小题满分14分）
解： (1)由已知得，
又因为，所以, 因此，即．……..6分
(2) 由结论(1)可知 ，即，
于是，
即．………….14分
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