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小学数学问题解决及其教学构想
建湖县芦沟镇中心小学 张蕾
[摘　要]数学问题是指以数学为内容,或者虽不以数学为内容,但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。问题解决教学要通过创设情境、联系生活实际来激发学生的求知欲望,使学生亲身体验分析问题、解决问题的全过程,从而培养他们使用数学的意识、探索精神和实际操作能力。
一、数学问题解决的基本认识
（一）问题及数学问题
当代美国数学家哈尔莫斯曾说：问题是数学的心脏。著名数学教育家波利亚也曾给“问题”下了个定义：问题就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不可立即可求的目标。问题就是个体面临的一个不易达到的目标情境。
数学问题是指人们在数学活动中所面临的、不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。数学问题具有单个显著特征：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，问题必须能对学生构成挑战或认识上的障碍；二是探究性，即问题的解决常常不能按常规思路去套，迫使学生去探究新的解决方法；三是可接受性，即它能激发起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。
（二）问题解决的一般过程
从小学数学学习特点看，问题解决由以下五个基本过程。
1．了解问题情境
了解问题情境就是具体地认识这个数学问题陈述的是什么。了解问题情境对问题解决起着思维定向作用，学生从问题情境中接受信息，注意力便集中于从已知状态到目标状态的努力之中。小学数学中大量的数学问题是以应用题形式出现的，解答应用题时，了解问题情境显得尤其重要。要了解问题情境，首先应当认真的读一读。对于学生感到陌生的问题情境，教师可给予适当的讲解。如果学生不能“身临其境”地了解问题的情节，把文字描述内化为鲜明的表象，他们就不可能真正理解题意。
2.明确问题的条件和目标
了解问题情境，学生就可以将问题的条件和目标从情境中分离出来，从而明确问题的条件和目标。
对于学生来说，有些隐蔽的或具有潜在意义的条件容易被疏忽，如，“照这样计算”等。有些问题的目标不容易分辨，如“一千克水中放农药多少？”和“一千克药水中，有农药多少”等。有些问题的目标又不容易找到，如“能否按时完工？”教师在教学中要引导学生逐步理解他们隐含的意义。
3.寻求解决方法
寻求解决方法是解决问题的核心。学生明确了解问题的条件和目标，弄清了他们之间的“差距”，就开始着手寻找填补这个差距的方法，进而解决这个问题。解决问题的关键就是要寻求填补问题的条件和目标之间差距的方法。
寻求解决问题的方法，不是简单地利用已有信息，而是要对这些信息进行加工。加工的基本思想是“变更问题”，使“已知”与“所求”愈来愈接近，而变更问题的主要方法是变更问题的条件或目标。
4.求得解答并检验
把寻求到的解决方法实施于已经清楚辨认的问题情境之中，求的问题的答案。再进行一定形式的检验，看答案是否合理，解题方法是否简捷等等。
5.回顾反思
回顾反思是问题解决的一个很重要的步骤，他并不是以答案为唯一目标。回顾反思的内容包括：问题是如何解决的？突破口是怎样找到的？运用了那些思想方法？是否有进一步的改进的余地？是否还有其他解法？那种方法最简捷？在问题解决的过程中收到了哪些启示？
（三）儿童数学问题解决策略的主要心理特点
数学问题结局是一个复杂的心理活动。儿童的数学问题解决过程，并不仅仅是简单地，机械地，直接地运用已知的信息的过程，而是一个对信息进行加工处理，从认识问题的基本关系与内部关系开始，重新组合已知概念、定理，调节题目中基本元素的关系，探索解题途径，从而发现有效方法的过程。
现代学习信息学研究表明，问题分为三种状态，即初始状态、中间状态和目标状态。问题解决就是从问题的初始状态开始，寻求适当的途径和方法逐步逼近目标状态的过程。因此，问题解决实质上是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题的结果，达到问题的目标状态的过程。
一般来说，数学问题解决时在一定的问题情境中开始的。所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问题是以什么样的状态、方式组成和出现的。它包括：第一，个体试图达到某一目标；第二，个体与目标之间存在着一定的距离，从而引起学生内部的认识矛盾冲突；第三，有激起个体积极的心态，即产生思考、探索和达到目标的心向，从而激发学生积极主动地思维活动。问题情境起着解决问题的思维定向作用。
二、小学数学问题解决的策略的知识的构建与发展
策略是经过思维而形成的一种高级的解决问题的方法，它具有较强的价值性。小学数学所提供的解决问题的策略，不仅可以让学生在解决问题的过程中获取知识形成的体验，更重要的是能为学生解决相关问题提供强有力的支撑，触类旁通，举一反三。同时，解决问题策略的理解和掌握，对小学生的后续发展举足轻重。现就小学数学解决问题的常用策略予以浅说:
（一）列举法
列举法是一种重要的数学方法,有很多较复杂的问题,常常是从具体情况一一枚举,从中找出规律和方法再加以解决的。这种策略适用于列式比较困难的问题，它是把事情发生的各种可能进行有序思考，逐个罗列，并用某种形式进行整理，从而找到问题的答案。例如：今年的2009年三月二日是星期一,这年的三月二十七日是星期几?首先我们想一周是七天,每增加七天星期几还是一样的,因此得到三月二十三日也是星期一,二十四日（星期二）、二十五日(星期三)、二十六日(星期四)、那么可知二十七日就是星期五。
（二）画图法
小学生由于年龄的局限，生活经验和知识都很少，因此在抽象思考解决问题时难免会遇到困难。小学生在纸上画画图可以拓展思路，使用这项解题策略，比较符合小学生的具体运算阶段的特点。这种策略适用于解决抽象而又可以图像化的问题，它是用简单的图直观的显示题意，有条理的表示数量关系，从中发现解题方法，确定解题方法。例如：
平桥中心小学有一块长方形的花圃,长8米。在扩建活动中,花圃的长增加了3米,这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米?
原来花圃的面积?平方米
增加的面积18平方米
通过画图我们知道长增加了,而宽不变,因此我们有增加的面积可知原来长方形的宽是18÷3＝6（米）,进而得知原来长方形的面积是8×6=48（米）。
运用图形把抽象问题具体化、直观化，从而学生能迅速地搜寻到解题的途径。怪不得前苏联心理学家克鲁切茨对天才儿童研究发现，许多天才儿童是借助画图解决问题，而数学上能力较差的学生在解决问题中不依靠形象图形，最主要的是他们不知道如何依靠。因而，对学生进行画图策略的指导显得犹为重要。
（三）列表法
在解决问题时，可以指导学生运用表格把一些信息列举出来，寻求解题策略，也可以在让学生列举部分情况的基础上，引导学生从表格中寻找到解决问题的策略。这种策略适用于信息资料复杂难明，信息之间关系模糊的问题。它是把信息中的资料用表列出来，观察和理顺问题的条件，发现解题的方法。例如：
妈妈用二十根一米长的栅栏围城一个长方形的菜地,有多少种不同的围法?
解：先想想这个长方形的周长是多少,用小棒摆一摆。如果长方形的常是6米,宽应该是4米;如果长是7米…
先求出长方形的长、宽的和,在列表列举一下。
长方形的长（米）
8

长方形的宽（米）
1

（四）假设法
有些问题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。这种方法适用于解决一些数量关系比较隐蔽的问题。它是根据题目中的已知条件或结论，作出某种假设，然后根据假设进行推算，对数量上出现的矛盾进行调整，从而找到正确答案。例如：
六年级三班42人区公园划船,一共租用了10只船.每只大船坐5人,每只小船坐三人,租用的大船和小船各有多少只?
这种题目可以用假设法来做,假设10只都是大船,可以知道能多坐8人,应该有几只小船呢?
10×5=50(人)   50-42=8(人)   每只小船比大船少坐两人,那少坐的8人应该是几只小船少的呢?   因此就用8÷(5-3)=4(只).
（五）倒推法
有的题目正推非常困难,而倒过来就容易多了.这种倒推的策略主要运用于解决已知最后的结果，到达最终结果时每一步的具体过程或做法，未知的是最初的数量，它是从题目的问题和结果出发，根据已知逐步的进行逆向推理，一步步靠拢已知条件，直至问题解决。例如：
小明原来有一些贴画,今年又搜集了24张,送给小圆30张后,还剩52张.小明原来有多少张邮票?
先整理分析:原有? 张    又搜集24张    送给小圆30张    还有52张 还剩52张,跟小圆要回30张呢?再拿掉收集的24张呢?…那么:52+30=82(张)82-24=58(张)
（六）替换法
这种方法适用于解决条件关系复杂，没有直接方法可解的问题，它是用一种相等的数值、数量、关系、方法、思路去替代、变换另一种数值、数量、关系、方法、思路，从而解决问题。这样的例子很多。
有些数学问题学习者却不能按照既定的解题思路有序进行推导、运算、操作，它需要采用特殊化的思维策略，如果能合理、灵活地运用假设的策略可以很快地获得解题方法.俗话说：解题有法而无定法。这正说明了数学问题的纷繁复杂，解题技法的灵活多变。一个数学问题摆在面前，其思维的触须是多端的，以上所述的几种解题策略只是平时常用的导引途径，为了能够更有效地提高解题能力，还要我们学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。
三、小学数学问题解决的教学初探
打开国标苏教版教材，自四年级开始几乎每一册都安排了“解决问题的策略”这一单元，虽然单元都很小，一般两三个课时，但其中的思维含量、思考价值都相当高。如，用列表、画图、倒过来算、一一枚举、代换等思想解决问题。其思维训练的价值较之以往纯粹的难度考验、题海训练显然是有天壤之别。这些内容都是以策略解决问题，绝不纠缠于复杂的计算与复杂的数量关系。它在重视传授知识的同时，更重视引导学生领会数学方法、感悟数学思想，以使学生学会数学地思维，形成数学意识。
（一）怎样习得策略──教师如何教的问题
在日常教学中，可能存在这样的一种通病。即：有难题出现时，学生常常表现出畏难情绪，期待教师能够深入浅出地讲解；而教师看到无论怎样启发学生，他们都不能领悟。在解决问题策略的教学中更是如此，题目难度都很大，学生到底如何习得策略？从学生长远的策略意识的养成来看，还是应该让其在探索中习得、在碰壁中习得、在辨析中习得。这样，学生才能够更深刻地感受到策略的作用。难度大，更应发挥学生主体性的作用。如：学生画图思路的习得，就应该让学生从具体的行为上升为意识，教学时教师应把握两个时机：第一个时机是在学生理解题意有困难，想不到解题方法时。此时，不要为学生解释题意和提示算法，而是要引导其通过画图整理信息，理解题意、形成思路、寻找解法。第二个时机是学生在解决完问题后，要引导其认识画图整理信息的作用，启发学生在以后的解题中自觉地使用。
（二）如何处理练习──怎样调动学生兴趣的问题
沈重予老师在《“解决问题的策略”教材分析》中指出，给学生解答的数学题一般有两种情况：一种是已经学过且记住的题，学生一看即知道怎样解答；另一种是从未见过的陌生题，学生暂时不知道可以怎样解答。《解决问题的策略》的练习显然属于后一种情况。学生需要通过“探索研究──创新性地运用已有经验──重新的认识”。这样的练习如果处理不当，教学就会变成见题教题，变成学生被动的接受与机械模仿。学生的学习就会缺乏兴趣，产生畏难情绪。这样的练习应注意三点：
1.不能过多地补充范例，必须坚持少而精的原则。研究一个问题，就要让学生学得透彻，不仅知道解答方法，更重要的是在研究过程中形成策略意识，习得策略技能。
2.不应以教师的讲解为主，而应以学生的自主探索为主。教师在讲解中将问题的难点分解以后，问题本身也就失去了其思考的价值，应该坚持让学生在独立思考的基础上合作、尝试，互相甄别对错，进而形成正确的理解并解决问题。这样的处理或许花时间较多，学生也会错误百出，但毕竟是学生真实思维水平的反映，这样几经打磨，学生的思维水平会走上一个新的台阶，学习的兴趣也会长盛不衰的。
3.形式要避免单一，富有挑战性。难度大，形式单一，学生难免会陷入疲于应付的状态。教学中教师应该对教材合理取舍、有效整合、恰当改造，力图使学生的探索动力源源不竭。
（三）怎样达到以不变应多变──理解教材的高度问题
仔细研究《解决问题的策略》的例题和练习，不难发现：问题变化多于重现。有的是题材和情境不同，有的是条件与问题不同，有的是数量关系不同。题目千变万化，但有一点不变，这些题都可以用转化的策略解决问题。这些题目的处理原则应该是《教材分析》中指出的：以不变应多变的原则。教学中如何实现这种高屋建瓴，以简御繁的学习理解，我认为最主要是：应以策略为抓手，以理解为线索，在实践中学习技能，以不变涵盖多变，实现策略意识的形成，策略技能的掌握。
但在实际教学中，由于教师引导不够或教学行为不当或评价方法欠妥等许多外在因素的影响，学生从初步接触到逐渐深入可能会感到难度在不断加大，更有部分学生会有非常困难的感觉。学生在参与这部分内容的学习中，显然没有特别高的积极性，教师也很难调动学生的积极性，大部分学生处于被动的接受状态，只有一部分“好学生”是在思考、参与之中。一节课下来，有一些学生仍处于似懂非懂的状态。他们虽有了一定的策略意识，但遇到具体的题目时却仍然很难得出正确的结论，有相当一部分学生存在畏难、依赖、自卑、紧张等学习数学的心理障碍。
四、结束语
学习数学离不开解决问题，“问题解决”的过程具体表现为教师对学生运用数学知识进行思维活动的指导过程。它是从创设问题情景、发现问题、探究问题、解决问题、评价过程和结果等几个方面来组织和实施教学的。但解决问题不是目的，而是为了学生加深对知识的理解，强化技能训练，提高问题解决的策略意识，提高思维能力、解决问题的能力、培养创新精神和实践能力。因此，引导和促进学生在解决问题的过程中学会正确的思维方法和解题策略就显得尤为重要。以上对小学生数学问题解决的策略研究也反映学生解决数学问题的基本策略，并提供可操作的问题解决策略培养的指导策略，希望能够通过我们的实践，逐步提高小学数学问题解决教学的有效性，以实现全面提高学生数学素养的目的。

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