齐民友高数下册上课第09章08多元函数微分学的几何应用(1).doc

第1章 集 合
第8节　多元函数微分学的几何应用（考点）
8.1 空间曲线的切线与法平面
在空间解析几何中，空间曲线一般用两种方式来表示，参数式方程和一般式方程．下面我们分别探求这两种情形时曲线的切线及法平面方程．
1 参数式方程表示的曲线的切线和法平面
设空间曲线的方程为：
，．　　　　　　　　(8.1)
并假定(8.1)式的三个函数都在上可导．若记，则曲线的参数方程可写为：
　　　　　　　　　　　　(8.2)
当均在上连续时，曲线是一条连续曲线．
给定下面设存在且不同时为零。
设，为曲线上对应于参量，的两个点（；）。
曲线上过割线的方向向量为：

割线方程
　　　(8.3)
当点沿曲线趋近于时，即当时，割线的极限位置是曲线在处的切线．故当时割线方向向量的极限向量
是在点切线的方向向量，称为曲线在处的切向量，故曲线在处的切线方程为：
　　　　　　　　　　　(8.4)
若中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解．
过点且与其切线垂直的平面（过点且与处的切线垂直的所有直线都在此平面上），称为曲线在点处的法平面．法平面方程为
．　　　　　　(8.5)
总结：曲线在点的
（1）切向量：；
（2）切线：；
（3）法平面：
。
关键是求出切向量。
【例8.1】 求曲线，，在点处的切线和法平面．
解　因为，，，又由方程知，在点处，对应于，所以切线的方向向量为．故曲线在处的切线方程为：
，
法平面方程为：
，即．
【例8.2】 若曲线在任一点的法平面都过原点，试证明：此曲线必在以原点为球心的球面上．
证　任取曲线上的点，则在点处的法平面方程为
．
因为原点在法平面上，故有，此方程等价于方程，故有
，
（必，因为是存在的。）
上述方程表示以原点为球心，为半径的球面，而曲线上的任一点满足此方程，故曲线在此球面上．
若空间曲线的方程为：，，，取为参数，则曲线方程为：，，，．若，在处可导，则曲线在处的切线向量为：，故切线方程为：
，
法平面方程为：．
（如果或呢？）
【例8.3】 求曲线在点处的切线和法平面方程．
解　取为参数，则曲线的参数方程为：．在处的切向量为，故曲线在处的切线方程为：
．
法平面方程为：，即　．
2 一般方程形式表示的曲线的切线和法平面方程
设曲线的方程为，在点的某邻域内，，连续可微，在点的某邻域内能惟一地确定隐函数组，。则其参数方程为，因而在点处的切向量为，切线方程为：
，
法平面为：。其中，由隐函数的导数即解方程组

得到。
【例8.4】 求曲线上点处的切线和法平面方程．
解　把看作的函数，两边对求导有

把代入得

解得

切向量：；切线：；法平面：。
思考题：
1．若曲线上任一点的切线向量为（a为常数），则此曲线是一条什么曲线？若其任一点的切线向量为（为常数）呢？
（，平行于轴的直线。，面上的一条直线。）

8.2 曲面的切平面与法线
设为空间的一张曲面，其方程为，为曲面上一点．设．
在曲面上任意作一条过的光滑曲线（图8.1），设其参数方程为且。则有．此恒等式两边关于求导，并令，有
，

图8.1

记，则有
即．
其中是一个固定的常向量，而是在点的切向量也即在点的切向量。由于是任意的，是任意的。
结论：在点的任意切向量都垂直于固定的常向量。
因此：是在点的切平面的法向量。
曲面在点处的切平面方程为
，
过点且以法向量为方向向量的直线称为曲面在处的法线，其方程为
．
总结：在点的
（1）法向量：；
（2）切平面：；
（3）法线：。
关键是求出法向量。
当看作数量场时，既是在点的梯度同时也是其过点的等量面的法向量。因为梯度方向是数量场增加最快的方向，因此在点沿等量面的法向量方向增加最快．
【例8.5】 求曲面在点处的切平面和法线．
解　设，则
，
故所求切平面方程为：，即
．
法线方程为：
，即　．
若曲面方程为，且可微．令，则有，，。故曲面在点处的法向量

切平面
，
法线：．
如果令，则得向上的法向量，而是向下的法向量。
【例8.6】 求曲面在点处的切平面和法线方程．
解　设，　，　，
故曲面在的法向量为　，
切平面方程为：，即　；
法线方程为：　．
我们知道，曲面上点处的切平面方程为：
，
曲面上点处的切平面方程为：
，
从而若曲线的方程为，则上点处的切线实际上是上面两个切平面的交线，即
(8.7)
请与(8.6)的结果进行比较，并以此方法重解例8.4．
【例8.4】 求曲线上点处的切线和法平面方程．
解　。

切线：；切向量：

法平面：。
下面简单介绍由参数方程形式表示的曲面的切平面的求法.
设曲面的方程为：,,，(为平面内的区域）．为曲面上的一点，，,，在包含点的某邻域内有连续的偏导数。
假设由解出，代入得。
，。
法向量：。其中由方程组

解出。有了法向量就很容易写出切平面和法线的方程。
【例8.7】 设曲面的方程为，，，求在参数，处，，曲面的切平面方程及法线方程．
解　
易得，，，，，．
解方程组

得。法向量：；切平面：即；法线：。

习题9-8
A类
1．求下列曲线在指定点处的切线与法平面．
(1)，，；在点处；
*(2)，，；当时；
*(3)；在点处；
(4)；在点处；；
*(5)；在点处．
2．求下列曲面在指定点处的切平面和法线．
*(1)，在点处；
(2)，在点处；
(3)，在点；
*(4)，在点处；
(5)，在点处．
3．求曲线，，上一点，使曲线在该点处的切线平行于平面．
解 的法向量：。曲线点的切向量。
切线平行于平面。让解得。所要求的点是或。
4．证明曲线，，上任一点处的切线与轴成定角．
5．求曲面上的一点，使该点处的切平面平行于平面．
*6．已知曲面上某点处的切平面平行于平面，求该点坐标．
7．求由曲线绕轴旋转一周所得的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量．
解 旋转面为。令。外侧即增加的那侧即的梯度那侧。
，。
。
所要求的单位法向量：。
8．证明：曲面上任一点的切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为常数．
*9．证明：锥面的所有切平面过锥面的顶点．
B类
1．求曲面，，在点处的切平面．
2．设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求，的值．
解 令。。曲面于点的法向量：。
设所给切平面为即。其法向量。
由有，解得。
切平面为。把代入切平面得， 。
另解 令。。曲面于点的法向量：。
的方向向量：

由条件有。解得。
让解得。。
由解得。
*3．求曲面的切平面，使它垂直于平面和．
*4．证明：曲线，，与锥面的各母线相交的角度相同．
*5．设为处处可微函数．试证明曲面上任一点的切平面都与一定直线平行．并指出此曲面的特征．
6．求曲面，，在点处的切平面和法线．
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