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与矩形相关的折叠问题
青岛43中李涛
在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。
例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( )．
(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°
分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。

O
A
C
B
E
D
例2、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。
（1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。

例3、已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB，OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0,3），∠OAB＝60°,以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点的坐标.

例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。
（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。

F
1
3
2
C
B
A
E
D

F
1
3
2
C
B
A
E
D

O

A

B

C

D

E

F

分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形。

例5、在矩形ABDC中，把∠A沿CF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，若AB＝a，AC＝b，请你计算 的值。
分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点E是对角线的交点。由矩形的性质可以说明AE＝DE，因为折叠可知AC＝CE，因此可得：△CAE是等边三角形，即∠ACB＝60°，进而在直角△ACB中解决两直角边的关系为：１。
A

B

C

D

E

F

总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！