四川省荣县中学校曹晴《相似三角形的应用》教案.doc

★2008年四川省初中青年数学教师说课比赛教案

四川省荣县中学校 曹晴
2008年9月

教学目标
知识与技能：
通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质。并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题。
过程与方法：
在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言,让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考。培养其分析问题和解决问题的能力。以及合作交流自主探索的新型学习观。
情感态度与价值观
通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活 。从而激发其对数学学习的浓厚兴趣。
重点、难点：
教学重点：通过建立相似三角形模型解决实际问题。
教学难点：如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型。
教学过程：
一、复习引入
⑴、识别两个三角形相似的方法有哪些？
答 ①两个角对应相等
②两条边对应成比例，并且夹角相等　
③三边对应成比例
⑵、相似三角形有哪些性质？
答 ①对应边成比例，对应角相等
②对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
③周长的比等于相似比
④面积的比等于相似比的平方
二、新课讲解
例一 . 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一”，原高146.59米，但由于经过几千年来的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所下降，需要重新测量，在埃及有个的著名的考古学家——穆罕穆德，在一个烈日高照的上午带着儿子来到金字塔脚下，他给了儿子一根2米高的木杆，一把皮尺和一面平面镜，让儿子选择适当的工具测量出塔高，儿子设想出了两种用于测量的设计方案，问：在两种方案当中各自运用哪些几何知识？
B　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B
D　　　　　　　　　　　　　E

A　　　　E　　　　 C　　　　　　　　 D　　　　A　　　　　C

方案一：使得木杆的影子顶端与金字塔的影子顶端重合于A点，建立相似三角形的模型，再利用皮尺测量出金字塔和木杆的影长，建立对应边成比例的等式，利用已知三个量去求第四个量。解答过程如下：
∵BC⊥AC
∵DE⊥AC
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
方案二：利用初二物理已学过的光的反射原理，推理得△DEA∽△CBA，也用皮尺测量出金字塔影长AC和木杆影长DA及目高DE。解答过程如下：
由光的传播规律可知∠EAD＝∠BAC
∵∠EDA＝∠BCA＝90°
∴△EDA∽△BCA
∴
∴
从以上两个方案中，抽象出相似三角形的两个基本模型。

评析：通过引入这样一道测量神秘金字塔高度的题，创设了一个很好的学习氛围，激发了学生强烈的好奇心和求知欲，而且从灵活性和实用性的角度来讲，两种方案均可运用各自的背景知识求出金字塔的高度，对学生有着积极的引导意义。并且从以上的解题过程中，再次提出利用比例式求线段长度，这是确定线段数量的一种重要方法。此外，从以上的设计方案中还可抽象出以下两个较为常见的相似三角形的基本模型，要求学生加以记忆和重视。

例2. 在中国地理图上，上海、香港、台湾所在的三个点构成一个三角形，大陆和台湾实现直航是两岸人民的共同愿望，但由于种种原因，过去从上海起飞的飞机必须绕道香港，再到台北。现已知从上海到香港要途经温州，当连接台北和温州，正好测得∠1＝∠2。现已查得有关航线距离为：上海→温州550km,上海→香港1255km，求从上海到台北得直航距离约为多少千米？(结果保留整数)
解（1）：∵∠1＝∠2，∠ACB＝∠ACD
∴△BCA∽△ACD
∴
∴AC2= BCDC
∵CD=550 BC=1255
∴AC≈831
答：从上海到台北直航距离约为831千米

(课外拓展) 若香港→台北997km
求：上海到台北直航距离是绕道飞行距离的百分之多少？
∵绕道飞行距离：1255+997=2252
∴
评析：这是一个集政治、经济、文化于一身的综合类题。在学生产生浓厚兴趣的同时，还需具备从实物图中抽象出相应模型的能力。由课外拓展可知，大陆和台湾实现直航，无论是从经济、能源，乃至环保的角度来讲，都具有重要的现实意义，此时也正好能适时地对学生进行爱国主义的情感教育。

例三.（小组合作）一块直角三角板，AB＝1.5米，AC＝2.5米，要求在它内部切割一个正方形桌面，哪些方案可行？并说明哪种方案加工所得的正方形桌面面积最大？（加工损耗忽略不计）

方案 一 解：在Rt△ABC中
∵AB2+BC2=AC2
又∵AB＝1.5 AC=2.5　
∴BC＝==2
∵DE//AB
∴Rt△CDE∽Rt△CBA
∴
设正方形DEFB边长为x
∴
即
∴

方案 二 解： 作BH⊥AC
在Rt△ABC中
∴AB2+BC2=AC2
又∵AB＝1.5　 AC=2.5
∴BC＝==2
∴
∴BH＝1.2
∵DE//AC
∴Rt△BED∽Rt△BAC
∴
设正方形DEFG边长为y
∴
∴
比较两种方案中正方形边长：，
∴方案（一）中所得正方形面积最大。
分析：引导同学观察、思考后，先让同学初步意识到有以下两种方案可行，再进一步让学生明确要比较正方形的面积，即比较两种方案中正方形的边长关系。
三、课堂练习
１、 如图， ，， 测得DE＝20米，求池塘宽BC是多少米？
1题图
解∵AC=EC AD=DB
∠A＝∠A
∴△ADE∽△ABC
∴
∵DE=20
∴BC=60米
答：池塘宽BC为60米
２、小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5米的位置上，已知如图，求球拍击球的高度h ？（设网球作直线运动）
2题图
解∵DE⊥AB CB⊥AB
∴DE//BC
∴
∵DE=0.8 AD=5 AB=15
∴
∴BC=2.4米
答：球拍击球高度为2.4米
四、课堂小结
通过丰富的课外资源，依据学生实际，把生活中不易直接测量的物体的高度或宽度转化为数学问题，构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的有关知识解决数学问题。而且让数学中的两大思想——“转化思想”和“建模思想”逐步渗透到整个教学过程。
五、课后作业
①课本P63 1、2 P64 1、2、3、4
②课后作业：分组让同学设计方案测量学校的旗杆及县城城郊一座石塔的高度。

附：板书设计