X年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题答案.docx

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号12345678选项DBBAABCC二、填空题（每题5分，共30分）9 10 11 12 13 14 15三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12分）解：（1），且， 1分, 3分 6分（2）由（1）可得 8分 在中，由正弦定理 , 10分三角形面积. 12分17 （本题满分14分）（1）证明：底面，且底面， 1分由，可得 2分又 ，平面 3分注意到平面， 4分,为中点， 5分 ， 平面 6分 而平面， 7分（2）方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则 8分. 10分设平面的法向量. 由得，即（1） （2）取，则，. 12分取平面的法向量为则，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为. 14分方法二、取的中点，的中点，连接， ，. 8分 ， . 9分 同理可证：. 又， .10分则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）已知，平面， 11分又，平面由于平面， 而为与平面的交线，又底面，平面为二面角的平面角 12分根据条件可得，在中， 在中，由余弦定理求得 13分故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为. 14分18（本题满分13分）解：（1），显然 3分由正态分布密度函数的对称性可知， 即每支这种灯管的平均使用寿命是个月； 5分 （2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为， 6分假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则， 10分故至少两支灯管需要更换的概率（写成也可以）. 13分19（本题满分13分）解：（1）设动点的坐标为，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 2分因为动点到圆,上的点距离最小值相等，所以, 3分即，化简得， 4分因此点的轨迹方程是； 5分（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点在曲线上， 9分又点在直线上， 点的坐标是方程组的解，11分消元得，方程组无解，所以点的轨迹上不存在满足条件的点. 13分20（本题满分14分）解：方法一在区间上,. 1分（1）当时，则切线方程为，即 3分（2）若,则,是区间上的增函数, ,函数在区间有唯一零点. 6分若,有唯一零点. 7分若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为.由即,解得:.故所求实数a的取值范围是. 9分方法二、函数无零点方程即在上无实数解 4分令，则由即得： 6分在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 7分注意到时，；时；时，故方程在上无实数解.即所求实数a的取值范围是. 9分注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明. (3) 设,原不等式令,则,于是. 12分设函数,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立. 14分21（本题满分14分）解： (1)由点在曲线上可得, 1分又点在圆上，则, 2分从而直线的方程为, 4分由点在直线上得: ,将代入化简得: . 6分(2) , 7分又, 9分(3)先证:当时,.事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立., 11分(等号仅在n=1时成立)求和得: 14分