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找规律和科学计数法
　　　　　　　　　　　　　　撰 稿：王正 　　审 稿：梁威　　 责 编：邵剑英
一、找规律专题
　　在做题之前，应明白这类题的用意：这类题往往是给出一串有某种隐藏规律的数字，要求找出其规律，并进一步用字母抽象出一个一般的表达式，即用一个含n的代数式表示出第n个数字，要求我们不但能敏锐地发现规律，更能够找到数字与其对应序号之间的代数关系。此类题目考察了对数字的敏感程度，以及抽象表达能力，是近年来中考的必考题型，现将基本知识点和典型例题总结如下。

1、交错数列：
　　特征捕捉：正负交替出现。
　　1．写出第ｎ项的表达式：
　　（1）-1，1，-1，1，-1，1，-1……
　　（2）1，-1，1，-1，1，-1，1……
　　分析：= ，，，……，所以与（1）题一致；那么自然（2）题的第n项与（1）错着一个，应为，为避免0次幂的出现，不提倡使用。

　　熟记于心：先考虑其绝对值的规律，再用或来调节符号。按“正负正负”顺序交错的数列，绝对值部分乘以；反之，按“负正负正” 顺序交错的数列，绝对值部分乘以。

　　练习：写出第ｎ项的表达式：
　　（1）1，-2，3，-4，5，-6……
　　（2）-2，3，-4，5，-6，7……
　　分析：（1）中数字绝对值与对应序号相同，即为n，符号为“正负”顺序，所以第n 项为n；（2）中数字绝对值比对应序号大1，即为n+1，符号为“负正”顺序，所以第n 项为(n+1)。

2、等比数列：
　　特征捕捉：相邻两项中，后一项比前一项的商为常数。数值(绝对值)跳跃幅度较大，有倍数关系。
　　熟记于心：初中阶段，这类题所给数字往往与2或3的幂有关，需要对2或3的幂敏感，在此帮大家列出几个常见2的幂：2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024；3的幂见下面例题。
　　2．写出第ｎ项的表达式：
　　（1）-3，9，-27，81，-243，729……
　　（2）-5，7，-29，79，-245，727……
　　（3）-1，3，-9，27，-81，243……
　　分析（1）：先观察绝对值部分3，9，27，81……，显然后一项是前一项的3倍，进一步观察发现每个数都是3的幂，不难得出绝对值部分为，最后用调节符号，结果为；对负数的幂熟悉的同学一定还能发现这列数字其实就是，无需拆成符号和绝对值两部分考虑，这两种看法结果自然是相同的。
　　分析（2）：有了（1）的基础不难发现（2）中每个数字比（1）中对应位置少2，易得第n项表达式为-2。但我们不能仅仅满足于做出了这道题，试想一下，假如没有（1）题的铺垫，直接面对（2）题，我们又该如何下手呢？首先看绝对值部分，数值跳跃很大，猜测与乘方有关；其次基于我们对3的幂的敏感，不难看出各项都加上2之后可得3的幂，即得。
　　分析（3）：这列数字跟（1）的关系也很明显——每一项是对应（1）中数字的，于是可得第n项的表达式为。如果没有（1）的基础，这道题也并不困难，先观察绝对值部分容易发现后一项都是前一项的3倍，借助补充知识，可得第n项的绝对值为，由于符号是“负正”交错的，最终答案自然是，请同学自己考虑一下这两个形式的结果是否一致。

　　练习：写出第n项
　　（1）1，－，，－，……
　　（2），，，，……

3、等差数列：
　　特征捕捉：相邻两项中，后一项减前一项的差为常数。
　　熟记于心：设上述常数为d，即后一项比前一项大d（包括d为负数的情况），那么第2项等于第1项加d；第3项等于第2项加d，就等于第1项加2个d；第4项等于第3项加d，就等于第1项加3个d；……那么第n项就等于第1项加上 (n-1)d，所以第n项的表达式为a+(n-1)d，其中a表示第1项。
　　3．写出第ｎ项的表达式：
　　（1）1，3，5，7，……
　　（2）2，4，6，8，……
　　分析：显然这是连续奇数列和连续偶数列，不再赘述推导过程，（1）为2n-1，（2）为2n。

　　4．写出第ｎ项的表达式：
　　（1）5，2，-1，-4，-7，……
　　（2）-10，-6，-2，2，6，……
　　分析：（1）中后一项比前一项小3，第n项比第1项少n-1个3，所以第n项等于5-3(n-1)=8-3n；
　　　　　（2）中后一项比前一项大4，第n项比第1项多n-1个4，所以第n项等于-10+4(n-1)=4n-14。

　　练习：写出第ｎ项的表达式：1，-4，7，-10，13，-16，19……

4、与连续自然数和有关的：
　　特征捕捉：此类题目不再是单纯一列数字，而是分行出现的“一堆”数字，在每行的结尾往往会出现1，3，6，10，15，21……，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+4+5……
　　熟记于心：对上述从1开始连续自然数和要敏感；另外需要知道。
　　5．写出第200行，第10个数：

　　分析：首先最容易确定分子一定是1；其次看符号，正负相间，即分母为奇数时取正，分母为偶数时取负；最后再从整体上看分母，第一行有1个数，第二行有两个数，以1+2=3结尾，第三行有3个数，以1+2+3=6结尾，……，那么第199行结尾处的分母为1+2+3+……+199=19900，于是第200行第10个数的分母一定是19900+10=19910（偶），所以该数为。

　　6．写出第n个式子：

　　分析：先看等号左边，都是从1开始连续自然数的立方和，不难发现第一行有1个数，第二行有两个数，……第n行自然是1到n的立方和；再看等号右边，是一个数字的平方，而这个数正是我们需要非常熟悉的连续自然数和，同时恰是等号左边的底数之和。所以第n个式子为=

5、图形题：
　　特征捕捉：一般与等差等比数列有关，不会出现负数。
　　7．一张足够大的正方形纸片，剪成四个一样的小正方形，再将其中一个按同样方法剪成四个更小的正方形，如此循环，设原正方形边长为1，填下表：
剪的次数n
1
2
3
4
……
n
正方形总个数S

新正方形边长a

　　分析：画图后不难数出S分别为4，7，10，13，发现每剪一次多3个，道理很简单，每剪一次都是把1个变成了4个，自然是多了3个，于是规律为等差数列，第n个为4+3(n-1)=3n+1；而每剪一次边长变为之前的一半，a分别等于，，，，规律为等比数列，第n个为。

6、日历题：
　　熟记于心：只需掌握每周7天的常识，即上下相邻的两个数字相差7。
　　8．（1）在某一月的日历中任意圈出4个相邻的日子（即圈成正方形），用a表示左上角的数字，则这4个数字的和为__________
　　（2）任意竖着圈出3天，那么这3个数的和不可能是（ ）
　　A 24 　　　B 42 　　　C 38 　　　D 54
　　如果这样的3个数和为42，那么它们分别是________、_________、__________
　　分析（1）：左上角为a，那么下一天即右上角为a+1，a竖直下面那天为a+7，右下角为a+7+1=a+8，所以4个数字的和为a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16。
　　分析（2）：设这样竖着的3个数中间一个为a，则最上面为a-7，最下面为a+7，于是三个数之和为3a，即三个数之和必是3的倍数，所以C项是不可能的。最后一问即3a=42，解得a=14，所以三天分别为7、14、21。

7、斐波那契数列：
　　该数列是指1，1，2，3，5，8，13，21，34，……即从1，1开始，后面每个数字是它前面两个数字的和，目前不要求用n表示第n项，有兴趣的同学不妨参考下面例题自己研究。
　　9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如下正方形：

　　再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.

　　相应矩形的周长如下表所示：
序号
①
②
③
④
周长
6
10
16
26
　　若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是___________。（答案：466）

二、科学记数法
　　我国第五次人口普查时，我国人口大约为1300000000人。我国陆地面积约为9597000千米。我国石油储量为240亿桶……这些数据都比较大,书写和读时都比较麻烦。那么有没有一种比较简单的方法来表示这些比较大的数呢？
　　可以用数字与记数单位百.千.万.亿等合写的方法来表示，这样比较简单。例如：1300000000可以写作13亿。
　　由101=10，102=100，103=1000，…，我们可以知道，要把一个数写成科学记数法，10的指数比原数的整数位数小1。如原数有4位整数，指数就是3。例如把－320000用科学记数法表示，由于它有6位整数，10的指数就是5，－320000=－3.2×105。21.23=2.123×10，因为21.23有两位整数，10的指数就是1。有的数可以用一个数乘以10的几次方的形式来表示。例如：1300000000可以写作1.3×109。
　　比较一下，哪一种方法更适合于我们数学的记法，对于无论多大的数读写都更方便？
　　归纳：一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法。
●近似数和有效数字
　　关于数的位数小学已经学过，如 2 1 · 1 7 2 6 8

　　对2.1这个近似数小学的提法有“精确到十分位”或“精确到0.1”或“保留小数点后一位”。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。如25万精确到万位，0.025精确到千分位。
　　一个数从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。如3.00318有6个有效数字，0.00318有3个有效数字，0.003180有4个有效数字。
　　对有效数字的概念，一定要注意“前面的0”不计，“中间的0”和“后面的0”要计算在内。如上面提到的0.003180有4个有效数字而不是3个。