2023届新高考数学解三角形提分练习 (附答案).docx

2023 届新高考数学二轮复习：专题(解三角形)提分练习

【总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
(2)若式子中含有 a、 b、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例 1． (2023 秋ꞏ山西太原ꞏ高三统考期末)在 UABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为 a， b， c ，且满足 b2 + bc = a2．
(1)求证： A = 2B；
(2)求 的取值范围．

例 2． (2023ꞏ浙江ꞏ统考一模)记UABC 的内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知

sin C 一 A
= ．
a + b 2
a + c C + A
sin 2
(1)若 A = π ，求 B； 4
c c
(2)求 + 的取值范围．
a b

例 3．(2023ꞏ河北衡水ꞏ河北衡水中学校考模拟预测)已知UABC，D 为边 AC 上一点， AD = 1，
CD = 2 .
B(--)C . BD(---一) = 0 ，求S ；
UABC
--一- ---一 3
(1)若BA . BD = ，
4

(2)若直线 BD 平分三 ABC ，求△ABD 与△CBD 内切圆半径之比的取值范围.

例 4． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习) 在锐角UABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，
sin A 一 sin B sin C
已知 = ．
3a 一 c a + b
(1)求角 B 的值；
(2)若a = 2 ，求UABC 的周长的取值范围．

例 5． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习) 设锐角三角形 ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，已知 a = b cos A 一 a cos B．
(1)求证： B＝2A；
b + c
(2)求 的取值范围．
a

例 6．(2023ꞏ全国ꞏ高三校联考阶段练习) UABC 中， D， E 是边 BC 上的点， 三BAD = 三CAE，
BD .BE 1
且 = .
CD .CE 3
(1)若 BC = 3，求UABC 面积的取值范围；
(2)若 AB = 1， BC = 2 ，平面内是否存在点 P，使得 三ABP = 三BCP = 三CAP ？若存在，求 sin 三ABP ；若不存在，说明理由 .

例 7． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)在① 2a cos A= b cosC + c cos B ；②
tan B + tan C + 3 = 3 tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解 答．
在UABC 中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，已知______．

3

(1)求角A 的大小；

(2)若UABC 为锐角三角形，且其面积为 ，点 G 为UABC 重心，点 M 为线段 AC 的中点， 2
--
点 N 在线段 AB 上，且 AN = 2NB ，线段 BM 与线段CN 相交于点 P，求 GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．

【过关测试】
1． (2023ꞏ湖南衡阳ꞏ校考模拟预测)已知UABC 的内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满

足 + = 1
(1)求角 C；

4 3
(2)CD 是三 ACB 的角平分线，若 CD =
3


， UABC 的面积为 2 3 ，求 c 的值.

2．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)UABC 中，已知 AB = 1，BC = 7，D 为 AC 上一点， AD = 2DC，
AB 」 BD .
(1)求 BD 的长度；
(2)若点 P 为△ABD 外接圆上任意一点，求 PB + 2PD 的最大值.

3． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图，某城市有一条(MO )从正西方通过市中心O 后转向东 偏北 60°方向(ON ) 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 L ，并 在 MO， NO 上分别设置两个出口A， B， B 在 A 的东偏北9 的方向(A， B 两点之间的高速
路可近似看成直线段)，由于 A， B 之间相距较远，计划在 A， B 之间设置一个服务区P .

(1)若 P 在O 的正北方向且OP = 2km ，求 A， B 到市中心O 的距离和最小时tan9 的值；
(2)若 B 到市中心O 的距离为10km ，此时 P 设在三 AOB 的平分线与AB 的交点位置，且满足
OP2 + BP2 > 11OP .BP，则求 A 到市中心O 的距离最大时tan9 的值.

4． (2023 秋ꞏ河北衡水ꞏ高三河北衡水中学校考阶段练习)已知UABC 的外心为O， M, N 为 线段AB , AC 上的两点，且O 恰为 MN中点.
(1)证明： | AM | . | MB |=| AN | . | NC |
(2)若| AO|= 3， |OM |= 1 ，求SVAMNS 的最大值. VABC

5． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)在UABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c ，已 知2c cos B = 2a 一 b．
(1)求C；
(2)若 AB = AC， D 是UABC 外的一点，且 AD = 2， CD = 1，则当 三D 为多少时，平面四边 形 ABCD 的面积 S 最大，并求 S 的最大值．

6． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图，四边形 ABCD 中， AB2 + BC2 + AB .BC = AC2．

(1)若 AB = 3BC = 3 ，求△ABC 的面积；
(2)若 CD = 3BC， 三CAD = 30o， 三BCD = 120o，求∠ACB 的值．

7． (2023ꞏ江苏苏州ꞏ苏州中学校考模拟预测)在 UPAB 中， PA = PB ，点 C， D 分别在 PB， PA 边上．
"
(1)若三APB = ， CD = 1，求U PCD 面积的最大值；
3
(2)设四边形 ABCD的外接圆半径为R，若三 APB = 3(") ," ))|，且 AB .BC . CD .DA 的最大值为 9(4)， 求 R 的值．

8． (2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习) UABC 中，内角A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，满足 b2 = a2 + c2 _ ac．
\ 2 )
(1)当 A 为何值时，函数 y = 2sin2 A+ cos (|C _ 3A)| 取到最大值，最大值是多少？

( C _ A )
(2)若c _ a 等于边 AC 上的高 h，求sin |\ 2 )|的值．

π
2
9．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图， 四边形 ABCD中， 三DAB = 三DCB = ，AB = 3，BC = 2，

S = 3 3 且三 ABC 为锐角．
△ABC
2

a2 + b2

(1)求 DB；
(2)求U ACD 的面积．

10． (2023 秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习)如图，在梯形 ABCD 中， AB//CD，

2
AB = 2， CD = 5， 三ABC = ．
3

(1)若 AC = 2 7 ，求梯形 ABCD 的面积；
(2)若 AC 」 BD ，求 tan 三ABD ．

11． (2023 春ꞏ河南开封ꞏ高三统考开学考试)已知△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， sin(B C)tan A = sin B sin C．
(1)若 A = B ，求 sin2A 的值；

(2)证明： 为定值． c2

12．(2023 春ꞏ江苏南通ꞏ高三校考开学考试)如图， UABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， △BCD 是等边三角形， BC = 2， AD = 7 .

(1)求证： BC 」AD；
(2)求平面 ABD与平面 BCD 夹角的余弦值.

13． (2023 秋ꞏ山东菏泽ꞏ高三统考期末)在①sin 2(π) + C))| _ 12cosB = sin C tan B ；②
S = 3 ；③c tan A = _ (c + 2b)tanC．
2
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．
在 UABC 中，内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c， UABC 的面积为 S．且满足______．
(1)求 A 的大小；
(2)设UABC 的面积为 6，点 D 为边 BC 的中点，求 AD2的最小值．

14．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图， P 为UABC 内的一点， 三BAP 记为议， 三 ABP 记为b， 且 议， b 在 UABP 中的对边分别记为 m， n， (2m+ n)sin b = 3n cosb， 议， b 仁 0, 3(π)))| .

(1)求三 APB ；
(2)若 AB = 2 3， BP = 2， PC = 3 ，记三APC = 9 ，求线段 AP 的长和UABC 面积的最大值.

tan B + tan C 2a 1+ sin 2C - cos 2C

15． (2023 秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三湖南师大附中校考阶段练习)在UABC 中，角A， B， C 的对边 分别是 a， b， c，已知 a = 4 且cos 2A - cos 2B = 2sin C(sin B - sin C).
(1)若c = 3 ，求sin C；
(2)若 BC 边上的高是 AH，求 BH 的最大值.

16． (2023 秋ꞏ江苏南通ꞏ高三统考期末)已知四边形 ABCD 内接于圆O， AB = 3， AD = 5， 三BAD = 120 。， AC 平分三 BAD .
(1)求圆O 的半径；
(2)求 AC 的长.

17． (2023 秋ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三哈师大附中校考期末)在UABC 中，内角A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，且 2c - a = 2b cos A．
(1)求 B 的大小；
(2)若b = 3，
①求a + c 的取值范围；
ac
a + c
②求 的最大值．

tan B b 1+ sin 2C + cos 2C
18．(2023ꞏ安徽马鞍山ꞏ统考一模)已知条件： ① = ；② = 3；

③ 3a = 2csin B + 3(π)))| .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在 UABC 中，角A， B， C 所对的边分别是a， b， c ，满足： ______.注：如果选择多个条件 分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角C 的大小；
(2)若UABC 为锐角三角形， c = 3 ，求 a2 + b2 的取值范围.
2

参考答案
【总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
(2)若式子中含有a、 b、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例 1． (2023 秋ꞏ山西太原ꞏ高三统考期末)在 UABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c ，且满足 b2 + bc = a2．
(1)求证： A = 2B；
(2)求 的取值范围． b cos B
6b + 2c

【答案解析】 (1)由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
a2 - b2 = c2 - 2bc cos A
∵ b2 + bc = a2，
∴ a2 - b2 = bc
∴ c2 - 2bc cos A = bc
∴b(1+ 2cos A) = c，
由正弦定理得 bsinB = csinC，
∴sin B(1+ 2cos A) = sinC = sin(A+ B)，
∴sin B = sin(A - B)，
∵ 0 < A, B < " ，∴ 0 < B < A < " ，∴ B = A - B ，∴ A = 2B
(2)由(1)得A = 2B, c = b(1+2cos A)，
∴ 6b + 2c = 6 + 2 (4cos2B - 1)= 8cos B + 4 ， b cos B cos B cos B
∵ A = 2B ，又 0 < A + B < 180。，∴ 0 < B < 3(") ，∴ 2(1) < cos B < 1，
函数 f(x )= 8x + x(4) 在 ))||上单调递减，在 22 ,1))|| 上单调递增

f 2(1)))| = f (1)= 12， f 22 ))|| = 8 2
∴ 8 2 共 8cos B + < 12，
4
cos B
∴ 的取值范围为 8 2,12 )．
例 2． (2023ꞏ浙江ꞏ统考一模)记 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知
C - A
a +b sin 2
a + c = sin C + A．
2
(1)若 A = π ，求 B； 4
(2)求 c + c 的取值范围． a b

a +b sin A+sin B
a + c sin A+sin C
【答案解析】 (1)由正弦定理得 = ，

C - A C - A
a +b sin 2 sin A+sin B sin 2
又 a + c = sin C + A ，所以 sin A+sin C = sin C + A ，
2 2
因为sin A+sin C = 2sin C + A cos C - A，
2 2
C - A
sin
2 2 C + A 2 2
所以sin A+sin B = 2sin C + A cos C - A . 2 = 2cos C - A sin C - A = sin (C - A)，
sin
2
因为sin B = sin (π - B )= sin (C + A)，
所以sin A = sin (C - A)- sin (C + A)= -2 cosC sin A，
因为0< A < π ，所以sin A> 0 ，故cos C = - ，
1
2
又0< C < π ，所以 C = 2π ，
3
因为 A = π ，所以B = π - A - C = π ．
4 12
2π
(2)由(1)得C = ， 3
所以由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C = a2 + b2 + ab，
记T = a(c) + ，则T b(a) + a(b) + 1))| b(a) + a(b) + 2))|，

因为a > 0, b > 0 ，所以 b + a > 2 b . a = 2，
a b a b
当且仅当 = ，即 a = b 时，等号成立，即 + > 2，
b a b a

a b a b
故T2> 3人 4 = 12，则 T > 2 3，
所以 a(c) + b(c) > 2 3 ，即 a(c) + b(c) 仁 2 3, +w )．
例 3．(2023ꞏ河北衡水ꞏ河北衡水中学校考模拟预测)已知UABC，D 为边 AC 上一点， AD = 1，
CD = 2 .
--一- ---一 3
(1)若BA . BD = ， B(--)C . BD(---一) = 0 ，求S ；
4 UABC
(2)若直线 BD 平分三 ABC ，求△ABD 与△CBD 内切圆半径之比的取值范围.
【答案解析】 (1)如图 1， AD = 1， CD = 2，
所以 BA(--一-) = BD(---一) + D(--)A = BD(---一) + 1 CD(---一) = BD(---一) + 1 (- 一 B(--)C)= 3 BD(---一) 一 1 B(--)C，
2 2 2 2
--一- ---一 3
因为BA . BD = ， B(--)C . BD(---一) = 0，
4
所以 BA(--一-) . BD(---一) = 2(3) BD(---一) 一 2(1) B(--)C))| . BD(---一) = 2(3) BD(---一)2 一 2(1) B(--)C . BD(---一) = 2(3) BD(---一) 2 = 4(3)，
故 BD(---一) 2 = 1 ，则 BD(---一) = 2 ，即 BD = 2 ，
2 2 2
又 B(--)C . BD(---一) = 0 ，则 BC 」BD ，故 BC = CD2 一 BD2 = 14 ，
2

1
不妨记三ABD = 议， AB = m ，则 cos议 = AB2 + BD2 一 AD2 = 2 = 2m2 一 1，
m2 + 一 1

2AB . BD 2m 2 2m
--一- ---一 --一- ---一 3
因为BA . BD = BA BD cos 议 = ，
4
2 2m2 一 1 3 2 人 2 一 1 3
所以 m 人 2 人 2 2m = 4 ，解得 m = 2 ，则 cos 议 = 2 2 人 2 = 4，
因为0< 议 < π ，所以 sin议 = 1 一 cos2议 = 7 ，
4
所以S = S + S = 1 AB . BD sin 议 + 1 BD . BC
U ABC U ABD UBCD 2 2

1 = 人
2
2 7 1 2
2 人 人 + 人 人 2 4 2 2
14 3 7
2 = 8 .

(2)如图 2，不妨设△ABD 与△CBD 内切圆的半径分别为r 与R，
因为直线 BD 平分三 ABC，
AB AD 1
所以由角平分线性质定理得 = = ，记 AB = c ，则 BC = 2c，
BC CD 2
记三ABC = b ，则cos b = AB2 + BC2 一 AC2 = c2 + 4c2 一 9 = 5c2 一 9，
2AB . BC 2 〉 c 〉 2c 4c2
因为 = + = + 1 = + 1 ( 一 )= 2 + 1 ，
3 3 3 3
所以 2 = 4 2 + 1 2 + 4 cos b = 4 c2 + 1 〉4c2 + 4 c 〉 2c〉 5c2 一 9 = 2c2 一 2，
9 9 9 9 9 9 4c2
因为 AB+ BC > AC ，即c+ 2c > 3 ，则 c > 1，

所以 BD = 2c2 一 2 ，即 BD = 2c2 一 2，

1
S 因为 UABD
S UBCD
AD . h
= = (h为顶点 B到AC 的距离)，
2 1
CD . h 2
1 2

1 (AB + BD + AD )r = 1 (c + 2c2 一 2 + 1)r，
又S =
2 2
UABD
S = 1 (BC + BD + CD )R = 1 (2c+ 2c2
一 2 + 2 )R，

UBCD 2 2
(c + 2c2 一 2 + 1)r
所以 (2c+ 2c2 一 2 + 2)R = 2(1) ，则 R(r) = 2(1) 〉
一(一) = 2(1) 1 + 1一 2 + 1 ，

令t = c + 1，则 c = t 一 1， t > 2，
c + 1 t 1
所以 c + 2c2 一 2 + 1 = t + 2 (t 一 1)2 一 2 = 1+ 2 一 4 ，
t

t 2 t t
所以 2 一 1 < 1 4 < 1 ，即 2 一 1 < c + 1 < 1，
因为t > 2 ，所以0 < 1 < 1 ，则0< 2 一 4 < 2 ，故1< 1+ 2 一 4 < 1+ 2，

t
1+ 2 一 c + 2c2 一 2 + 1

1 1

所以 22 < 2(1) 1 + < 1 ，故 22 < R(r) < 1，
( 2 )
所以△ABD 与△CBD 内切圆半径之比的取值范围为|\ 2 ,1)|| .

.
例 4． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习) 在锐角UABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，
sin A - sin B sin C
3a - c a +b
已知 = ．

(1)求角 B 的值；
(2)若a = 2 ，求UABC 的周长的取值范围．
a - b c
sin A - sin B sin C
=
3a - c a +b

a2 + c2 - b2 3ac 3
3a - c a +b
，
【答案解析】 (1) = ，由正弦定理得：

即 a2 + c2 - b2 = 3ac，

由余弦定理得： cos B = = = ，
2ac 2ac 2
因为B =(0, π)，
所以 B = π；
6
(2)锐角UABC 中， a = 2， B = π， 6
2 b c
由正弦定理得： sin A sin π sin C，
= =

6
故 b = 1 , c = 2sin C = 2sin A + 6(π)))| = 3 sin A+cos A，
sin A sin A sin A sin A

1
则
3 sin A+cos A+ 1 = 3 + 1+ cos A = 3 + 1 + 1 + tan2 A sin A tan A tan A
b + c =

= 3 + + + 1， tan A tan2 A
B = ，
因为锐角UABC 中， π

6

则 A = 0, 2(π)))|， C = π – 6(π) – A = 0, 2(π)))|，
解得： A = ))|，
故tan A = ( 3, +w)， tan(1)A = 0, 33 ))||，
则 tan( 1)2 A + 1 = 1, 2 3 3 ))|| , 3 + tan(1)A + tan( 1)2 A + 1 = (1 + 3, 2 3 )，
故b + c = (1+ 3, 2 3 )， a + b +c = (3 + 3, 2+ 2 3 )
所以三角形周长的取值范围是 (3 + 3, 2+ 2 3 ).
例 5． (2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习) 设锐角三角形 ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，已知 a = b cos A – a cos B．
(1)求证： B＝2A；
(2)求 的取值范围．
b + c
a
【答案解析】 (1) a = b cos A – a cos B，
由正弦定理得： sin A = sin B cos A – sin Acos B，
由积化和差公式可得：
sin A = 1 sin (B + A)+ 1 sin (B – A)– 1 sin (A + B )– 1 sin (A – B )= 1 sin (B – A)– 1 sin (A – B )，
2 2 2 2 2 2
因为 1 sin (A – B )= – 1 sin (B – A)，
2 2
所以sin A = sin (B – A)，
因为三角形 ABC 为锐角三角形，故A, B = 0, 2(π)))|，
所以B – A = – ))|，
故 A = B – A，即 B = 2A；
(2)由(1)知： B = 2A，
由正弦定理得：
b + c sin B + sin C sin 2A+ sin (B + A) sin 2A+ sin 3A
= = = ，
a sin A sin A sin A
其中sin 3A = sin (2A+ A)= sin 2Acos A+ cos 2Asin A = 2sin Acos2 A+ cos 2Asin A，
因为sin A 丰 0，

所以 b + c = 2sin Acos A+ 2sin A cos2 A + cos 2Asin A = 2co s A+ 2 cos2 A + cos 2A
a sin A
= 2cos A + 2 cos2 A + 2cos 2 A 一 1 = 4cos 2 A + 2cos A 一 1 = 4 cos A+ 4(1)2 一 4(5)，
由 B = 2A = 0, 2(π)))| 得： A = 0, 4(π)))|，
由 C = π 一 A 一 B = π 一 3A = 0, 2(π)))|，解得： A = ))|，
结合A = 0, 2(π)))| 可得： A = ))|， cos A = ))||，
故 b a(+) c = 4 cos A+ 4(1)2 一 4(5) 在cos A = ))||上单调递增，
所以 b a(+) c = 4cos2 A+ 2cos A 一 1 = 4 〉 2(1) + 2 一 1,4〉 4(3) + 3 一 1))|，
即 b + c = ( 2 +1, 3 + 2).
a
例 6．(2023ꞏ全国ꞏ高三校联考阶段练习) UABC 中， D， E 是边 BC 上的点， 三BAD = 三CAE，
BD .BE 1
且
= .
CD . CE 3
(1)若 BC = 3 ，求UABC 面积的取值范围；
(2)若 AB = 1， BC = 2 ，平面内是否存在点 P ，使得 三ABP = 三BCP = 三CAP ？若存在，求 sin 三ABP ；若不存在，说明理由 .
【答案解析】 (1)由面积公式可得：

1
S BD 2 〉AD 〉AB 〉sin 三BAD AB 〉sin 三BAD
S CD 1 AC 〉sin 三CAD
UABD = = = ，
UADC 〉 AD 〉 AC 〉