2023届新高考数学解三角形提分练习 (附答案).docx

2023 届新高考数学二轮复习：专题(解三角形)提分练习【总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有 a、 b、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理【典型例题】例 1 (2023 秋山西太原高三统考期末)在 UABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为 a， b， c ，且满足 b2 + bc = a2(1)求证： A = 2B；(2)求 的取值范围例 2 (2023浙江统考一模)记UABC 的内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知sin C 一 A = a + b 2 a + c C + Asin 2 (1)若 A = ，求 B； 4c c(2)求 + 的取值范围a b例 3(2023河北衡水河北衡水中学校考模拟预测)已知UABC，D 为边 AC 上一点， AD = 1，CD = 2 .B(-)C . BD(-一) = 0 ，求S ；UABC-一- -一 3(1)若BA . BD = ，4(2)若直线 BD 平分三 ABC ，求ABD 与CBD 内切圆半径之比的取值范围.例 4 (2023全国高三专题练习) 在锐角UABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，sin A 一 sin B sin C已知 = 3a 一 c a + b(1)求角 B 的值；(2)若a = 2 ，求UABC 的周长的取值范围例 5 (2023全国高三专题练习) 设锐角三角形 ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，已知 a = b cos A 一 a cos B(1)求证： B2A；b + c(2)求 的取值范围a例 6(2023全国高三校联考阶段练习) UABC 中， D， E 是边 BC 上的点， 三BAD = 三CAE，BD .BE 1且 = .CD .CE 3(1)若 BC = 3，求UABC 面积的取值范围；(2)若 AB = 1， BC = 2 ，平面内是否存在点 P，使得 三ABP = 三BCP = 三CAP ？若存在，求 sin 三ABP ；若不存在，说明理由 .例 7 (2023全国高三专题练习)在 2a cos A= b cosC + c cos B ；tan B + tan C + 3 = 3 tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解 答在UABC 中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，已知_3(1)求角A 的大小；(2)若UABC 为锐角三角形，且其面积为 ，点 G 为UABC 重心，点 M 为线段 AC 的中点， 2-点 N 在线段 AB 上，且 AN = 2NB ，线段 BM 与线段CN 相交于点 P，求 GP 的取值范围 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分【过关测试】1 (2023湖南衡阳校考模拟预测)已知UABC 的内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 + = 1(1)求角 C；4 3(2)CD 是三 ACB 的角平分线，若 CD =3， UABC 的面积为 2 3 ，求 c 的值.2(2023全国高三专题练习)UABC 中，已知 AB = 1，BC = 7，D 为 AC 上一点， AD = 2DC，AB BD .(1)求 BD 的长度；(2)若点 P 为ABD 外接圆上任意一点，求 PB + 2PD 的最大值.3 (2023全国高三专题练习)如图，某城市有一条(MO )从正西方通过市中心O 后转向东 偏北 60方向(ON ) 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 L ，并 在 MO， NO 上分别设置两个出口A， B， B 在 A 的东偏北9 的方向(A， B 两点之间的高速路可近似看成直线段)，由于 A， B 之间相距较远，计划在 A， B 之间设置一个服务区P .(1)若 P 在O 的正北方向且OP = 2km ，求 A， B 到市中心O 的距离和最小时tan9 的值；(2)若 B 到市中心O 的距离为10km ，此时 P 设在三 AOB 的平分线与AB 的交点位置，且满足OP2 + BP2 11OP .BP，则求 A 到市中心O 的距离最大时tan9 的值. 4 (2023 秋河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)已知UABC 的外心为O， M, N 为 线段AB , AC 上的两点，且O 恰为 MN中点.(1)证明： | AM | . | MB |=| AN | . | NC |(2)若| AO|= 3， |OM |= 1 ，求SVAMNS 的最大值. VABC5 (2023全国高三专题练习)在UABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c ，已 知2c cos B = 2a 一 b(1)求C；(2)若 AB = AC， D 是UABC 外的一点，且 AD = 2， CD = 1，则当 三D 为多少时，平面四边 形 ABCD 的面积 S 最大，并求 S 的最大值6 (2023全国高三专题练习)如图，四边形 ABCD 中， AB2 + BC2 + AB .BC = AC2(1)若 AB = 3BC = 3 ，求ABC 的面积；(2)若 CD = 3BC， 三CAD = 30o， 三BCD = 120o，求ACB 的值7 (2023江苏苏州苏州中学校考模拟预测)在 UPAB 中， PA = PB ，点 C， D 分别在 PB， PA 边上(1)若三APB = ， CD = 1，求U PCD 面积的最大值；3(2)设四边形 ABCD的外接圆半径为R，若三 APB = 3() , )|，且 AB .BC . CD .DA 的最大值为 9(4)， 求 R 的值8 (2023上海高三专题练习) UABC 中，内角A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，满足 b2 = a2 + c2 _ ac 2 )(1)当 A 为何值时，函数 y = 2sin2 A+ cos (|C _ 3A)| 取到最大值，最大值是多少？( C _ A )(2)若c _ a 等于边 AC 上的高 h，求sin | 2 )|的值29(2023全国高三专题练习)如图， 四边形 ABCD中， 三DAB = 三DCB = ，AB = 3，BC = 2，S = 3 3 且三 ABC 为锐角ABC2a2 + b2 (1)求 DB；(2)求U ACD 的面积10 (2023 秋湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)如图，在梯形 ABCD 中， AB/CD，2AB = 2， CD = 5， 三ABC = 3(1)若 AC = 2 7 ，求梯形 ABCD 的面积；(2)若 AC BD ，求 tan 三ABD 11 (2023 春河南开封高三统考开学考试)已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， sin(B C)tan A = sin B sin C(1)若 A = B ，求 sin2A 的值；(2)证明： 为定值 c212(2023 春江苏南通高三校考开学考试)如图， UABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， BCD 是等边三角形， BC = 2， AD = 7 .(1)求证： BC AD；(2)求平面 ABD与平面 BCD 夹角的余弦值.13 (2023 秋山东菏泽高三统考期末)在sin 2() + C)| _ 12cosB = sin C tan B ；S = 3 ；c tan A = _ (c + 2b)tanC2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题在 UABC 中，内角A， B， C 的对边分别为 a， b， c， UABC 的面积为 S且满足_(1)求 A 的大小；(2)设UABC 的面积为 6，点 D 为边 BC 的中点，求 AD2的最小值14(2023全国高三专题练习)如图， P 为UABC 内的一点， 三BAP 记为议， 三 ABP 记为b， 且 议， b 在 UABP 中的对边分别记为 m， n， (2m+ n)sin b = 3n cosb， 议， b 仁 0, 3()| .(1)求三 APB ；(2)若 AB = 2 3， BP = 2， PC = 3 ，记三APC = 9 ，求线段 AP 的长和UABC 面积的最大值.tan B + tan C 2a 1+ sin 2C - cos 2C15 (2023 秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习)在UABC 中，角A， B， C 的对边 分别是 a， b， c，已知 a = 4 且cos 2A - cos 2B = 2sin C(sin B - sin C).(1)若c = 3 ，求sin C；(2)若 BC 边上的高是 AH，求 BH 的最大值.16 (2023 秋江苏南通高三统考期末)已知四边形 ABCD 内接于圆O， AB = 3， AD = 5， 三BAD = 120 。， AC 平分三 BAD .(1)求圆O 的半径；(2)求 AC 的长.17 (2023 秋黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期末)在UABC 中，内角A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，且 2c - a = 2b cos A(1)求 B 的大小；(2)若b = 3，求a + c 的取值范围；aca + c求 的最大值tan B b 1+ sin 2C + cos 2C18(2023安徽马鞍山统考一模)已知条件： = ； = 3； 3a = 2csin B + 3()| .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在 UABC 中，角A， B， C 所对的边分别是a， b， c ，满足： _.注：如果选择多个条件 分别作答，按第一个解答计分.(1)求角C 的大小；(2)若UABC 为锐角三角形， c = 3 ，求 a2 + b2 的取值范围.2参考答案【总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、 b、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理【典型例题】例 1 (2023 秋山西太原高三统考期末)在 UABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c ，且满足 b2 + bc = a2(1)求证： A = 2B；(2)求 的取值范围 b cos B6b + 2c【答案解析】 (1)由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，a2 - b2 = c2 - 2bc cos A b2 + bc = a2， a2 - b2 = bc c2 - 2bc cos A = bcb(1+ 2cos A) = c，由正弦定理得 bsinB = csinC，sin B(1+ 2cos A) = sinC = sin(A+ B)，sin B = sin(A - B)， 0 A, B ， 0 B A ， B = A - B ， A = 2B(2)由(1)得A = 2B, c = b(1+2cos A)， 6b + 2c = 6 + 2 (4cos2B - 1)= 8cos B + 4 ， b cos B cos B cos B A = 2B ，又 0 A + B 180。， 0 B 3() ， 2(1) cos B 1，函数 f(x )= 8x + x(4) 在 )|上单调递减，在 22 ,1)| 上单调递增f 2(1)| = f (1)= 12， f 22 )| = 8 2 8 2 共 8cos B + 12，4cos B 的取值范围为 8 2,12 )例 2 (2023浙江统考一模)记 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知C - Aa +b sin 2a + c = sin C + A2(1)若 A = ，求 B； 4(2)求 c + c 的取值范围 a ba +b sin A+sin Ba + c sin A+sin C【答案解析】 (1)由正弦定理得 = ，C - A C - Aa +b sin 2 sin A+sin B sin 2又 a + c = sin C + A ，所以 sin A+sin C = sin C + A ，2 2因为sin A+sin C = 2sin C + A cos C - A，2 2C - Asin2 2 C + A 2 2所以sin A+sin B = 2sin C + A cos C - A . 2 = 2cos C - A sin C - A = sin (C - A)，sin2因为sin B = sin ( - B )= sin (C + A)，所以sin A = sin (C - A)- sin (C + A)= -2 cosC sin A，因为0 A 0 ，故cos C = - ，12又0 C 0, b 0 ，所以 b + a 2 b . a = 2，a b a b当且仅当 = ，即 a = b 时，等号成立，即 + 2，b a b aa b a b故T2 3人 4 = 12，则 T 2 3，所以 a(c) + b(c) 2 3 ，即 a(c) + b(c) 仁 2 3, +w )例 3(2023河北衡水河北衡水中学校考模拟预测)已知UABC，D 为边 AC 上一点， AD = 1，CD = 2 .-一- -一 3(1)若BA . BD = ， B(-)C . BD(-一) = 0 ，求S ；4 UABC(2)若直线 BD 平分三 ABC ，求ABD 与CBD 内切圆半径之比的取值范围.【答案解析】 (1)如图 1， AD = 1， CD = 2，所以 BA(-一-) = BD(-一) + D(-)A = BD(-一) + 1 CD(-一) = BD(-一) + 1 (- 一 B(-)C)= 3 BD(-一) 一 1 B(-)C，2 2 2 2-一- -一 3因为BA . BD = ， B(-)C . BD(-一) = 0，4所以 BA(-一-) . BD(-一) = 2(3) BD(-一) 一 2(1) B(-)C)| . BD(-一) = 2(3) BD(-一)2 一 2(1) B(-)C . BD(-一) = 2(3) BD(-一) 2 = 4(3)，故 BD(-一) 2 = 1 ，则 BD(-一) = 2 ，即 BD = 2 ，2 2 2又 B(-)C . BD(-一) = 0 ，则 BC BD ，故 BC = CD2 一 BD2 = 14 ，21不妨记三ABD = 议， AB = m ，则 cos议 = AB2 + BD2 一 AD2 = 2 = 2m2 一 1，m2 + 一 12AB . BD 2m 2 2m-一- -一 -一- -一 3因为BA . BD = BA BD cos 议 = ，42 2m2 一 1 3 2 人 2 一 1 3所以 m 人 2 人 2 2m = 4 ，解得 m = 2 ，则 cos 议 = 2 2 人 2 = 4，因为0 议 AC ，即c+ 2c 3 ，则 c 1，所以 BD = 2c2 一 2 ，即 BD = 2c2 一 2，1S 因为 UABDS UBCDAD . h= = (h为顶点 B到AC 的距离)，2 1CD . h 21 21 (AB + BD + AD )r = 1 (c + 2c2 一 2 + 1)r，又S =2 2UABDS = 1 (BC + BD + CD )R = 1 (2c+ 2c2一 2 + 2 )R，UBCD 2 2(c + 2c2 一 2 + 1)r所以 (2c+ 2c2 一 2 + 2)R = 2(1) ，则 R(r) = 2(1) 一(一) = 2(1) 1 + 1一 2 + 1 ，令t = c + 1，则 c = t 一 1， t 2，c + 1 t 1所以 c + 2c2 一 2 + 1 = t + 2 (t 一 1)2 一 2 = 1+ 2 一 4 ，tt 2 t t所以 2 一 1 1 4 1 ，即 2 一 1 c + 1 2 ，所以0 1 1 ，则0 2 一 4 2 ，故1 1+ 2 一 4 1+ 2，t1+ 2 一 c + 2c2 一 2 + 11 1所以 22 2(1) 1 + 1 ，故 22 R(r) 1，( 2 )所以ABD 与CBD 内切圆半径之比的取值范围为| 2 ,1)| .例 4 (2023全国高三专题练习) 在锐角UABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，sin A - sin B sin C3a - c a +b已知 = (1)求角 B 的值；(2)若a = 2 ，求UABC 的周长的取值范围a - b csin A - sin B sin C= 3a - c a +ba2 + c2 - b2 3ac 33a - c a +b，【答案解析】 (1) = ，由正弦定理得：即 a2 + c2 - b2 = 3ac，由余弦定理得： cos B = = = ，2ac 2ac 2因为B =(0, )，所以 B = ；6(2)锐角UABC 中， a = 2， B = ， 62 b c由正弦定理得： sin A sin sin C，= =6故 b = 1 , c = 2sin C = 2sin A + 6()| = 3 sin A+cos A，sin A sin A sin A sin A1则3 sin A+cos A+ 1 = 3 + 1+ cos A = 3 + 1 + 1 + tan2 A sin A tan A tan Ab + c = 3 + + + 1， tan A tan2 AB = ，因为锐角UABC 中， 6则 A = 0, 2()|， C = 6() A = 0, 2()|，解得： A = )|，故tan A = ( 3, +w)， tan(1)A = 0, 33 )|，则 tan( 1)2 A + 1 = 1, 2 3 3 )| , 3 + tan(1)A + tan( 1)2 A + 1 = (1 + 3, 2 3 )，故b + c = (1+ 3, 2 3 )， a + b +c = (3 + 3, 2+ 2 3 )所以三角形周长的取值范围是 (3 + 3, 2+ 2 3 ).例 5 (2023全国高三专题练习) 设锐角三角形 ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，已知 a = b cos A a cos B(1)求证： B2A；(2)求 的取值范围b + ca【答案解析】 (1) a = b cos A a cos B，由正弦定理得： sin A = sin B cos A sin Acos B，由积化和差公式可得：sin A = 1 sin (B + A)+ 1 sin (B A) 1 sin (A + B ) 1 sin (A B )= 1 sin (B A) 1 sin (A B )，2 2 2 2 2 2因为 1 sin (A B )= 1 sin (B A)，2 2所以sin A = sin (B A)，因为三角形 ABC 为锐角三角形，故A, B = 0, 2()|，所以B A = )|，故 A = B A，即 B = 2A；(2)由(1)知： B = 2A，由正弦定理得：b + c sin B + sin C sin 2A+ sin (B + A) sin 2A+ sin 3A= = = ，a sin A sin A sin A其中sin 3A = sin (2A+ A)= sin 2Acos A+ cos 2Asin A = 2sin Acos2 A+ cos 2Asin A，因为sin A 丰 0，所以 b + c = 2sin Acos A+ 2sin A cos2 A + cos 2Asin A = 2co s A+ 2 cos2 A + cos 2Aa sin A= 2cos A + 2 cos2 A + 2cos 2 A 一 1 = 4cos 2 A + 2cos A 一 1 = 4 cos A+ 4(1)2 一 4(5)，由 B = 2A = 0, 2()| 得： A = 0, 4()|，由 C = 一 A 一 B = 一 3A = 0, 2()|，解得： A = )|，结合A = 0, 2()| 可得： A = )|， cos A = )|，故 b a(+) c = 4 cos A+ 4(1)2 一 4(5) 在cos A = )|上单调递增，所以 b a(+) c = 4cos2 A+ 2cos A 一 1 = 4 2(1) + 2 一 1,4 4(3) + 3 一 1)|，即 b + c = ( 2 +1, 3 + 2).a例 6(2023全国高三校联考阶段练习) UABC 中， D， E 是边 BC 上的点， 三BAD = 三CAE，BD .BE 1且= .CD . CE 3(1)若 BC = 3 ，求UABC 面积的取值范围；(2)若 AB = 1， BC = 2 ，平面内是否存在点 P ，使得 三ABP = 三BCP = 三CAP ？若存在，求 sin 三ABP ；若不存在，说明理由 .【答案解析】 (1)由面积公式可得：1S BD 2 AD AB sin 三BAD AB sin 三BADS CD 1 AC sin 三CADUABD = = = ，UADC AD AC