高数-极限-数列通项.doc

高等数学 － 求数列通项及极限
高等数学 － 求数列通项及极限
2010-1-20
《2010版考研数学复习指南（理工类,文登考研培训特供版）》P33,例1.57
设，，，求及通项
求极限(如原书)
设，由得，
又，，
引入系数数列
由得
，，，
，，，…
系数数列: 0,1,2,5,12,29,70,169,…
即，，， (A)
， (B)
先假设
通过对一般G.P.，A.P.的通项及求和观察，得出该假设.
则由式得

即
分析上式，因为是任意正整数且，要使上式恒成立，则

，其中，显然系数不能使，.
构造使得
注意到式具有齐次性，所以如此构造.
仍然满足式，所以假设.
且，取
于是，其中.
错位相加减求通项
注意到《同步新课堂.高一数学.上.2001》P196例1
及《2010版考研数学复习指南（理工类,文登考研培训特供版）》P34,例1.58(2)，
对通过求，受其启发.

得
(C)
当为奇数
式右边

当为偶数
式右边

故无论奇偶，由式及得
，整理得
，其中 (D)
求通项
将系数数列即式，代入即得
，， (E)
讨论取值与及的关系
图像中与无关的不动点
当即时，.
当即时，.
话说原书用以求极限的的两个解正是.
图像的竖直渐近线
根据使得（即式）分母不为零的条件，讨论取值范围.
当代入得.
当时，令分母为零，则，
记，
表示当时，使分母为零的取值，即取不到的值.

当为奇数，
，记，
易知单调递增有上界，
，即，即.
当为偶数，
，记，
易知单调递减有下界，
，即，即.
当为正整数，
综上，，即
竖直渐近线：（为奇数,），（为偶数,）
图像的水平渐近线
由式，记，
表示当时，取不到的值.
注意到当时的，与当时的完全相同.
这是因为，而时的就是时的.
因此水平渐近线的极限
.
当为奇数，
，记，
易知单调递减有下界，
，即，即.
当为偶数，
，记，
易知单调递增有上界，
，即，即.
当为正整数，
综上，，即
水平渐近线：（为奇数,），（为偶数,）
图像
图像的两个不动点，即，
如同力学中的“铰”，随着增大，曲线绕着此两铰转动.
当为奇数，

单调递增有上界，随着增大，竖直渐近线右移.
单调递减有下界，随着增大，水平渐近线下移.
当为偶数，

单调递减有下界，随着增大，竖直渐近线左移.
单调递增有上界，随着增大，水平渐近线上移.
图像

注：当取中的某个数，则对应为（分母为0），于是，
故仍然有. 当且仅当时，，. 于是
，其中，
图像

图像作图：
为转化作对数坐标，构造.
要求当，为偶数，. 要求当，为奇数，.

绘图横标：. 绘图纵标：.
纵标标注：在纵标0处标. 在()对应处标，
如在纵标20处标，在纵标15处标，在纵标10处标，在纵标5处标，在纵标-5处标,在纵标-10处标,在纵标-15处标，在纵标-20处标.

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