知识要点-空间直角坐标系.doc

第5讲 空间直角坐标系
★知识梳理★
1.右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；
②已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：
沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点
③已知点的位置求坐标的方法：
过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标
2、在轴上的点分别可以表示为，
在坐标平面，，内的点分别可以表示为;
3、点关于轴的对称点的坐标为
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于坐标平面的对称点为；
点关于原点的对称点。
4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为
5．空间两点间的距离公式
已知空间两点，
则两点的距离为 ，
特殊地,点到原点的距离为;
5．以为球心,为半径的球面方程为
特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为
★重难点突破★
重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式
难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系
重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用
1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系
问题1：点到轴的距离为
[解析]借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为
2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
问题2：对于任意实数，求的最小值
[解析]在空间直角坐标系中，表示空间点到点的距离与到点的距离之和，它的最小值就是点与点之间的线段长，所以的最小值为。
3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题
(1)判断两条相交直线是否垂直
(2)判断空间三点是否共线
(3)得到一些简单的空间轨迹方程

★热点考点题型探析★
考点1: 空间直角坐标系
题型1: 认识空间直角坐标系
[例1 ]（1）在空间直角坐标系中，表示 （ ）
A．轴上的点 B．过轴的平面
C．垂直于轴的平面 D．平行于轴的直线
（2）在空间直角坐标系中，方程表示
A．在坐标平面中，1，3象限的平分线 B．平行于轴的一条直线
C．经过轴的一个平面 D．平行于轴的一个平面
【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为1的点的集合
[解析]（1）表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面
（2）方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合
【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系
(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：
经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为
题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题
[例2 ] 点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐标为
【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系
[解析]因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,
又因点和关于平面对称, 所以点坐标为
【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为
【新题导练】
1．已知正四棱柱的顶点坐标分别为，，则的坐标为 。
[解析]正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴，
的坐标为（2，2，5）
2．平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为
[解析]由已知得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得
，
3．已知，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
[解析]借助长方体来思考, 、、分别是三条面对角线的长度。，选C
考点2：空间两点间的距离公式
题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题
X
A
Y
B
O
Z
P
[例3 ] 如图：已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
【解题思路】转化为距离问题，即证明
[解析]设 ，
对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，使得恒成立，
则
即，解得：
所以存在这样的点，当点为时，恒成立
【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。
【新题导练】
4．已知，当两点间距离取得最小值时，的值为 （ ）
A．19 B． C． D．
[解析]
当时，取得最小值
5．已知球面，与点，则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 。
[解析]球心，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和3
6．已知三点，是否存在实数，使A、B、C共线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
[解析] ，
，
，
因为，所以，若三点共线，有或，
若，整理得：，此方程无解；
若，整理得：，此方程也无解。
所以不存在实数，使A、B、C共线。

★抢分频道★
基础巩固训练
1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将轴与轴，轴与轴所成的角画成（ ）
A． B． C． D．
解析：选B
2. 点在平面上的投影点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B
3. 三棱锥中，此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 6
[解析] 两两垂直，
4．（2007山东济宁模拟）设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点，则|AB|等于( )
A．10 B． C． D．38
[解析] A
点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,

5．（2007年湛江模拟）点关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为，则=
[解析] ，，
6．正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是

[解析] 不共面，为正方体的一条对角线，，正方体的棱长为4，体积为64
综合提高训练
7．空间直角坐标系中，到坐标平面，，的距离分别为2，2，3的点有
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
解析：8个。分别为（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2）
8．（2007山东昌乐模拟）三角形的三个顶点的坐标为，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] C

9．(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）
A． B． C．3 D．
[解析]因为点B在平面内的直线上，故可设点B为，
所以，
所以当时，AB取得最小值，此时点B为。
B
X
A
C
Y
D
Z
O
Q
P
10．如图，以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上。
（1）当点为对角线的中点，点在棱上运动时，
探究的最小值；
（2）当点在对角线上运动，点为棱的中点时，
探究的最小值；
[解析]由已知，
（1）当点为对角线的中点时，点坐标为，
设，则，
当时，取到最小值为，此时为的中点。
（2）当点为棱的中点时，点的坐标为，设，则，
，，所以点的坐标为，
所以，当，即为的中点时，取到最小值。

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