反三角函数(教案).doc

第4节 反三角函数（2课时）

第1课时
[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。
另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。
[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道
，其中，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]：
师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？
答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数在定义域上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：
，这个函数是单调函数，因而有反函数。
师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换）
（这里我们使用符号表示反解）反解得，互换得，其中，这就是要求的反正弦函数。
1． 反正弦函数的图象
反正弦函数与函数互为反函数，因此两个函数图象关于直线对称。
2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）
①定义域为，值域为；
②在定义域上单调递增；
③是奇函数，即对任意，有
3． 反正弦函数的恒等式
①由“一一对应”的性质知：对任意值，在上都有唯一对应的角，使得它的正弦值为，即得恒等式；
②由“一一对应”的性质知：对任意角，在上都有唯一对应的值，使得它的反正弦值为，即得恒等式。
例题选编：
[例1]：求下列反三角函数值：
（1） ； （2） （3）
解：利用恒等式1来理解题意（1）：
记，也就是在上找一个角，使得；（2）（3）类似。
说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。
[例2]：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 ：
（1），
（2），
（3）
解：利用恒等式2来理解题意：
（1），而，故有；
（3），而，故不能直接利用恒等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到上，此时涉及讨论：
若，则
若，则，故有

即。
[例3]：化简下列各式：
（1） （2） （3）
解：此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。
（1），由恒等式2得；
（2），这里将转化了；
（3）
。
[例4]：判断下列各式是否成立：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）
（6）
解：（1）对；（2）错；（3）当时对；（4）错，；（5）错；（6）对。
[例5]：写出下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）
解：（1），由反正弦函数的单调性知
（2），
这是典型的复合函数求值域问题，由和反正弦函数的单调性可知：

[例6]：求下列函数的反函数：
（1）
（2）
（3）
解：（1）反解得，（恒等式2的运用，注意区间）
互换即得反函数为
（2）反解得，互换即得反函数为。
（3）

作业：P99 练习1、2、3

[课题总结]：
[试题选编]：