【创新方案】2013年高考数学一轮复习-第三篇--导数及其应用-第2讲-导数的应用(一)教案-理-新人教版.doc

第2讲　导数的应用(一)

【2013年高考会这样考】
1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．
2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．
【复习指导】
本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．

基础梳理
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．
3．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；
f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．

易误警示
直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．
两个条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

三个步骤
　求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．
当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
双基自测
1．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)．
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析　由已知y′＝3x2，则y′|x＝1＝3
切线方程为y－12＝3(x－1)，
即y＝3x＋9.
答案　C
2．(2012·烟台模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的递减区间是(　　)．
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(0,1) D．[－1,0)，(0,1]
解析　函数的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝2x－＝2
由f′(x)≤0，解得0＜x≤1.
答案　A
3．(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)．
A．1 B.
C. D.
解析　由已知y′＝2x－，令2x－＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝＝.
答案　B
4．(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________．
答案　－3.3 m/s
5．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.
答案　(－∞，0)，(2，＋∞)

考向一　求曲线切线的方程
【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[审题视点] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．
解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋5
f′(2)＝1，又f(2)＝－2
∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为
y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)
f′(x0)＝3x－8x0＋5
则切线方程为
y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过(x0，x－4x＋5x0－4)点，
则x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2，或x0＝1，
因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；
(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．
【训练1】 若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．
解　设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)则
y0＝kx0，①
y0＝x－3x＋2x0，②
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，③
由①②③得：(3x－6x0＋2)x0＝x－3x＋2x0，
即(2x0－3)x＝0.
∴x0＝0或x0＝，∴k＝2或k＝－.
考向二　函数的单调性与导数
【例2】►已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．
[审题视点] 函数单调的充要条件是f′(x)≥0或f′(x)≤0且不恒等于0.
解　(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，
∴t(x)min＝(1－1)＝0.
∴a≤0.
(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x

－

3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

∴当x∈，[3，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减．
函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．
【训练2】 已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
解　f′(x)＝ex－a，
(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上递增，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.
当a＝e3时f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－2,3)上为减函数，
∴a≥e3.
故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．
考向三　利用导数解决不等式问题
【例3】►设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.
[审题视点] 第(2)问构造函数h(x)＝ex－x2＋2ax－1，利用函数的单调性解决．
(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln 2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.
利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．
【训练3】 已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex
(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；
(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.
(1)解　由已知条件f(x)＝0无解，
即x2＋mx＋m＝0无实根，
则Δ＝m2－4m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)
(2)证明　当m＝0时，f(x)＝x2ex
设g(x)＝ex－x－1，∴g′(x)＝ex－1，
g(x)，g′(x)随x变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

0

由此可知对于x∈R，g(x)≥g(0)
即ex－x－1≥0，因此x2(ex－x－1)≥0，整理得
x2ex≥x3＋x2，即f(x)≥x3＋x2.　　
阅卷报告2——书写不规范失分
【问题诊断】 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.
【防范措施】 对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“∪”连接.
【示例】►设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，求函数f(x)的单调增区间．
错因　结论书写不正确，也就是说不能用符号“∪”连接，应为(－∞，－1)和(0，＋∞)实录　f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)·(x＋1)，令f′(x)＞0得，x＜－1或x＞0.
所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
正解　因为f(x)＝x(ex－1)－x2，
所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)·(x＋1)．
令f′(x)＞0，即(ex－1)(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0.
所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
【试一试】 设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．
[尝试解答]　f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，
经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，
所以g(x)＝ex(x3－3x2)，
g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)
＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.
因为ex＞0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．