高考应用题.doc

北京四中网校　 ▪ 8 ▪
北 京 四 中
编稿：李静　 　　审稿：安东明　　 　责 编：严春梅
[本周题目]应用问题
[本周重点]
1. 与函数、方程、不等式有关的应用问题
2. 与数列有关的应用问题
[本周难点]提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
[考点概述]
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤：
1、审清题意：
认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
2、建立文字数量关系式：
把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：
利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：
把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策
1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型
常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题
常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题
常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。
4、与直线、圆锥曲线有关的题型
常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。
常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。
5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型
常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
6、与排列、组合有关的问题
运用排列、组合等知识解决
7、与概率、统计有关的应用问题
这是近几年高考(新课程卷)的重点、热点，是必考内容，主要用概率公式和排列组合知识。
[例题讲解]
例1 (04辽宁20)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲的资源，因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)，
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
(1)解法一：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：
因为
时，w取得最大值，
所以乙方取得最大年利润的年产量
解法二：因为赔付价格s/吨，所以乙方的实际利润为：
由

当t<t0时，w′>0；当t>t0时w′<0，
所以t=t0时，w取得最大值，
因此乙方取得最大年利润的年产量
(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，将代入上式，
得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式
又
令v′=0，得s=20
当s<20时，v′>0；当s>20时，v′<0，
所以s=20时，v取得最大值，
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨)时，获得最大净收入。
例2. (1997年全国高考题)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；
②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。
解：（1）(读题)由主要关系：运输总成本=每小时运输成本×时间
(建模)有
(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数关系式是：
，其中函数的定义域是；
（2）由
由函数
当
，
综上所述，为使全程成本y最小，当时，行驶速度应为v=c。
说明：
1. 对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整。此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型。
2. 二次函数、指数函数以及函数的性质要熟练掌握。
3. 要能熟练地处理分段函数问题。
例3. 为促进个人住房商品化进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数)
公积金贷款月利率(‰)
商业性贷款月利率(‰)
…
11
12
13
14
15
…
…
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
…
…
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
…
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清，每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元？
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少？
(参考数据：1.004455144=1.8966，1.005025144=2.0581，1.005025180=2.4651)
解：设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月
第1月末欠款数A(1+r)-a
第2月末欠款数[A(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r)2-a(1+r)-a
第3月末欠款数[A(1+r)2-a(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r)3-a(1+r)2-a(1+r)-a
……
第n月末欠款数A(1+r)n-a(1+r)n-1-a(1+r)n-2-……-a(1+r)-a=0
得：
对于12年期的10万元贷款，n=144，r=4.455‰

对于15年期的15万元贷款，n=180，r=5.025‰

由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37+1268.22=2210.59元，后3年每月还款1268.22元；
(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
X=A(1+r)144-a(1+r)143-a(1+r)142-…-a(1+r)-a
其中A=150000，a=1268.22，r=5.025‰
∴X=41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元。
例4 (02全国20)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，
则b1=30，b2=b1×0.94+x
对于n>1，有bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+(1+0.94)x，……

当，即x≤1.8时，bn+1≤bn≤…≤b1=30
当
并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn≤60(n=1，2，3，……)
则
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。

例5 (05辽宁18)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0。
(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；
(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
(Ⅰ)解：设S为十字形的面积，
则S=2xy-x2

(Ⅱ)解法一：

其中
当，即
所以，当时，S最大，S的最大值为
解法二：因为S=2sinθcosθ-cos2θ，
所以S′=2cos2θ-2sin2θ+2sinθcosθ
=2cos2θ+sin2θ，
令S′=0，即2cos2θ+sin2θ=0，
可解得
所以，当时，S最大，S的最大值为
例6. (04广东20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m。试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340m/s；相关各点均在同一平面上)
解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系，
设A、B、C分别是西、东、北观点测点，则A(-1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)
设P(x，y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，
故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，
因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680，c=1020
∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402
故双曲线方程为
用y=-x代入上式，得
，

答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心处。
例7． 据气象台预报，在A市正东方向300公里的B处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，台风将影响A市，持续时间有多长？
分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。
视A市为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系XOY，则B处的坐标(300，0)，圆A的方程为x2+y2=2502，易知当台风中心在圆A上或内部时，台风将影响A市。
解：建立如图所示的直角坐标系，台风中心运动的轨迹是一条射线，由于台风中心以每小时40公里的速度向西北方向移动，于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：

即，
其中，参数t的物理意义是时间(小时)，
于是问题转化为“当时间t在何范围时，
台风中心在圆A的内部或边界上”。
台风中心在圆A上或者内部的充要条件是：
解得1.9≤t≤8.6
所以大约2小时后，A市将受到台风影响，并持续6.5小时左右。
说明：这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。
例8． (05湖北)某地最近出台一项机动车驾驶考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可以领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止，如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。
解：ξ的取值分别为1，2，3，4
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(ξ=1)=0.6
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096。
ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故
P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544。
李明在一年内领到驾照的概率为
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.9976。
[课后练习]
1. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
(Ⅰ)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(Ⅱ)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；
(Ⅲ)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
2. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼。已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍。经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。(总费用为建筑费用和征地费用之和)
3. 某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房。请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
[参考答案]
1. 解：(Ⅰ)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为x0个，则

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
(Ⅱ)当0<x≤100时，P=60
当100<x<550时，
当x≥550时，P=51
所以
(Ⅲ)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

∴当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元。
2. 解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，
楼层建筑费用为：
，
从而
当且仅当时，总费用y最少
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，最少总费用为1000A元。
3. 解：引入字母，转化为递归数列模型。
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则an+bn=150

即
，
故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右。

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