多 维 分 割 论1.doc

第四届全国初等数学学术交流会
交 流 论 文

《多 维 分 割 论》 之 一
——论直线对平面的分割
祝有韬 湖北省安陆市第二高级中学 邮编 ：432600

直线划分平面问题十分有趣，本人现用全新的方法研究它.
预备定理：平面上有条两两相交的直线（其中任两条不平行，任三条不共点），则它们将平面划分成个区域.
用数学归纳法或递归数列法均极易证明它.但我们感兴趣的是,组合数的意义何在？
因二不平行直线交于一点，故是+1条无二线平行且无三线共点的共面直线两两相交所得交点个数. 对此，我们可大胆设想：是否平面被若干条直线划分成的区域个数与这些直线间的交点个数有关？
答案是肯定的.
定理1（几何原理）：平面上有条直线（其中任二条不平行，任三条不共点），则它们将该平面划分成的区域个数正好是+1条直线两两相交所得交点个数再加1，即.
证明：当分平面成两个区域，若在该平面上引进一条无穷远线（注：平面向各个方向均无限，即平面上每条直线向其两端伸向‘无穷远点’，所有的无穷远点汇成一条‘无穷远线’—半径无穷大的圆—也可视其为直线——曲直转化！）称其为Ⅰ为同一点！这也符合“二直线相交交点唯一”的公理)，即,而所划分成的区域个数，正好符合“交点个数加1”.
同理时，连同无穷远直线有共面的三条直线，交点个数为、，其分割成的区域个数，也符合“交点个数加1”
（注：事实上
符合“交点个数加1”，则当个点，故连同原有交点共有交点个，而,也符合“交点的个 数加上1”，故命题恒成立

另外，平面上条直线分割平面的问题不外有四类：
条中无三线共点也无二线平行的; 条中有三线共点但无二线平行的;
条中无三线共点但有二线平行的; 条中既有三线共点也有二线平行的.
有了定理1，则不但解决了问题10，而且对20﹑30﹑40及由其综合而成的任何复杂情形都迎刃而解了.

其中表分别交于当其皆不共点时，应分割出的区域个数，而2则为因其共点而实际分割成的个数.
定理3：平面上有
且任何三线不共点，则其将平面划分成的区域个数为：
,其中 表各组平行线因其平行导致交点个数的减少量.
定理4：平面上有组平行线， 则其将平面划分成的区域个数为：
则分别是其当时的特例，且对定理2、3、4均不需证明，都用“交点的个数再加1”的原理去理解.应用起来皆十分方便.
例1 平面上有个点（任三点不共线），过每两点作一直线，这些直线中任两条不平行，问这些直线将其所在平面划分成多少个区域？
解：依几何原理知划分成的区域个数为

例2
的平行线，再作正方形的对角线所在的直线，问这些直线将平面划分成多少个区域？
解：
个三线共点，1个四线共点，故所分成的区域个数

例3
作其它二直线的平行线，这些直线将平面划分成多少个区域？
解： 共有条，且有
个三线共点，故所划分成的区域个数

所在平
面所成区域的个数

解： ∵给定的7个点可确定条直线，连同共14条，其中4处四线共点，3处五线共点，故
ⅱ. 14条中有2组二线平行，1组三线平行，4组四线共点和3组五线共点，此时

ⅲ. 此时有1组三线平行，1组三线共点，4组四线共点和3组五线共点.

例5 结合具体图形研究由正边形顶点所确定的所有直线（注：每两点确定一条直线）将所在平面划分成的区域个数的值，试解决如下问题：
ⅰ. 的计算式，并求值；
ⅱ.
ⅲ. 作出的公式猜想,并试证明之.
(限篇幅过程从略，有兴趣的读者可自己完成此过程)
2000年8月于首都师范大学
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