不等式解法(放缩法).doc

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径
不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教.
根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分.
常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.
对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.
而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列.
下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:
途径1:放缩为类.
例1.求证：

同类不等式还有：
⑴

⑵ (n>1)

⑶ (n>1)

途径2:放缩为等比类.
例2.求证：

同类不等式还有：
⑴

⑵

途径4:增大（减小）分子（分母 ）或被开方数放缩类.
例5.求证：

例6.求证：

同类不等式还有：
⑴ 2()＜1+＜2

⑵

途径6:利用均值不等式放缩类.
例9.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞

同类不等式还有:
⑴ ＜

⑵

途径7:利用数列单调性放缩类.
这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.
例10.求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＞ (前面例7之证明三)

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