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片筏基础的简便算法
摘要:填土地基上选用片筏基础。为防止由于填土层厚薄不一引起的不均匀沉陷导致上部结构产生较大的附加应力,基础的埋深应根据填土层厚度的变化而变化,使条形基础成为片筏状。又因填土层属于高压缩性淤泥地基,其密实度较之下部的硬土层要小许多,按弹性地基理论,此填土层可视为局部变形弹性体。因此,填土地基上的片筏基础按局部变形弹性体上的阶形梁进行分析是适宜的。本文用里兹(ritz)位移变分法对其分析,较目前诸如链杆法、截面法等简便实用,更宜于在计算机上求解;此外,利用变分方程内涵的平衡条件,还能对计算结果的正确性进行及时有效的检验。
关键词：片筏基础 填土地基 填土层弹性体淤泥地基局部变形阶梯梁
位移变分解法
设承受任意荷载的任意阶形梁置于填土层上，使各段下的填土厚度均约等于h,坐标系、编号和符号等如图1所示。
采用里兹位移变分法时，所设位移函数
w（x）可只满足梁的边界位移条件;
截面作为控制截面进行计算,确保设计安全合理.w(x)｜x=0≠0， w(x)｜x=0≠0
w(x)｜x=l≠0, w(x)｜x=l≠0
故可设
w(x)=∑ am wm (x)
m=0,1,2…
=∑amex/l (1)
m=0,1,2…
位移变分方程为【5】
(2)
式中为结构系统的总形变势能，其中 为各阶形梁段形变势能的和；为全梁下填土地基的形变势能; 为待定参数;为已知外荷载在位移基函数(x)上所做的功。
将任一阶形梁段ij的抗弯刚度记为
(3)
式中ei —第一梁段的抗变刚度.
于是

设填土层的压缩模量为e0,基础梁底宽度为b,则基础压力p(x)(线集度)与填土沉陷w(x)有如下关系

式中p\q向下为下，m顺时针转向为正;根据罗彼塔法则,有
将式(4)(6)(7)代入式(2)后,各项乘2l3/ei01,并令
于是得求解am的实用变分通式

依次取m时,由此列出的方程组为一对称方程组,故式中的n只需取n>m;
由式（9）求得am后,代入式(1)得w(x),p(x)由式（5）也随之已知；为了提高内力的计算精度，不采用微分法，而采用积分法列出其算式；
p(x)= =
m(x)=(x)+
=
q(x) =(x)+ (x
=+(x)
(10)
式中mp(x)\qp(x)分别为地基反力p(x)产生的弯矩和剪力；mr(x)\ qp(x)分别为已知外荷载产生的弯矩和剪力;规定;使梁下侧纤维受拉的变矩为下,使截离体顺时针转向的剪力为正;
=x/l。
若am计算正确的话，其应满足变分方程内函的平衡条件，故可用以下整体衡条件检验计算结果的正确性；
式中
=
第一式为竖向力平衡方程，r为梁上所有已知竖向荷载的代数和,向上为正;第二式为对梁右端点n的力矩平衡方程,为梁上所
有已知荷载对n点力矩的代数和,顺时针转向为正.
利用式(7)~(11)可以求得任意精度的解答。由于其形式简洁，故很宜于计算机上编程运算；若条形基础为等截而时，全梁成为唯一梁段，式（9 ）中kij=1,xi=0,xi=l,ei01=ei,算式将一步简化，取m=0,1,2,3,4,5已有很好的精度满足设计要求,现将其具体算式列出供实用(括号中元素用于等截面片筏基础).

二、算例
例1用式（12）～（16）计算图2片筏基础，并与它法结果比较。已知：e=18gpa，b/h=2ｘ10
，i从表1控制内力值可见，二者有很好的一致性。其他算例也如此，这说明本文方法是可行的。
例2为适应填土层厚度的变化，设片筏基础做成图3片筏状。已知e=21gpa，b=1.2m,i

方法 m(x)(kn·m) q(x)(kn)
x=3.5m x=5m x=3.5m x=5m
本法
截面法
有限元法 45.51
45.70
45.00 247.61
249.40
249.80 79.03
80.60
78.30 +200
+200
+200
填土厚度h
解有式（3）：k=1, k,
k, kyou由式（8）：。x=0,
xx=15m,x.由式（7）写出式（12）等号右边项：
=
以上各量代入式（12），解得

将代入式（13）满足整体平衡方程，说明计算无误。
将代入式（14）、（15）、（16）得平p(x)、m(x)、q(x)(见表2)。
例2若干截面结果表2

从表中可见，地基反力p（x）只是较均匀的，这说明片筏基础的沉陷也是较均匀的，它不会对上部结构产生较大的附加应力；这也在证明了对不等厚度的填土层采用截面片筏基础，对改善整个结构的受力状况是有效的。
三、结语
对承受任意荷载的任意片筏基础，均可用式（12）~（16）数得足够精度的结果。由于各项算式形式简单且相互联系紧密，手算可以胜任，在计算机上编程运算更为方便。
利用变分方程式内涵的平衡条件可以检验计算的正确性，这也是本法具有的一个特点。
根据填土层厚度的变化规律，将条形基础设计为片筏状，每一阶状梁段下的填土厚度大体一致，可以减少不均匀的沉陷，是改善结构受力的一个有效措施。
参考文献
[1]丁起浩 ： 《地基与基础工程》2007年10月
[2]周景星 ： 《基础工程》2007年1月
[3]填土地基上基础形式的选用及设计建议，《工业建筑》，1996年第9期
[4]徐芝纶：弹性力学上册，1992年
作者简介：
张新忱 男 汉族1996年毕业于天津大学土木工程系， 现在河北省沧州市建筑设计研究院有限公司任结构专业副总工程师，沧州职业技术学院客座教授。
注：文章内所有公式及图表请以pdf形式查看。