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2005级试点班《数学分析2》期中考试试题

一、下列不定积分（20分）
（1）； （2）
（3） （4）

二、求下列定积分（10分）
（1） ；（2）

三、求下列极限（10分）
（1）； （2）

四、（10分）设， 试讨论在[0，1]上的可积性。

五、用有限覆盖定理证明聚点定理。（10分）

六、（15分）（1）用有限覆盖定理证明：若在上连续，则在上有界。
（2）如果将（1）中“在上连续”改为“在上有定义，且在上每一点的极限都存在”，则（1）的结论是否还成立，试证之。

七、（10分）讨论反常积分的敛散性。

八、（15分）设在上可导，且为凸函数，证明Hadmard不等式
。

附加题：（满分50分）
一、设函数在闭区间上非负可积，记，证明：
的充分必要条件是：对任意，总有。（15分）

二、对任意，，（1）用积分第二中值公式证明：；
（2）用适当的方法进一步证明：。（15分）

三、设函数，都在闭区间上连续，且，，记，
。
（1） 证明：；
（2）若进一步要求，，证明：。（20分）