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化茧成蝶的美丽
——《认识圆》研课三探

“不经历风雨,怎么见彩虹”。一节课要上得精彩,不经历一个曲折的过程是不可能的。作为一线的数学教师,我们组这次有幸承接了《认识圆》的公开教学展示活动，让我们有机会经历三次研课过程。通过这次活动，让我们组每个人都参与到了集体研课的活动中，并经历了一次“化茧成蝶”般痛并快乐成长的过程。下面将我们三次研课的心路历程与大家分享。
“圆的认识”一课选自小学数学人教版教材六年级上册，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。教材的编排思路是先借助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征。
基于以上认识，我们将本节课的教学流程确定为：画圆——剪圆——折圆——识圆，进行了第一次教学。
【案例一：第一次教学】
一、复习导入：
1、我们以前学过的平面图形有哪些？师生交流后，课件出示。
让学生观察这些图形都是用什么线围成的？并简单说说这些图形的特征。
2、出示圆形图片。让学生观察圆是用什么线围成的？师生交流后得出结论：圆是一种曲线图形。
3、生活中，你在哪里见到过圆形？
二、探索新知。
（一）教学例1。
1、师：要想更好的认识圆，我们还是先从画圆开始吧。你能想办法在纸上画一个圆吗？
让学生尝试动手画圆。
教师提示学生可以利用手中的工具，或也可以自己想办法画圆。
引导引导学生交流所画的圆，并让学生说说是怎样。可能会有以下答案：利用硬币或圆形物体轮廓描圆、随手描出一个圆……
师：随手描的圆不够美观，利用圆形物体描圆，方便但圆的大小固定。大家想不想认识一种更科学更方便的画圆方法？
2、圆规画圆。
教师介绍圆规。
教师结合课件教学用圆规画圆的步骤：先把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离，再把有针尖的一脚固定在一点上，把有铅笔的一脚旋转一周。
让学生尝试画一个半径是2厘米的圆。
在小组内交流各自画圆的情况，并从出现的问题中反思画圆应注意什么。
然后再让学生画一个直径3厘米的圆。
教师：这两个圆哪个大？为什么？
通过启发，引导学生理解由什么来决定圆的大小。
（二）教学例2。
1、认识圆的各部分名称。
（1）剪一剪，折一折，认识圆心。
让学生用剪刀剪下自己所画的圆，并把剪好的圆形纸片，和老师这样对折、打开，再换个方向对折、再打开，反复折几次。
让学生说一说有什么发现。
通过交流后得出：有许多折痕都交于中间一点。
教师揭示：我们把圆中心的一点叫做圆心，用字母“O”表示。
（2）认识直径。
如果我们把其中的一条折痕用笔描出来，就可以得到一条线段，这样的线段就是圆的“直径”，用字母d表示。
让学生在自己的圆形纸上画出一条直径，并用字母表示出来。
师：在画直径时应该注意什么，谁能说说什么样的线段叫做圆的直径？
引导学生概括“直径”的概念：即通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
（3）认识半径。
教师进一点指出：我们把连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。让学生在自己的圆形纸上画出一条半径，并用字母表示出来。
2、认识圆的特征。
师：刚才我们认识了圆心、半径和直径，现在就可以进一步研究圆的特征了。你能说说直径、半径有什么特征吗？
指名学生回答。
师：那直径和半径有什么关系呢？
生：直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
教师提示学生：比较直径半径的倍数关系一定是在同圆或等圆内。
3、即时练习。
指导学生完成课本第58页“做一做”。
三、巩固练习
指导学生完成课本练习十四的第3、4题。
四、课堂小结
这节课我们学习了什么？通过这节课的学习你有什么收获？
五、布置作业
1、练习十四第1、2题。
【反思】原以为这样严谨、科学的教学设计将有助于学生轻松地掌握本节课的知识。当肖老师带着精心制作的课件和教、学具，兴冲冲地走进课堂，却发现学生学习积极性严重缺乏，学习被动，思维僵硬。实际教学时处处卡壳，还拖了十轻多分钟的堂。为什么会这样呢？我们在咀嚼失败滋味的同时也陷入了深深的思考。
●咀嚼失败
1.教学中老师启发引导过多，学生自主探究不足。
新课程标准指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”在本次教学过程中，教学组织形式还是比较保守，教师引导地过于细致，不相信学生，不敢放手，使得学生的思考、操作、合作、交流其实都是随着老师的思路在转。我想如果能够采用小组合作学习的形式，放手让学生自己去研究圆的各部分特征，在全班交流的时候，教师再对学生的发现进行有意识地梳理和提升，从而让学生能够形成自已的知识体系，可能这样的教学效果会更好一些。这样的学习过程才是充分提升学生自主探索、自主学习能力的过程，这样的学习才能真正让学生成为了学习的主人。
2.对学生原有的认识经验估计不足，未能找准知识的“最近发展区”。
《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。”圆在生活中是非常普遍的，学生对圆也有了一定的认识，同时也有一部分同学掌握了用圆规画圆的方法。如果不上这堂课，多数学生也能知道什么样的图形是圆，圆各部分的名称是什么、怎样画圆等基本知识。那么本课的教学目的就应着眼于将学生原有的、粗浅的对于圆的认识进行组织和提升，拔高认识的层次，使之逐步形成完整的知识体系，而非单纯地了解概念和解读概念。在这一点上，我们把握得并不到位，将大量的时间和精力花在了概念的认识上，低估了学生的认知水平和学习能力。例如，在教学半径和直径的关系时，其实以学生的现在认识水平以及前面已经经历过的对半径和直径的特征的验证，他们完全可以推断并总结出这两者之间的关系，这时再一味地让他们想办法验证，就有些多此一举了，不但浪费时间而且还可能让学生觉得无趣乏味。
通过以上反思，我们取得了以下认识：一方面要注意调动学生的多种感官参与学习，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程，让“发现与分享”成为主旋律。而知识、能力、方法、情感等恰恰在创造与分享的过程得以自然建构与生成。通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，要在学生的“最近发展区”组织学生进行探究学习,这样既降低了学生接受知识的难度，又能联系学生已有的知识经验，通过丰富的学习活动帮助学生直观认识圆。
基于这样的认识，我们对本课的教学思路进行了大刀阔斧地调整，并在其中充实了大量的细节。我们将通过三个有机的环节组织教学：合作中探究圆的特征——介绍中体验圆的数学文化——实践中感受圆的数学价值，大胆放手，把一切探究的机会交给学生。让学生不仅学得轻松活泼，而且能更能学得更加主动。
【案例二：第二次教学】
一、导入新课。
教师课件展示生活中圆形的图案，让学生欣赏美丽的图案。
师：你发现了什么？（这些都是圆形）
师：你能说说在生活中那些物体也是圆形的吗？
二、自主探索，认识圆。
1、画圆和剪圆。
师：看来同学们都善于观察，真不错。同学们，你能利用桌子上的工具画一个圆吗？请你在纸上画出一个圆并把它剪下来。看谁完成得又快又好。
伴随着音乐，学生利用工具画圆，再剪下来。
把你画圆的工具和剪好的圆展示给大家看。师：我知道了，大部分同学是用圆形物体来画的，也有少数同学是用圆规画。同学们，你们刚才剪圆时感觉怎么样？为什么不好剪呢？它和我们以前学习的这些平面图形有什么不一样呢？课件出示：长方形、正方形、三角形等。发现：这些是直线图形，圆是曲线图形
2、认识圆心、直径、和半径。
①认识圆心。
师：拿起圆形纸片，像老师这样沿着不同的方向反复地对折。（学生操作）你发现了什么？
生：我发现折痕交于一点。
师；把这个交点点出来，这一点叫做圆心。板书：圆心。用字母O来表示。
②认识直径
师：把其中的一条折痕描出来，得到一条线段，这条线段就是圆的直径。请你仔细观察：直径是一条怎样的线段？通过哪里，两个端点在哪里？
生：通过圆心，两个端点在圆上。师板书直径的概念。生齐读一遍。
师：直径用字母d表示。
③认识半径
师：其实圆是有无数个点组成的，请你在圆上任意点一点，把它和圆心连起来，得到另外一条线段，这条线段叫做半径。板书：半径。
观察：半径是条怎样的线段？
出示半径的概念。用字母r表示。
④练习。（课件出示）
图中哪些是半径？哪些是直径？哪些既不是直径，也不是半径不是，为什么？
3、探索直径、半径的特征及其关系。
师：通过刚才的学习，我们认识了圆心、半径和直径，同学们，想继续探索圆的奥秘吗？（想）请看大屏幕，请一生把要求读一读。
一起动手：
1.请同学们先在圆纸片上画出半径和直径，10秒钟，看能画出多少条？
2.然后用直尺量一量画出的半径有多少厘米？直径有多少厘米？你发现了什么？
3.请和小组成员讨论：在同一个圆里，半径有什么特征？直径有什么特征？它们之间有什么关系？
伴随音乐，学生自主探究。
4、汇报交流：你发现了什么？
结合学生的回答，一次板书：在同一个圆里，有无数条直径，无数条半径，所有的直径长度都相等，所有的半径长度都相等，用字母表示半径和直径的关系：d=2r,r=d.
注意：前提是在同一个圆内。研究数学要讲究严密性
师：从这里可以看出，已知圆的半径可以求直径，已知直径可以求半径，我们来试一试。
②、练习(课件出示)口答
r（米）
2

1.4

5
d（米）

0.8

6

4、学习画圆。
师：刚才大家利用圆形物体画圆，但是用圆形物体画圆很不方便，只能画固定大小的圆。你们知道画圆要用什么工具吗？
生：圆规。
①、认识圆规。
②、随意画一个圆，（固定有针尖的一直脚，捏住圆规旋转一周）你发现了什么？引导学生发现：针尖所在的位置就是圆心，两脚张开的距离就是圆的半径。
师：要大家画出的圆一样大，应该怎么办？（引导发现：半径决定圆的大小）
③、画半径2厘米的圆。画好的同学指导还没有完成的同学，看看小组同学画得圆是否一样大？
④、介绍画圆的经验。怎样画？提醒同学们要注意什么？
课件出示：画圆的步骤。
⑤、课件出示：学校田径运动会即将举行，你有办法帮学校在操场上画出一个半径为10米的圆吗？学生交流讨论，然后课件演示，并找一找和用圆规画圆的共同点。
三、解决问题。
师：下面请同学们利用刚才所学的知识完成几道练习，好吗？
1 、判断：
（1）在同一个圆内只可以画100条直径。 ( )
（2）所有的圆的直径都相等。 ( )
（3）两端都在圆上的线段叫做直径。 ( )
（4）等圆的半径都相等。 ( )
师：看来同学们都已经掌握了今天所学的知识。老师请你们看一段动画片。（播放动物自行车比赛的动画片）同学们，动画看到这里，比赛还没有结束呢，请你猜一猜，最后的结果谁会得第一呢。
学生猜测：小狗能得第一。
师：为什么小狗和小白兔的车轮都是圆的，小狗却得了第一呢？请同学们利用这节课所学的知识来解决这个问题吧。先和同桌说说你的想法。
学生思考，并小组内交流。指名学生说说自己的想法。
四、全课总结。
师：通过这节课的学习，你对圆有了哪些认识？
师：有人说,，因为有了圆，我们的世界变得更加美丽而神奇，同学们，在我们生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。
【反思】在本次教学实践中，我们对画圆和探索圆直径、半径的特征两部分的教学进行了重组。在画圆的教学这一环节，我们认识到其实有相当一部分同学已经掌握了用圆规画圆的方法，因此我们先让学生自己尝试画圆，画完之后让学生说说自己画圆的步骤，然后其他同学补充画圆时要注意的一些问题。通过这样的教学，学生非常轻松地就掌握了画圆的方法，并且所用的教学时间也不长，为下面的教学节省了时间。在教学圆直径、半径的特征这部分内容时，我们先直接给学生揭示直径、半径的概念，然后放手让学生在小组内合作，通过画一画、量一量、议一议、辩一辩的活动，让学生自己探索它们的特征和相互关系。取得了不错的教学效果。
●分享成功
在本次教学中，学生思维出乎意料地活跃，我们惊喜地发现只是一种教学方式的转变，学生就学得轻松而自如。在自主探究“圆的特征”的过程中，同学们充分发挥了各自的创造性，每一位学生都是发现者和探究者，这也极大地满足学生的自豪感，对于所研究的半径、直径、圆心的概念及特征都“知其然而知其所以然”。
●品味遗憾
当然我们在本次教学中也存在着诸多的遗憾。一、教师在教学时更多的是关注学生知识、技能的理解和掌握，而缺乏对学生情感体验的关注，与学生的情感交流不足。二、教学情境创设不够生动，吸引力不够。只有对学习有了兴趣，学生才能自主地、自觉地去观察、研究和探索。
带着这些思考，我们对情景导入进行了修改，并在教学中穿插了数学文化的渗透，还注意了教师在教学中对于学生的情感交流和语言鼓励。
修改片段一：情景导入，激发兴趣。
师：同学们，今天老师先请你们看一段动画片。（播放动物自行车比赛的动画片）
师：同学们，动画看到这里，比赛还没有结束呢，请你猜一猜，最后谁心得第一呢？
学生猜测结果并说明理由。
猜测一：小狗得第一名。因为他的车轮是圆的。猜测二：小白兔得第一，因为他的车轮也是圆的。
师：小狗和小白兔的车轮都是圆的，到底谁能得第一呢？，相信同学们通过今这节课的学习就可以找到答案并且能够明白其中的道理。这节课我们就来认识圆。板书课题：认识圆。
……
师：看来同学们都已经掌握了今天所学的知识，现在，就让我们一块回到自行车比赛现场（播放自行车比赛结果）同学们，到底谁得了第一呢？
生：小狗
师：为什么小狗和小白兔的车轮都是圆的，小狗却得了第一呢？请同学们利用这节课所学的知识来解决这个问题吧。先和同桌说说你的想法。
学生思考，并小组内交流。指名学生说说自己的想法。
生：因为小狗的车轴装在了圆心上，而小白兔的车轴没有装在圆心上。
师：对，我们都知道车轮的车轴都是装在圆心上的，可车轴为什么要装在圆心上呢？
生：因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，车轴装在圆心上车子就不会上下颠簸。
师：呀，你真棒！竟然能用今天我们所学的知识来解释生活中的现象。
【反思】世界上并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。我要说：数学真的不枯燥，只不过你没有发现它的真谛，没有驾驭它。当今社会是学习社会，对教师而言，我们的任务是要结合所教学生的实际情况，为学生提供思考的依据，尽可能地在问题、情境中鼓励学生思考、探索、猜想，从而培养数学能力，使学生对数学产生浓厚的学习兴趣。在对数学知识进行情境创设去激发人的求知欲和兴趣时，真正吸引人的原因是人们认识到它的实用性、趣味性，对解决我们周围的问题有重大的价值。
在本节课的情景导入中，我们创设了一个孩子喜闻乐见的教学情景——小动物自行车比赛，通过这个教学情景将学生的注意力紧紧地吸引到我们的教学活动中。同时，通过学生猜测谁能夺得冠军，为整节课的教学设下悬念，让学生不由自主地着迷于知识的探索中。在新课结束之后教师再引导学生回到自行车比赛的情境中，运用本节课所学的知识对新授前的猜测进行重新思考，从而达到对所学知识的综合应用。整节课从自行车比赛情境开始，至自行车比赛情境结束，前后呼应。
修改片段二：
师：其实，早在两千多年前，我国古代就有对圆的精确记载，墨子是我国伟大的思想家，在他的一部着作中有这样的描述：“圆，一中同长也”，你们知道是什么意思吗？ 猜猜看。
生：在一个圆中，从圆心到圆上的长度都是一样的。
师：你解释的真棒。这个发现比西方整整早了1000多年，听了这个消息同学们感觉怎么样？
生：很自豪。
师：古人很聪明，我想同学们肯定更聪明。对不对？还有一句俗语：不以规矩，不成方圆。你知道这句话的意思吗？
师：它的本意就是没有圆规和曲尺就没办法画出圆和方这两种图案。寓意是做事情要遵循一定的纪律、标准、规章制度。从这里我们可以看出，我们的祖先给我们发明了专门画圆的工具，那就是圆规。
【反思】《数学课程标准》明确指出“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。” 小学是儿童发展的重要时期，是学生个性和科学的世界观、人生观形成的关键期。因此，我们在教学中应注意创设数学文化情境和实践活动，让学生在和谐的师生互动、生生互动中得到数学文化的教育和熏陶。
这里教师引用“圆，一周同长也。”和“不以规矩，不成方圆。”这两句古语，既实现了从用实物画圆到教学圆规画圆的自然过渡，又不着痕迹地渗透了数学文化的教育，让学生感受我国博大精深的数学文化，从而增强学生的民族自豪感。
●深刻反思
一、融入文化内涵的现实内容。
     《数学课程标准》指出：数学是人类的一种文化。具体到本课设计中，两个方面值得注意：首先圆是一种社会文化。“生活中，你画过圆或见过别人画圆吗？”等均对此进行了积极的尝试；其次圆是一种历史文化。在学生发现圆的特征后，教师适时地引入古人相关的研究成果，从而把圆的知识放置在了中国传统文明的博大范畴中，圆的文化内涵得到又一次扩张。
二、彰显主体探究的知识建构。
在教学中“画圆教学”是在学生选择工具画圆、画法展示评价、统一工具画圆的过程中生成的； “圆的特征”则是在学生动手操作、自主探索和讨论交流的过程中生成的。也就是说，本课所有知识点的意义建构，都是在自主性、人文化的探究过程中动态生成的，充分体现了学生在学习中的主体地位。
三、蕴涵生命关爱的评价激励。
       积极的课堂评价作为维系师生情感互动、推进探究发展进程的有效中介，是一节课成功的重要因素。教学中，当学生“画一个半径10米的圆”遭受挫折时，“你的勇气令人钦佩”的评价给予了学生莫大的鼓舞；当学生用准确的语言阐述“车轴为什么要装在圆心上”时，教师“呀，你真棒！竟然能用今天我们所学的知识来解释生活中的现象。”的评价让学生获得了积极的情感激励；当学生探究发现圆内的丰富特征时，教师“时间虽短，但我们的发现却如此丰富！”的评价，则更多的让学生品味到自主探究所带来的成功体验……这样的评价，正是体现了我们教师对于学生情感态度的高度关注！
经过这次研课，我们学到了很多，不管是在教学过程的设计上还是在讲课的技巧上。看着一节课，从模糊到清晰，从粗糙到精细，从平庸到精彩，我们更加认识到在教学中勤于钻研、善于思考、乐于反思对于一名教师的长成是多么的重要。在以后的教学之路上，我们还要不断努力，不断探索，不断创新，不断提高，做一只勇敢而美丽的蝴蝶，在教学之路上翩跹起舞。