-状态转移矩阵计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,Ch.3,线性系统的时域分析,目录(1/1),目 录,概述,3.1,线性定常连续系统状态方程的解,3.2,状态转移矩阵及其计算,3.3,线性时变连续系统状态方程的解,3.4,线性定常连续系统的离散化,3.5,线性定常离散系统状态方程的解,3.6 Matlab,问题,本章小结,状态转移矩阵计算,(1/1),3.2,状态转移矩阵计算,在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵,(,t,),的计算。,对于,线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数,e,At,的计算。,上一节已经介绍了基于,拉氏反变换,技术的矩阵指数函数,e,At,的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他,3,种常用方法。,级数求和法,约旦规范形法,化,e,At,为,A,的有限多项式矩阵函数法,重点推荐,级数求和法,(1/3),3.2.1,级数求和法,由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:,矩阵指数函数,e,At,的计算可由上述定义式直接计算。,由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算,e,At,时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。,类似于标量指数函数,e,at,对所有有限的常数矩阵,A,和有限的时间,t,来说,矩阵指数函数,e,At,这个无穷级数表示收敛。,级数求和法(2/3),显然,用此方法计算,e,At,一般不能写成封闭的、简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果。,其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。,如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。,因此,该方法的缺点:,计算量大,精度低,非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式。,级数求和法(3/3)例,3-4,例,3-4,用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数:,解,按矩阵指数函数的展开式,计算如下,:,约旦规范形法,(1/8),3.2.2,约旦规范形法,上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数,。,由于,任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵,因此,可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵,再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵矩阵指数函数。,下面讨论之。,约旦规范形法(2/8),下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质:,对矩阵,A,经变换矩阵,P,作线性变换后,有,则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系,约旦规范形法(3/8),根据上述性质,对矩阵,A,可通过,线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵,A,的矩阵指数函数。,该结论可简单证明如下:,约旦规范形法(4/8)例,3-5,例,3,-5,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解,1.先求,A,的特征值。,由特征方程可求得特征值为,1,=-1,2,=-2,3,=-3,2.求特征值所对应的特征向量。,由前述的方法可求得特征值,1,2,和,3,所对应的特征向量分别为,p,1,=1 0 1,p,2,=1 2 4,p,3,=1 6 9,约旦规范形法例,3-5,故将,A,变换成对角线矩阵的变换矩阵,P,及其逆阵,P,-1,为,3.,由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,约旦规范形法例,3-6,例,3-6,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,约旦规范形法(7/8)例,3-6,解,1.先求,A,的特征值。,由特征方程可求得特征值为,1,=2,2,=,3,=-1,2.,由于矩阵,A,为友矩阵,故将,A,变换成约旦矩阵的变换矩阵,P,和其逆阵,P,-1,分别为,3.,由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,约旦规范形法(8/8)-例,3-6,塞尔维斯特内插法(1/1),3.2.3,塞尔维斯特内插法,在讨论塞尔维斯特,(Sylvester),内插法计算矩阵指数函数,e,At,时,需要用到关于矩阵特征多项式的凯莱,-,哈密顿,(,Cayley-Hamilton,),定理以及最小多项式的概念。,因此,首先给出凯莱,-,哈密顿定理及最小多项式的概念,再讨论塞尔维斯特内插法。,下面依次介绍:,凯莱-哈密顿定理,最小多项式,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数,凯莱-哈密顿定理(1/,4),1.,凯莱-哈密顿定理,凯莱,-,哈密顿定理是矩阵方程分析和求解中非常重要的定理,其表述和证明如下。,定理,3-1(,凯莱-哈密顿定理,),设,n,n,矩阵,A,的特征多项式为,f,(,)=|,I-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,则矩阵,A,必使由上述特征多项式决定的矩阵多项式函数,f,(,A,)=,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A+,a,n,I,=0,上述特征多项式亦称为矩阵,A,的零化特征多项式。,凯莱-哈密顿定理(,2/4),证明,因为,I,=(,I,-,A,),-1,(,I,-,A,)=adj(,I,-,A,)/|,I,-,A,|(,I,-,A,),故,|,I,-,A,|,I,=adj(,I,-,A,)(,I,-,A,),由伴随矩阵的定义可知,伴随矩阵,adj(,I-A),可表示为如下多项式矩阵函数:,adj(,I,-,A,)=,n,-1,I+,n,-2,B,2,+B,n,-1,+B,n,其中矩阵,B,2,B,3,B,n,为,n,n,维的常数矩阵。,凯莱-哈密顿定理(,3/4),因此由前面两式,有,(,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,),I,=(,n,-1,I+,n,-2,B,2,+B,n,-1,+B,n,),(,I,-,A,),整理得,(,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,),I,=,n,I,+(,B,2,-,A,),n,-1,+,(,B,n,-,B,n,-1,A,),-B,n,A,凯莱-哈密顿定理(,4/4),上式中,令等号两边,的同幂次项的系数相等,则有,a,1,I,-,B,2,+,A,=0,a,2,I,-,B,3,+,A,B,2,=0,a,n,-1,I,-,B,n,+,A,B,n,-1,=0,a,n,I,+,A,B,n,=0,因此,将上述各等式从上至下依次右乘以,A,n,-1,A,I,然后将各等式相加,即得,A,n,+,a,1,A,n,-1,+,a,n,-1,A+,a,n,I,=0,故矩阵,A,满足其本身的零化特征多项式。,最小多项式,(1/,3),2.,最小多项式,根据,凯莱,-,哈密尔顿定理,任一,n,n,维矩阵,A,满足其自身的特征方程,即特征多项式为,A,的一个零化多项式。,然而特征多项式不一定是,A,的最小阶次的零化多项式。,将矩阵,A,满足的最小阶次的首一零化多项式称为最小多项式,也就是说,定义,n,n,维矩阵,A,的最小多项式为满足,(,A,)=,A,m,+,1,A,m,-1,+,m,-1,A,+,m,I,=0,m,n,的阶次最低的首一多项式,(,)=,m,+,1,m,-1,+,m,-1,+,m,最小多项式,(,2/3),最小多项式在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。,定理,3-2,给出了特征多项式与最小多项式的关系。,定理,3-2,设首一多项式,d,(,),是,I,-,A,的伴随矩阵,adj(,I,-,A,),的所有元素的最高公约式,则最小多项式为,最小多项式,(,3/3),证明,由假设知,矩阵,adj(,I,-,A,),的最高公约式为,d,(,),故,adj(,I,-,A,)=,d,(,),B,(,),式中,B,(,),的,n,2,个元素,(,为,的函数,),的最高公约式为,1,。,由于,(,I,-,A,)adj(,I,-,A,)=|,I,-,A,|,I,可得,d,(,)(,I,-,A,),B,(,),=|,I,-,A,|,I,由上式可知,特征多项式,|,I,-,A,|,可被整除,d,(,),。,因此设,d,(,),整除,|,I,-,A,|,得到的因式记为,(,),故有,|,I,-,A,|=,d,(,),(,),最小多项式,(,4/3),由于首一多项式,d,(,),的最高阶次的系数为,1,所以,(,),的最高阶次的系数也应为,1,。,因此,综合上两式,可得,(,I,-,A,),B,(,),=,(,),I,因而,(,A,)=0,即,(,),亦为,A,的零化多项式。,设,(,),为,A,的最小多项式,因此零化多项式,(,),可写为,(,)=,g,(,),(,),+,e,(,),其中,g,(,),和,e,(,),分别是多项式,(,),除以,(,),的商和余项,且,e,(,),的阶次低于,(,),。,最小多项式,(,5/3),由于,(,A,)=0,和,(,A,)=0,所以必然有,e,(,A,)=0,。,考虑到,(,),为矩阵,A,的最小多项式,所以不存在比,(,),阶次还低的,A,的零化多项式,故,e,(,),必为零,即有,(,)=,g,(,),(,),又因为,(,A,)=0,所以,(,),可写为,(,),I,=(,I,-,A,),H,(,),式中,H,(,),为,(,),的一个因子矩阵,故,(,),I,=,g,(,),(,),I,=,g,(,)(,I,-,A,),H,(,),将上式与,(,I,-,A,),B,(,),=,(,),I,比较,有,B,(,),=,g,(,),H,(,),最小多项式,(,6/3),又因为,B,(,),的,n,2,个元素的最高公约式为,1,因此,g,(,)=1,于是,(,)=,(,),因此,由前面证明的,|,I,-,A,|=,d,(,),(,),而证明了最小多项式,(,),为,最小多项式,(,7/3),根据上述定理,3-2,n,n,维矩阵,A,的最小多项式可按以下步骤求出。,1),根据伴随矩阵,adj(,I,-,A,),写出作为,的因式分解多项式的,adj(,I,-,A,),的各元素,;,2),确定作为伴随矩阵,adj(,I,-,A,),各元素的最高公约式,d,(,),。,选取,d,(,),的最高阶次系数为,1,。,如果不存在公约式,则,d,(,)=1;,3),最小多项式,(,),可由,|,I,-,A,|,除以,d,(,),得到。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(1/,4),3.,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数,基于最小多项式,(,或特征多项式,),塞尔维斯特内插法可以非常简洁、快速地计算出矩阵指数函数,其计算思想与过程可描述如下。,若,(,)=,m,+,1,m,-1,+,m,-1,+,m,为矩阵,A,的最小多项式,则由,(,A,)=0,有,A,m,=-,1,A,m,-1,-,m,-1,A-,m,I,即,A,m,可用有限项,A,m,-1,A,I,的线性组合来表示。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,2/4),将上式两边乘以矩阵,A,则有,即,A,m+,1,可用有限项,A,m,-1,A,I,的线性组合来表示。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,3/4),依次类推,则可知,A,i,(,i,m,),可用有限项,A,m,-1,A,I,的线性组合来表示。,因此,我们有,其中,i,(,t,)(,i,=0,1,m,-1),为待定的关于时间,t,的函数。,即,矩阵指数函数,e,At,亦可以用有限项,A,m,-1,A,I,的线性函数组合表示,。,塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(,4/4),利用上式去计算矩阵指数函数,e,At,的,关键,是如何,计算待定函数,i,(,t,),。,下面分,A,的特征值互异,A,有重特征值,两种情况来讨论如何计算,i,(,t,),以及,e,At,。,A,的特征值互异,(1/4),(1),A,的特征值互异,设矩阵,A,的,n,个互异特征值为,1,2,n,则矩阵,A,的最小多项式,(,),等于特征多项式,f,(,)=|,I,-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,。,因系统的所有特征值,i,使特征多项式,f,(,i,)=0,故与前面证明过程类似,我们亦有,其中待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,n,-1),与矩阵指数函数,e,At,的表达式中的,i,(,t,),一致。,A,的特征值互异,(2/4),因此,可得如下待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,n,-1),的线性方程组:,求解上述方程得函数,i,(,t,),后,由式(,3-49),可计算得矩阵指数函数,e,At,。,A,的特征值互异,(3/4)-,例,3-7,例,3-7,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解,由于矩阵,A,的3个特征值互异,并分别为-1,-2,和-3,因此解方程组(,3-52),可得,A,的特征值互异,(4/4),则系统的状态转移矩阵为,A,有重特征值,(1/4),(2),A,有重特征值,由于矩阵,A,与它的约旦矩阵,具有相同的最小多项式,(,),因此,由前面的推导过程可知,约旦矩阵,也满足,设,A,与,的特征值,i,的代数重数为,m,i,则由上式很容易证明,i,(,t,),满足,求解上述方程,则可求得待定函数,i,(,t,)。,A,有重特征值,(2/4),为清楚说明问题,设,A,和,有如下6个特征值:,1,1,1,2,2,3,。,则相应的矩阵指数函数计算式(,3-49),中的待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,5),的计算式为,A,有重特征值,(3/4),例,3-8,值得指出的是,上述塞尔维斯特内插法,不仅对矩阵,A,的最小多项式成立,而且对所有矩阵,A,的零化多项式也成立,。,因此,在难以求解最小多项式时,上述方法中的最小多项式,可用矩阵,A,的特征多项式代替,所得结果一致,仅计算量稍大。,例,3-8,试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,A,有重特征值,(4/4),例,3-8,解,解矩阵,A,的特征方程,得特征值为1,1,和2。,由于特征值,2,为二重特征值,下面按基于,最小多项式和,特征多项式,两种多项式用塞尔维斯特插值法计算矩阵指数函数。,A,有重特征值,(5/4),例,3-8,(,1,),基于最小多项式计算。,先计算伴随矩阵,因此,伴随矩阵,adj(,I,-,A,),各元素的最高公约式为,(,-2,),故最小多项式,(,),为,A,有重特征值,(6/4),例,3-8,由于最小多项式的阶次为,2,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为,因此,待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1),计算如下,则系统的矩阵指数函数为,A,有重特征值,(7/4),例,3-8,(,2,),基于特征多项式计算。,由于特征多项式的阶次为,3,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为,因此,待定函数,i,(,t,)(,i,=0,1,2),计算如下,A,有重特征值,(8/4),例,3-8,则系统的矩阵指数函数为,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,