椭圆周长、牛顿迭代.doc

实验一
一、 实验目的与要求
用二分法和牛顿迭代法（包括弦截法）编程求方程的实根，要求误差不超过。输出迭代次数，初始值和根的近似值；构造不同的迭代函数，用迭代法求解，并进行比较。
二、 实验方案
编写M文件绘制该函数图形，源程序如下：
function y=EX0111
x=-1:0.1:2;
y=sin(x)-(x.^2)/2;
plot(x,y,'r')
hold on
plot(x,zeros(size(x)))
hold off
grid
运行后可以看出，函数的根在区间[1，1.5]。所以，分析题意，编写二分法源程序如下：
function y=EX0110
syms x y;
y=sin(x)-(x.^2)/2;
a=1;
b=1.5;
delta=0.0001;
ya=subs(y,a);
yb=subs(y,b);
N=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));
for k=1:N
dx=yb*(b-a)/(yb-ya+eps);
c=b-dx;
ab=b-a;
yc=subs(y,c);
if yc==0,break;
elseif ya*yc<0
b=c;
yb=yc;
else
a=c;
ya=yc;
end
dd=min(abs(ab),abs(yc));
if dd<delta,break,end
end
dd
k
c=b-dx

运用牛顿迭代法编程，源程序如下：
function y=fun(x)
y=sin(x)-(x.^2)/2;
和该函数导数：
function y=dfun(x)
y=cos(x)-x;
以及牛顿迭代法：
function [xk,k]=newtoneq(x0,n,derta)
k=1;
xk(1)=x0;
t=x0-fun(x0)./dfun(x0);
while abs(t-x0)>=derta
x0=t;
k=k+1;
xk(k)=t;
t=x0-fun(x0)./dfun(x0);
if (k-1)>n error('n is full'),end
end

构造新的迭代函数为，编辑源程序如下：
function y=iter()
syms x y;
y=sqrt(2*sin(x));
x0=1;
max=20;
derta=0.0001;
t=[x0];
x=subs(y,x0);
k=0;
while abs(x-x0)>=derta
t=[t,x];
x0=x;
x=subs(y,x0);
k=k+1;
if k>max
disp('迭代次数超过最大次数。 ')
break
end
end
t

三、 实验结果和数据处理
运行绘制函数图形源文件得如下图像，从图像中可看出，该函数的根所在的区间为[1,1.5]。

图1

运行运用二分法编程的源程序得如下数据：

图2
运行运用牛顿迭代法编程的源程序，在命令框中输入如下命令：
[xk,k]=newtoneq(1,20,0.0001)
运行得出以下数据：

图3

运行新构造的迭代函数源程序求解：

图4

实验二
一、实验目的与要求
已知椭圆的周长可以表示成（），取a=1。针对从0.1到0.9（步长h=0.1）分别求出周长s。（用Romberg积分方法）
二、实验方案
编辑实现Romberg积分方法的源程序，得如下M文件：
function [s,n,t]=rombint(fun,a,b,tol)
format long
s=10000;
s0=0;
k=2;
t(1,1)=(b-a)*(fun(a)+fun(b))/2;
while (abs(s-s0)>tol)
h=(b-a)/2^(k-1);
w=0;
if(h~=0)
for i=1:(2^(k-1)-1)
w=w+fun(a+i*h);
end
t(k,1)=h*(fun(a)/2+w+fun(b)/2);
for l=2:k
for i=1;(k-l+1)
t(i,l)=(4^(l-1)*t(i+1,l-1)-t(i,l-1))/(4^(l-1)-1);
end
end
s=t(1,k);
s0=t(1,k-1);
k=k+1;
n=k-1;
else s=s0
n=-k;
end
end

并在运行时，依次在命令框中输入如下命令：
fun=inline('sqrt(1+^2*cos(t).^2)','t');
s=rombint(fun,0,2*pi,1e-6)
其中，依次取值为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9进行运算。
三、实验结果和数据处理
运算结果如下：