【创新方案】2013年高考数学一轮复习-第四篇-三角函数、解三角形-第2讲-同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式【2013年高考会这样考】1考查同角三角函数的基本关系式2考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用【复习指导】本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .2诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.诱导公式可概括为k的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化双基自测1(人教A版教材习题改编)已知sin()，则cos 的值为()A B.C. D解析sin()sin ，sin .cos .答案D2(2012杭州调研)点A(sin 2 011，cos 2 011)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析2 0113605(18031)，sin 2 011sin3605(18031)sin 310，cos 2 011cos3605(18031)cos 310，点A位于第三象限答案C3已知cos ，(0，)，则tan 的值等于()A. B. C D解析(0，)，sin ，tan .答案B4cossin的值是()A. B C0 D.解析coscoscoscos，sinsinsinsin.cossin.答案A5已知是第二象限角，tan ，则cos _.解析由题意知cos 0，又sin2cos21，tan .cos .答案考向一利用诱导公式化简、求值【例1】已知f()，求f.审题视点 先化简f()，再代入求解解f()cos ，fcos coscos . (1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了【训练1】 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_解析原式tan ，根据三角函数的定义，得tan .答案考向二同角三角函数关系的应用【例2】(2011长沙调研)已知tan 2.求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.审题视点 (1)同除cos ；(2)利用1sin2cos2，把整式变为分式，再同除cos2.解(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21. (1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos )212sin cos ；(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子【训练2】 已知5.则sin2sin cos _.解析依题意得：5，tan 2.sin2sin cos .答案考向三三角形中的诱导公式【例3】在ABC中，sin Acos A，cos Acos(B)，求ABC的三个内角审题视点 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin Acos A知先求角A，进而求其他角解由已知可得 sin，因为0A，所以A.由已知可得cos Acos B，把A代入可得cos B，又0B，从而B，所以C. 在ABC中常用到以下结论：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sincos，cossin.【训练3】 若将例3的已知条件“sin Acos A”改为“sin(2A)sin(B)”其余条件不变，求ABC的三个内角解由条件得：sin Asin B，即sin Asin B，cos Acos B，平方相加得：sin2 A3cos2 A22cos2 A1，cos A.若cos A，则cos B，A，B均为钝角不可能故cos A，cos B，故A，B，C.阅卷报告3忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】若sin ，cos 是关于x的方程5x2xa0(a是常数)的两根，(0，)，求cos 2的值错因忽视隐含条件，产生了增解.实录由题意知，sin cos ，2，sin 2，(0，)，2(0,2)，cos 2.正解由题意知，sin cos .(sin cos )2.sin 2.即2sin cos 0，则sin 与cos 异号，又sin cos 0，2.故cos 2.【试一试】 已知sin cos ，(0，)，求tan .尝试解答sin cos ，(0，)(sin cos )212sin cos .sin cos .由根与系数的关系知sin ，cos 是方程x2x0的两根，x1，x2，又sin cos 0，sin 0，cos 0，sin ，cos .tan .