2010届高三数学练习(七)(答案).doc

2010届高三数学练习(七）
班级 姓名 学号
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1．若集合，满足，则实数a= 2 ．
s←2
i←1
While s≤400
i←i+2
s←s×i
End While
Print i
第4题
2．已知虚数z满足等式： ，则 1+2i ．
3．函数的最小正周期是 π ．
4. 某算法的伪代码如右：则输出的结果是 9 .
5.已知条件p:x≤1，条件q： ，则p是q的 充分不必要 条件.
6.已知直线与曲线相切，则的值为 _3__ .
7. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是　.
8. 已知实数满足则的取值范围是_____ ．
9.函数在区间上的最大值是 ．
10.已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为　 ．
11.已知数列中，，其通项公式=
.
12.已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是：
正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高
13. 若函数在定义域上为奇函数，则 k的值为 .
14 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是　　　.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；.
（Ⅱ）当时，若，函数的值域是，求实数的值。
15解：
（Ⅰ）当时， ,
当时，是增函数，
所以函数的单调递增区间为. ,
（Ⅱ）由得，
因为 ，所以当时，取最小值3，即
当时，取最大值4，即
将代入（1）式得. .
16．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：
（Ⅰ）MN//平面ABCD；
（Ⅱ）MN⊥平面B1BG．

16.证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE．
由N，E分别为CD1与CD的中点可得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
NE∥D1D且NE=D1D，
又AM∥D1D且AM=D1D
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形
所以MN∥AE，
又AE面ABCD, MN面ABCD,所以MN∥面ABCD
（２）由AG＝DE　，，DA＝AB
可得与全等
所以，
又，所以
所以，
又, 所以，
又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG

17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.
图1
图2
A
B
C
D
m

17.解：（Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.
所以 ，
得
依题意知：
得
所以，（）.
（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

.
因为,
所以，当时，凹槽的强度最大.
答: 当时，凹槽的强度最大.
18．（本小题满分16分）已知以点P为圆心的圆过点A（－1,0）和B（3,4）,线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D,且|CD|=,
(1) 求直线CD的方程;
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论.
18.解：（1）∵,AB的中点坐标为（1,2）
∴直线CD的方程为：即
（2）设圆心，则由P在CD上得-----------------①
又直径|CD|=，∴|PA|=
∴----------------------------------------------②
①代入②消去得，
解得或
当时，当时
∴圆心(-3,6)或（5,－2）
∴圆P的方程为：或，
（3）∵|AB|=，
∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为，
又圆心到直线AB的距离为，圆P的半径，且，
∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8.
19.（本小题满分16分）已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；
（3）若(2)中的的前n项和为，求证：
19.解：（1）为等差数列，∵，又，
∴ ，是方程
的两个根
又公差，∴，∴，
∴ ∴ ∴,
（2）由(1)知，,
∴
∴，， ,
∵是等差数列，∴，∴,
∴（舍去） ,
（3）由(2)得 ,
，时取等号 .
，时取等号15分
(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以 .
20.(本小题满分16分)已知函数图象上一点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数，）；
（Ⅲ）令，如果图象与轴交于,()，中点为，求证：在处的导数．
20.解：（Ⅰ），，．
∴，且．
解得．
（Ⅱ），令，
则，令，得（舍去）．
在内，当时，， ∴ 是增函数；
当时，， ∴ 是减函数
则方程在内有两个不等实根的充要条件是
即．
（Ⅲ），．
假设结论成立，则有
①－②，得．
∴．
由④得，
∴．即．
即．⑤
令，（)，
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴．
B.附加题部分（共40分 ）
21.［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做2小题，每小题10 分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.（选修４－１：几何证明选讲） 如图，的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
(1) 求证：；
（2）若的半径为，，求MN的长．
A．（1）证明：连接ON，因为PN切于N，所以，
所以，因为OB=ON，所以
因为于，所以
故，
所以.
（2）
因为，所以.
B.（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵 ,向量.
(Ⅰ)求的特征值、和特征向量、；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)计算的值.
B.解： (Ⅰ)矩阵的特征多项式为
得,　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当 ,当.　
(Ⅱ)由得.　　　
由(2)得:
,
C.（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.
（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦的长度.
C.解：（Ⅰ）曲线： （）表示直线,
曲线： ,即
所以 即 ,
（Ⅱ）圆心（3，0）到直线的距离 ，
所以弦长= .
D.（选修４－５：不等式选讲）设a、b、c均为实数，求证：++≥++.
D.证明： ∵a、b、c均为实数，
∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；
（＋）≥≥，当b=c时等号成立；
（＋）≥≥．
三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.
［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

22. （本小题满分10分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，⊥平面，，，.
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
22. 证明：(Ⅰ)以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
， ,
,,

所以 ⊥.
（Ⅱ）易证为面的法向量，
x
z
y
设面的法向量，

所以
所以面的法向量 ,

因为面和面所成的角为锐角，
所以二面角的余弦值为.

23. （本小题满分10分）已知F为抛物线C：y＝x2的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上的两点，且x1＜x2．
(1)若＝l(l∈R)，则l为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？
(2)若直线AB与抛物线C所围成的面积为，求线段AB的中点M的轨迹方程．
23．解 (1)由题知，抛物线C的焦点F(0，)，A(x1，x)，B(x2，x)，所以
＝(x1，x－)，＝(x2，x－)．
因为＝l，所以＝l共线，即x1(x－)－x2(x－)＝0，
即 (x2－x1)(x1x2＋)＝0．因为x1＜x2，所以x1x2＝－．
由题设条件x1＜x2知，直线AB的斜率k一定存在，且
k＝＝＝x1＋x2．
设直线AB的方程为y＝kx＋，则直线AB与抛物线C所围的面积
S＝(kx＋－x2)dx＝(－x3＋×x2+x)|
＝(－x＋×x＋x2)－(－x＋×x＋x1)
＝－(x－x)＋(x－x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)[－(x＋x2x1＋x)＋(x2＋x1)＋]
＝[－(x2＋x1)2＋x2x1＋(x2＋x1)＋]
＝[－k2－×＋·k＋]
＝(k2＋1)≥，
当且仅当k＝0，即x1＝－x2，即l＝－1时，Smin＝．
(2)由题知A(x1，x)，B(x2，x)，且x1＜x2，则直线AB的斜率
kAB＝＝＝x1＋x2．
设直线AB的方程为y－x＝k(x－x1)，即y＝(x1＋x2)x－x1x2，则直线AB与抛物线C所围的面积
S＝[(x1＋x2)x－x1 x2－x2]dx
＝(×x2－x1x2x－x3)|＝(x2－x1)3，
因为S＝，所以(x2－x1)3=，得x2－x1=2．
设M(x，y)，则 x＝＝x1＋1，
y＝＝＝x＋2x1＋2＝(x1＋1)2＋1，
所以 y＝x2＋1．
故点M的轨迹方程为y＝x2＋1．

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