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数学思想方法--奥林匹克数学的技巧
徐贻林
有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。

１．已知 x,y,z求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1．

２．将一根长为16米的铁丝做成一个长方体骨架，且骨架的表面积为10米2，若不计接头处的误差，求能做成的长方体的最大棱长．

３．已知a,b为两不相等的实数，且满足2a２=5-2a,2b2=5-3b,求的值．

４． 已知为正数且，求表达式的最小值．

５．一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋．

６．甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么甲方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数为多少？

７．在圆周上给定个点，从中任选个点染成黑色．试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有个给定的点．

８．设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，设任何3个及3个以上的同色的点不共线．求证存在一个三角形，使得
（1）它的3个顶点涂有相同颜色；
（2）这三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点．

９．已知实数列具有下列性质：存在自然数n，满足及；求证：存在自然数N，使当时，总有．
10．设为正数，它们的和等于1，试证必有下不等式成立：
．

11．求之值．

12．设是给定的实数，证明存在实数，使得．
这里的表示y的小数部分．

13．从数集开始，每一次从其中任选两个数，用和代替它们．能否通过有限多次代替得到数集？

14．设个整数具有性质：从其中任意去掉一个，剩下的个数可以分成个数相等的两组，其和相等．证明这2n+1个整数全相等．

16．证明任意3个实数不能同时满足下列三个不等式：．

17．已知二次三项式的所有系数都是正的且，求证：对于任何满足的正数组，都有．

18．设是1，2，…，7的一个排列，求证必为偶数．

19．在数轴上给定两点1和，在区间内任取个点，在此个点中，每相邻两点连一线段，可得条线段．证明在此n+1条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．

20．已知实数a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围．

21．设n∈N+，且n>1，求证：．

23．求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.

24． “河内塔问题”　　设有个银圈，大小不同，从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根金棒上，每次搬一个．第三根金棒作为银圈暂时摆放用．在搬动过程中，仍要保持大圈在下，小圈在上，问要搬动多少次，才能将所有银圈从一根棒搬到另一根，且搬完后银圈相对位置不变？

25．设表示不超过实数的最大整数，求的个位数．

26．用1，2，3，4四种数字可以构造多少个含有偶数个1的位数？

27．设求证：对一切，有．

28．设，求证：．

29．．

30．已知a,b均为正整数,且a>b,sinθ=(其中0<)．An=(a2+b2)n sin(nθ)
求证: 对一切正整数n,均为整数．
练习：
1．设a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1.求证：a+b>1.

２． 求和: ．
３．求的值．

4．平面上有100条直线，它们之间能否恰有1985个不同的交点?

5．实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5，设S＝x＋y，求＋的值．

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