闭折线号心研究的进展.doc

闭折线号心研究的进展
曾建国
（赣南师范学院数学与计算机科学学院 江西 赣州 341000）
1993年，杨之先生提出了“一般折线研究”这一初等几何研究新课题[1],1996年，中国“折线研究小组”成立。自课题提出至今，关于折线的“组合拓扑性质”与“度量性质”的研究取得了丰硕成果。十余年来的研究表明，“折线研究”是一个具有很强生命力、研究前景广阔的初等数学研究课题。
在闭折线的研究成果中，“度量性质”的研究成果占绝大多数，这包括闭折线研究专著3部[2-4]、发表论文已超过一百篇。2002年后，随着闭折线“号心”的概念的提出[5]，“号心”已成为闭折线研究的一大热点，至今已发表的关于号心研究的论文已超过70篇。下面就近几年来闭折线号心的研究的进展情况作一简要的介绍。
1.闭折线号心的研究
1.1闭折线的号心概念的建立
在人们对圆内接闭折线的重心、垂心、欧拉（Euler）圆心及圆外切闭折线的奈格尔（Nagel）点、斯俾克(Spieker)圆心等诸“心”性质进行广泛深入研究的基础上，熊曾润教授于2002年提出了圆内接闭折线的号心及圆外切闭折线的号心概念[2]，同年9月又将号心概念进一步推广至一般的闭折线[5]：
定义：设是闭折线所在平面内的定点，是任一给定的正整数，则满足等式的点称为闭折线（关于点）的号心。
在这一定义中，当定点是圆内接（圆外切）闭折线的外心（内心）时，则垂心（奈格尔点）、欧拉圆心（斯俾克圆心）、重心就依次是该闭折线的1号心、2号心、号心。由此可见，闭折线号心概念是上述诸“心”概念的统一推广。而对统一推广后的一般闭折线的号心性质的深入研究，其理论价值和学术意义不言而喻。
1.2闭折线号心性质的研究
自闭折线号心概念提出至今，国内作者已发表的有关闭折线号心研究的论文有60余篇[5-73]。《趣谈闭折线的号心》[3]一书对闭折线号心的性质进行了较系统的研究，本书汇集了闭折线号心研究已取得的大部分成果，包括定理、推论、命题共122个。其研究范围从该书目录标题可见一斑：
§1 从三角形的七个心谈起
§2 平面闭折线的k号心概念
§3  k号心与原点的距离公式
§4  k号心与顶点的距离公式
§5  k号心到特殊直线的距离
§6 与k号心相关的面积定理
§7 与k号心相关的平行线定理
§8 与k号心相关的共点线定理
§9 与k号心相关的多点共圆定理
§10 与k号心相关的多线切圆定理
§11 与k号心相关的不等式
§12 与k号心相关的轨迹定理（1）
§13 与k号心相关的轨迹定理（2）
§14 双圆闭折线k号心的几个性质
闭折线k号心研究的一个特点是：发现关于闭折线k号心的一个新定理，取其特例，往往就能得到一系列的新结论。这里以本书§7的一个平行线定理为例，说明闭折线k号心研究成果的这一特点：
定理 1设与是闭折线的一对互补顶点子集（即有∪），闭折线关于点的号心为，其顶点子集关于点的号心为，补集的重心为，则∥．
令闭折线内接于⊙或外切于⊙，且令为圆心或圆心，那么
（1）当1，1时，可得
推论1 圆内接闭折线的垂心与任一顶点的连线，平行于外心与其余个顶点的重心的连线．
推论2 圆外切闭折线的奈格尔点与任一顶点的连线，平行于内心与其余个顶点的重心的连线．
（2）当2，2时，可得
推论3 圆内接闭折线的欧拉圆心与任二顶点的重心的连线，平行于外心与其余个顶点的重心的连线．
推论4 圆外切闭折线的斯俾克圆心与任二顶点的重心的连线，平行于内心与其余个顶点的重心的连线．
（3）当，3，1，2时，可得
推论5 圆内接闭折线的垂心与任三顶点的垂心的连线，平行于外心与其余个顶点的重心的连线．
推论6 圆内接闭折线的欧拉圆心与任三顶点的欧拉圆心的连线，平行于内心与其余个顶点的重心的连线．
以上推论都是之前未曾发现的新结论，而它们只不过是定理1的某些特例。
2.空间有限点集的号心性质的研究
从闭折线的号心定义可以看出，号心的位置由闭折线的顶点及定点的位置确定，而与闭折线的构造方式（顶点之间连接的边的顺序）无关。因此，闭折线的号心实质上也就是“平面有限点集的号心”。将这一概念拓广至三维空间，我们进一步研究了“空间有限点集的号心”，得到了关于四面体、多面体及一般的空间有限点集的号心的一些新性质[74-100]。此方面的研究大致可分为两个方面：
（1）将平面几何有关定理推广至三维空间
（2）将平面闭折线的号心的研究成果推广至三维空间
由于“空间有限点集的号心”等概念的引入，使传统立体几何增添了新的研究内容，此方面的研究工作也因此取得了许多创新成果。例如，将三角形的某些“心”的优美性质加以推广，揭示了球内接多面体的伪垂心、欧拉球心、重心、号心及号球面……的一系列性质；著名的三角形“九点圆定理”也被成功地推广至四面体、球内接多面体，发现了关于球内接多面体的多点共球、多圆共球的性质；还将某些平面几何的轨迹定理推广至空间有限点集的号心……
受篇幅限制，这里仅以熊曾润先生在文[74]中的一个定理为例，说明号心研究带来的创新发现：
定理2：四面体的号球面必通过12个特殊点，即
（i）各顶点与号心连线的等分点（）；
（ii）各一级顶点子集的号心（）；
（iii）自点引直线与直线垂直相交的垂足（）。
（注：四面体的外接球半径为，号心为，四面体的号球面是指以为球心、为半径的球面。）
在这个定理中令取某个特殊的自然数，就得到一个关于四面体的十二点共球定理，例如就得到：以四面体的重心（4号心）为球心、为半径的球面（4号球面）经过12个相应的特殊点。而这一性质在此之前并不曾见过。
更有趣的是，这个定理在时的结论事实上将法国数学家普鲁海（Prouhet）1863年证明的垂心四面体“十二点共球定理”推广至一般的四面体（参阅熊曾润教授本次年会论文交流的新作《四面体的普鲁海球面及其性质》）。
如果说上述研究工作使传统立体几何研究取得了某些方面的突破，那么“号心”概念的引入功不可没。
3.对“号心”研究的展望
徐利治先生在《中国初等数学研究》创刊号的献词中指出：数学中的初等方法和初等证明最能揭示问题与定理的本质，还能显示‘数学美’的特征……“初等数学”与“高等数学”是相通的。
近年来，我们在尝试将有限点集的号心的有关研究成果推广至维欧氏空间中时，基本上采用初等方法，取得了诸如《共球有限点集的k号心及其性质》、《三角形欧拉圆的高维推广》等“高等”的成果。
尽管目前此类研究成果还不多[102-109]，但在当前以几何不等式为主要研究内容的高维欧氏几何研究领域，对号心研究成果的高维推广研究或许是一种“新路子”。
“号心”这一课题的研究还有许多有待改进的问题。虽然至今已发表的关于号心研究的论文已有数十篇，但未能引起广泛关注，作者仅有十人左右，且以江西作者为主。我们希望今后有更多的作者参与“号心”这一课题的研究，使研究成果的水平更上一层楼。

参考文献
[1] 杨之.初等数学研究的问题与课题[M].长沙：湖南教育出版社，1993
[2] 熊曾润.平面闭折线趣探[M].北京：中国工人出版社，2002
[3] 曾建国 熊曾润.趣谈闭折线的k号心[M].江西高校出版社，2006
[4] 王方汉．五角星•星形•平面闭折线[M].华中师范大学出版社，2008
[5] 熊曾润．平面闭折线的K号心及其性质．中学数学研究，2002（9）
[6] 熊曾润．圆外切闭折线的K号界心及其性质．中学数学教学，2002（1）
[7] 熊曾润．五谈圆内接闭折线垂心的性质．福建中学数学，2002（6）
[8] 熊曾润．圆外切闭折线的折心及其性质．河西学报，2002（5）
[9] 熊曾润．三角形的1号心及其性质．福建中学数学，2002（10）
[10]熊曾润．垂心闭折线及其性质．中学教研（数学），2002（8）
[11]熊曾润．欧拉闭折线及其性质．中学教研（数学），2002（11）
[12]熊曾润．六谈圆内接闭折线垂心的性质．福建中学数学，2003（1）
[13]熊曾润．再谈三角形的1号心的性质．福建中学数学，2003（2）
[14]熊曾润．再谈圆外切闭折线的K号心的性质．中学数学教学，2003（2）
[15]熊曾润．七谈圆内接闭折线垂心的性质．福建中学数学，2003（7）
[16]熊曾润．平面闭折线的两个有趣性质．福建中学数学，2003（10）
[17]熊曾润．再谈平面闭折线的K号心的性质．赣南师院学报（自然科学版），2003（3）
[18]熊曾润．圆内接闭折线垂心的一个性质．中学数学，2003（12）
[19]熊曾润．也谈圆外切闭折线的优美性质．福建中学数学，2003（12）
[20]熊曾润．八谈圆内接闭折线垂心的性质．福建中学数学，2004（3）
[21]熊曾润．平面闭折线的k号心的几个性质．福建中学数学，2004（7）
[22]熊曾润．关于圆外切闭折线的诸线切圆定理．福建中学数学，2004（12）
[23]熊曾润．杜洛斯—凡利圆的推广．福建中学数学，2005（6）
[24]熊曾润．关于闭折线的一个定理的深入推广．中学数学，2005（7）
[25]熊曾润．关于平面闭折线的一个优美定理．福建中学数学，2005（7）
[26]熊曾润. 平面闭折线的一个优美性质的推广．中学数学, 2005(12)
[27]熊曾润．圆外切闭折线的一个奇妙性质．福建中学数学2005(12)
[28]熊曾润．圆内接闭折线的一个美妙性质．数学教学2006(4)
[29]熊曾润．关于多边形Brocard点的一个性质．中学数学2006（4）
[30]熊曾润．一个三角形定理的推广及应用.福建中学数学，2006（9）
[31]熊曾润．三角形垂心定理的再推广．福建中学数学，2007(1)
[32]熊曾润．圆外切闭折线一个奇妙性质的推广．福建中学数学，2007(3)
[33]熊曾润．三谈三角形垂心定理的推广．福建中学数学，2007(4)
[34]熊曾润．三角形欧拉圆心的一个性质的推广．中学数学，2007(6)
[35]熊曾润．三角形外心一个性质的多方位推广．中学数学，2008(3)
[36]熊曾润．圆外切闭折线的奈格尔点定理．上海中学数学，2008(3)
[37]熊曾润．卡诺定理的3种有趣的推广．中学教研(数学)，2008(5)
[38]曾建国．也谈圆内接闭折线垂心的性质．福建中学数学，2002（2）
[39]曾建国．平面闭折线与其各边分点闭折线的重心之间的关系．数学通讯，2002（17）
[40]曾建国．关于圆外切闭折线周长的不等式．中学数学，2002（10）
[41]曾建国．三角形的2号心及其性质．数学通讯，2002（21）
[42]曾建国．圆内接闭折线的K级垂心线长公式．赣南师范学院学报（自然科学版），2003（3）
[43]曾建国．谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质．福建中学数学，2003（4）
[44]曾建国．类似欧拉线的一个性质.中学数学．2003.4
[45]曾建国．关于圆外切闭折线的几个不等式．数学通报，2003.5
[46]曾建国．关于圆外切闭折线的一个性质．福建中学数学，2003.8，
[47]曾建国．欧拉圆心与顶点重合的闭折线的性质．福建中学数学，2004（4）
[48]曾建国．关于平面闭折线的两个面积定理．江西教育学院学报，2004（3）
[49]曾建国．圆内接闭折线垂心的一个新性质．中学数学，2004（7）
[50]曾建国．婆氏定理与四边形的九点圆．上海中学数学，2005.1，
[51]曾建国 徐建平．圆内接闭折线垂心的一个新性质．中学数学，2005（2）
[52]曾建国．闭折线中的塞瓦定理．数学通报，2005（9）
[53]曾建国．康托尔定理的推广．上海中学数学，2005（10）
[54]曾建国．与闭折线K号心相关的两个面积定理．赣南师范学院学报（自然科学版），2005（6）
[55]曾建国．关于圆内接闭折线的一个轨迹命题．中学数学研究，2006（1）
[56]曾建国. 圆内接闭折线垂心的两个性质．中学数学，2006（11）
[57]曾建国.平面闭折线的K级中线长公式．福建中学数学2006（11）
[58]曾建国 徐建平.关于闭折线K号心的一个距离公式．赣南师院学报（自然科学版），2007（3）
[59]曾建国. 闭折线K号心的一个重要性质.福建中学数学，2007(5)
[60]唐建南 廖旻.圆内接闭折线垂心的一个有趣性质．赣南师范学院学报（自然科学版），2002(6)
[61]许景飞.平面闭折线的1号心及其性质．赣南师范学院学报，2005(3)
[62]明小青.平面闭折线k号心的一个有趣性质．福建中学数学，2005(10)
[63]邱礼明.非等边双圆闭折线的一个性质．中学数学，2006.10
[64]邱礼明.平面闭折线的一个性质．中学数学， 2005(3)
[65]段惠民.封闭折线顶点系重心性质新探．中学数学研究，2004（3）
[66]段惠民.圆内接闭折线垂心的一个性质的推广．福建中学数学，2004（4）
[67]段惠民.多边形Brocard点一个性质的推广，福建中学数学，2006.10
[68]段惠民.从欧拉圆圆心看K号心的一个性质．中学数学，2007.10
[69]段惠民.三角形的一个性质的推广．数学通讯，2006.3
[70]段惠民.“杜洛斯—凡利”圆的成因探究与推广．中学教研2006.5
[71]段惠民.圆内接闭折线的k级中线长公式．中学数学，2005.7
[72]段惠民.圆内接闭折线垂心的一个性质的推广．福建中学数学.2004.4
[73]周永国.平面闭折线的k号心及其性质．中学数学，2003(12)
[74]熊曾润.关于四面体的十二点共球定理.中学教研(数学)，2004(6)
[75]熊曾润．球内接多面体的伪垂心及其性质． 福建中学数学 ，2005(4)
[76]熊曾润．四面体的欧拉球心的一个美妙性质．中学数学，2005(5)
[77]熊曾润．球内接多面体的伪垂心及其性质．福建中学数学，2005(4)
[78]熊曾润．两个优美的多圆共球定理．福建中学数学，2005(9)
[79]熊曾润．一个三角形定理在空间的深入推广．上海中学数学，2005(11)
[80]熊曾润．一个美妙的多圆共球定理．中学教研(数学)，2005(12)
[81]熊曾润．九点圆定理在三维空间的推广．数学通讯，2005(23)
[82]熊曾润．关于球内接多面体的多点共球定理．福建中学数学，2005(11)
[83]熊曾润．球内接多面体的伪垂心的有趣性质．福建中学数学，2006(3)
[84]熊曾润．一个三角形定理在三维空间的推广．福建中学数学，2006(6)
[85]熊曾润．一个四边形定理在三维空间的推广．数学通讯，2006(7)
[86]熊曾润．关于四面体欧拉球心的共点线定理．中学数学，2007(5)
[87]熊曾润．一个三角形定理的多方位推广．福建中学数学，2007(6)
[88]曾建国 熊曾润．多面体的一个性质．福建中学数学，2004（5）
[89]曾建国．关于空间有限点集重心的两个轨迹定理．数学通讯，2006（1）
[90]曾建国．四面体的等距共轭点及其性质．数学通讯，2006（15）
[91]曾建国．四面体外接球内一点的性质．数学通讯，2005（3）
[92]曾建国．三角形与四面体的重心向量性质的逆定理．数学通讯，2007(13)
[93]曾建国.垂心四面体的垂心的一个向量形式.中学数学研究，2009（2）
[94]邱礼明.也谈球内接多面体伪垂心的性质．福建中学数学，2005.9
[95]邱礼明．关于球内接多面体的一个轨迹命题．中学数学研究，2006.7
[96]段惠民．k号球面的几个有趣性质．福建中学数学，2006(5)
[97]段惠民．共圆(球)有限点集的一类多线共点性质再探．福建中学数学，2006(7)
[98]段惠民．空间有限点集的一个向量性质及其推论．福建中学数学2007(2)
[99]周永国．四面体的k号心及其性质．数学通讯，2003（19)
[100]周永国．球内接多面体的1号心及性质．福建中学数学，2005（2）
[101]周永国．多面体k级中线的几个性质．数学通讯，2005(15)
[102]曾建国．单形的垂心及其基本性质．扬州大学学报（自然科学版），2004（4）
[103]熊曾润 曾建国．关于n维单形的多点共球定理．赣南师范学院学报（自然科学版），2005(3)
[104]熊曾润 曾建国．共球有限点集的k号心及其性质．数学的实践与认识，2008(7)
[105]曾建国 曹新．三角形欧拉圆的高维推广．数学的实践与认识，2007,37（15）
[106]曾建国．关于高维有限点集重心的两个轨迹定理．宜春学院学报（自然科学版）,2008(2)
[107]曾建国．单形锥体的截面过重心及内心的条件．赣南师院学报（自然科学版），2008（6）
[108]Zengjianguo,Caoxin.The Generalization of Euler Circle of Triangle in the Higher Dimensional Space. Mathematical Reviews on web(MR)，2008.3
[109]曾建国．共球有限点集的欧拉超球面的性质再探．鲁东大学学报（自然科学版），2009，25（3）
7