材料力学-梁的弯曲问题.ppt

第十五章第十五章 梁的弯曲问题梁的弯曲问题15.1 工程实际中的弯曲问题 梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。AB一、平面弯曲的基本概念F2F1M工程实例 建筑工程中的各建筑工程中的各类梁、火梁、火车轴、水、水压作用下的水作用下的水槽壁等。槽壁等。火火车轴 厂房吊厂房吊车梁梁 平面弯曲：梁的平面弯曲：梁的轴线在在变形后仍保持在同一平面形后仍保持在同一平面(荷荷载作用面作用面)内，即梁的内，即梁的轴线成成为一条平面曲一条平面曲线。(a)ABF2F1 (c)对称（平面）弯曲(Planar bending)对称平面称平面 F2F1 (b)梁的荷载和支座反力 一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力；集中力：作用在微小局部上的横向力；2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面平集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面平行的平面）内的力偶。行的平面）内的力偶。MeF3 分布荷载：分布荷载：沿梁长连续分布的横向力沿梁长连续分布的横向力。荷载集度：荷载集度：用用q(x)表示表示 分布荷载的大小分布荷载的大小 均布荷均布荷载非均布荷非均布荷载q(x)q(x)=C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定铰约束固定铰约束2 可动铰约束可动铰约束3 固定支座固定支座 计算简图 确定梁的确定梁的“计算简图计算简图”包含：包含：以梁的轴线经代替实际的梁；以梁的轴线经代替实际的梁；以简化后的支座代替实际的支座；以简化后的支座代替实际的支座；实际支承实际支承理想支承理想支承 以简化后的荷载代替实际的荷载。以简化后的荷载代替实际的荷载。三、梁的分类 按支座情况按支座情况 简支梁：一端固定支梁：一端固定铰，一端可，一端可动铰外伸梁：一端或两端向外伸出的外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁支梁悬臂梁：一端固定支座，另一端自由臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB 超静定梁：超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。力的梁。FF 按梁的横截面 等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化；等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化；变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。汽车钢板弹簧汽车钢板弹簧鱼腹梁鱼腹梁15.2 梁的内力及其求法 一、求梁的内力的方法截面法内力的形式及名称剪力剪力弯矩弯矩N或或kNNm或或kNm11MFQFRAaAAFRAFRB laF1F2内力的求法BF1FRAF2FQ M?MFQFRAaA内力的正负号剪力剪力弯矩弯矩MM M M FQFQ左上右下为正左上右下为正左下右上为负左下右上为负向上凹变形为正向上凹变形为正向上凸变形为负向上凸变形为负FQFQ 例例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，F2=10kN，试计算指定截面试计算指定截面1-1、2-2的内力的内力。解：(1)求支座反力BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的内力 FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (3)求2-2截面上的内力 F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m 结论：1 梁的任一横截面上的剪力在数梁的任一横截面上的剪力在数值上等于上等于该截面左截面左侧（或右或右侧）所有）所有竖向力（包括斜向外力的向力（包括斜向外力的竖向分力、向分力、约束反力）的代数和；且截面左束反力）的代数和；且截面左边向上（向上（右右边向下向下）的外力使截面的外力使截面产生正号的剪力。生正号的剪力。2 梁的任一横截面上的弯矩在数梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于上等于该截面左截面左侧（或右或右侧）所有）所有竖向力向力对该截面形心力矩的代数和截面形心力矩的代数和（包括外力偶、（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左束反力偶）；且截面左边顺时针（右右边逆逆时针）的力矩使截面）的力矩使截面产生正号的弯矩。生正号的弯矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ 例例2 试利用上述结论写出图示梁试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和截面上的剪力和弯矩的表达式。弯矩的表达式。qF1FRBlbcMeF2de11fMFQ 例例3 求图示简支梁求图示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩。FRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求求1-1截面的剪力截面的剪力FQ1、弯矩弯矩M1根据根据1-1截面截面左侧左侧的外力计算可得的外力计算可得：根据根据1-1截面截面右侧右侧的外力计算可得的外力计算可得可可见计算算结果完全相同果完全相同。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3)求求2-2截面的剪力截面的剪力FQ2、弯矩弯矩M2 根据根据2-2截面右侧的外力计算可得截面右侧的外力计算可得：FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m15.3 内力图剪力图和弯矩图 为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。具体作法是：具体作法是：剪力方程：剪力方程：弯矩方程：弯矩方程：例例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图弯矩图。解：(1)求支座反力(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩处的任一截面，此截面的剪力和弯矩表达式分别为表达式分别为:xFRAFRBBqlA(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值FQ图ql/2ql/2ql2/8M图xFRAFRBBqlA 例例5 简支梁受一集中力简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶和一集中力偶Me=ql2作作用，试作出其剪力图和弯矩图用，试作出其剪力图和弯矩图。分析分析：1-1、2-2截截面上的剪力面上的剪力 结论：结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段段 列出其表达式。列出其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界载的起点和终点为界(分段点如何确定？分段点如何确定？)1122（?）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力 (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3 CD段段 DB段段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值 FQ图M图图1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 结论：当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点分布荷载的起点和终点为界。为界。剪力图和弯矩图一般是连续的剪力图和弯矩图一般是连续的。在集中力作用。在集中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为小，方向为“顺下逆上顺下逆上”。15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 BA(O)CDlF Mel/3l/3 二、剪力图、弯矩图的规律q 0 0 0 0 0MM 结论（规律）：(2)当梁的支承情况当梁的支承情况对称称，荷，荷载反反对称称时，则弯矩弯矩图永永为反反对称称图形，剪力形，剪力图永永为对称称图形。形。(1)当梁的支承情况当梁的支承情况对称称，荷，荷载也也对称称时，则弯矩弯矩图永永为对称称图形，剪力形，剪力图永永为反反对称称图形；形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例例7 图示左端外伸梁，外伸端图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为段所受荷载的分布集度为q，试利用微分试利用微分关系作梁的剪力图、弯矩图关系作梁的剪力图、弯矩图。解：(1)求支座反力三、画剪力图、弯矩图的简便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力图(3)作弯矩图x7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ图M图MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ(kN)M(kNm)例例例例8 8 作梁的内力图作梁的内力图 结论结论：q、F、Me共同作用共同作用时产生的内力等于时产生的内力等于q、F、Me分别分别单独作用单独作用时产生的内力之时产生的内力之和和。因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反力先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁的反力和内力。这种方法称为的反力和内力。这种方法称为叠加法。15.5 叠加法作剪力图和弯矩图BqACMeDlbaF 线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加 1 1F F1 1F F1 1+F+F2 2 F F2 2 2 2F F OF F OF F O 2 2 1 1F F OF F OF F O 非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加F F1 1 1 1F F2 2 2 2F F1 1+F+F2 2 2 2叠加原理成立的前提条件：叠加原理成立的前提条件：（1）小变形）小变形（2）材料满足虎克定理（线性本构关系）材料满足虎克定理（线性本构关系）当当变形形为微小微小时，可采用，可采用变形前尺寸形前尺寸进行行计算。算。1、叠加原理叠加原理：当梁在各项：当梁在各项荷载作用下某一横截面上荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩用下同一横截面上的弯矩的代数和。的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷设简支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用。的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：叠加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0弯曲内力弯曲内力BMAAqMBlB1 q(x)=0 结论结论:弯矩图为一水平直线弯矩图为一水平直线 。FQM+lABMe 结论结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于的绝对值等于FS一斜直线一斜直线 （）。（）。lFABFQFMFl-lFABFQF-MFl+结论结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于等于FS一斜直线一斜直线 （）。（）。2 q(x)0 结论结论:剪力图为斜率等于剪力图为斜率等于q的的 一斜直线（）一斜直线（），弯矩图，弯矩图为抛物线（开口向下）。为抛物线（开口向下）。BqlAM图FQ图ql/2ql/2 3 q(x)0 结论结论:剪力图为斜率等于剪力图为斜率等于q的的 一斜直线（）一斜直线（），弯，弯矩图为抛物线（开口向上）。矩图为抛物线（开口向上）。qBlAxFQ图ql/2ql/2ql2/8M图 4 集中力F作用处 结论结论:在集中力作用在集中力作用处剪力图发生突变处剪力图发生突变(弯弯矩不变矩不变)，突变的数值，突变的数值等于集中力的大小，方等于集中力的大小，方向与剪力的方向相同。向与剪力的方向相同。1FQ图M图FRAFRBlFaAB 5 集中力偶Me作用处 结论结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变变(剪力不变剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为方向为“顺下逆上顺下逆上”。lMebxFQ图M图FRAFRB 例例9 试判断图示各题的试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如图是否正确，如有错请指出并加以改正。有错请指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx+60kN50kN60kN.m 23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN由图可知，在梁的由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯有剪力又有弯矩，这种弯曲称为曲称为剪切弯曲剪切弯曲(或横力弯或横力弯曲曲)。在梁的在梁的CD段内，各横段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为这种弯曲称为纯弯曲纯弯曲。15.6 梁横截面上的正应力计算1 1、剪切弯曲、剪切弯曲内力内力剪力剪力Q 切应力切应力t弯矩弯矩M 正应力正应力2、纯弯曲、纯弯曲 内力：弯矩内力：弯矩M 正应力正应力由以上定义可得：由以上定义可得：1.纯弯曲实验纯弯曲实验 横向线横向线(a b、c d）变）变形后仍为直线，但有转动形后仍为直线，但有转动（一）梁的纯弯曲实验（一）梁的纯弯曲实验纵向对称面纵向对称面bdacabcdMM 纵向线变为同心圆弧纵向线变为同心圆弧曲线，且上缩下伸曲线，且上缩下伸 横向线与纵向线变形横向线与纵向线变形后仍正交。后仍正交。横截面高度不变。横截面高度不变。纯弯曲梁上正应力的确定纯弯曲梁上正应力的确定（2）纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。）纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。（1）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，并垂直于变形后梁的轴线。性轴发生转动，并垂直于变形后梁的轴线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴（横截面上只有正应力）（横截面上只有正应力）2.根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：内部的变形，作出如下的两点假设：3.两两 个个 概概 念念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴MM横截面上的弯矩横截面上的弯矩yy所计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离IzIz截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩4.正应力公式正应力公式不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；适用于所有截面。适用于所有截面。5.应力正负号确定应力正负号确定M为正时为正时,中性轴中性轴上部上部截面截面受压受压 下部下部截面截面受拉受拉;M为负时为负时,中性轴中性轴上部上部截面截面受拉受拉 下部下部截面截面受压受压.在拉区为正在拉区为正,压区为负压区为负 最大正应力最大正应力危险截面危险截面:最大弯矩所在截面最大弯矩所在截面 Mma危险点：距中性轴最远边缘点危险点：距中性轴最远边缘点 ymax 令令 则则一般截面，最大正应力发生一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；的上下边缘上；5.最大正应力最大正应力DdDd=abhdWz Wz 抗弯截面模量抗弯截面模量1、正应力强度条件：、正应力强度条件：矩形和工字形截面梁正应力矩形和工字形截面梁正应力 max=M/Wz Wz=Iz/(h/2)特点：特点：max+=max-T形截面梁的正应力形截面梁的正应力 max+=M/W1 W1=Iz/y1 max-=M/W2 W2=Iz/y2 特点：特点：max+max-15.7 梁的正应力强度计算2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算、校核强度：校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：确定许可载荷：确定许可载荷：例例10 受均布载荷作用的简支梁如图受均布载荷作用的简支梁如图所示试求：所示试求：（1）11截面上截面上1、2两点的正应两点的正应力力（2）此截面上的最大正应力）此截面上的最大正应力（3）全梁的最大正）全梁的最大正应力应力（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截截面的曲率半径。面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11x+MM1Mmax12120180zy解：画解：画M图求截面弯矩图求截面弯矩30Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求应力18030 x+M求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030 x+My1y2GA1A2A3A4解：解：画弯矩图并求危面内力画弯矩图并求危面内力例例11 T 字形截面的铸铁梁受力如字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的图，铸铁的 L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于，其截面形心位于G点，点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。并说明并说明T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图图a图图bz 1 1xy 2 2 1 1 b图图cS Sz z*为面积为面积A A*对横截面中性对横截面中性轴的静矩轴的静矩.15.8 梁横截面上的切应力及强度zy式中式中:-:-所求切应力面上的剪力所求切应力面上的剪力.I IZ Z-整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩.S Sz z*-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b-b-所求应力点处截面宽度所求应力点处截面宽度.yA*yc*Q 方向：与横截面上剪力方向相同方向：与横截面上剪力方向相同 ；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物分布为抛物线。线。中性轴上有最大切应力中性轴上有最大切应力.为平均切应力的为平均切应力的1.51.5倍。倍。其它截面梁横截面上的切应力其它截面梁横截面上的切应力 工字形截面梁工字形截面梁 剪应力分布假设仍然适用剪应力分布假设仍然适用 横截面上剪力；横截面上剪力；Iz整个工字型截面对中性轴的惯性矩；整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1 腹板宽度；腹板宽度；Sz*阴影线部分面积阴影线部分面积A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩最大剪应力：最大剪应力：Iz圆形截面对中性轴的惯性矩；圆形截面对中性轴的惯性矩；b 截面中性轴处的宽度；截面中性轴处的宽度；Sz*中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩 圆形截面梁圆形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴上最大剪应力仍发生在中性轴上:圆环截面梁圆环截面梁 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Q Q 2 2、切应力强度条件：、切应力强度条件：3 3、需要校核切应力的几种特殊情况：、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，M M 较小，而较小，而F FS S 较大时，要校核切应力。较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。要校核切应力。注意事项设计梁时必须同时满足正应力和剪应力设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。应力强度。弯曲强度计算的步骤弯曲强度计算的步骤画出梁的剪力图和弯矩图画出梁的剪力图和弯矩图,确定确定|F FS S|maxmax和和|M M|maxmax及其所在截面的位置，即确定危险截面。注及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；意两者不一定在同一截面；根据截面上的应力分布规律，判断危险截面根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即 maxmax和和 maxmax（二者不一定在同一截面，更不在同一点（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；）；对对 maxmax和和 maxmax分别采用正应力强度条件和剪应分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算，即满足力强度条件进行强度计算，即满足 maxmax ,maxmax 解：画内力图求危面内力例例12 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mABL=3mQ+xx+qL2/8M求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mQ+xx +qL2/8M作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例13（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM 弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素，故弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素，故弯曲正应力的强度条件：弯曲正应力的强度条件：要提高梁的承载承力，应从两方面考虑：要提高梁的承载承力，应从两方面考虑：一方面是合理安排梁的受力情况，以降低一方面是合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的值；的值；另一方面是采用合理的截面形状，以提高另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数的数值，充分利用材料的性能。值，充分利用材料的性能。15.9 提高梁强度的措施 一、合理安排梁的受力情况 合理布置梁的支座qlABql2/8M图图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/50 左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5 倍。因此，右边梁上的载荷还要提高四倍，才能使得其最大弯矩值同左边的相同。因而，右边梁的承载能力要比左边高四倍，因此说来，合理的布置梁的支座，对提高梁的弯曲强度是十分必要的。门式起重机的大梁门式起重机的大梁 适当增加梁的支座适当增加梁的支座合理的布置载荷合理的布置载荷。比较下列两种布置方法：比较下列两种布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图图+Pl/8M图Pl/8改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况MM二、提高抗弯截面系数二、提高抗弯截面系数选择合理的截面形状 在确定梁的截面形状与尺寸时，除应考虑弯曲正应在确定梁的截面形状与尺寸时，除应考虑弯曲正应力强度条件外，还应考虑弯曲切应力强度条件。因此，力强度条件外，还应考虑弯曲切应力强度条件。因此，在设计工字形、箱形、在设计工字形、箱形、T字形与槽型等薄壁截面梁时，字形与槽型等薄壁截面梁时，也应注意使腹板具有一定的厚度。也应注意使腹板具有一定的厚度。zz合理选择截面形状合理选择截面形状，尽量增大，尽量增大Wz值值单位面积抗弯截面模量单位面积抗弯截面模量bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.270.31)h(0.290.31)hd=0.8h常见截面的Wz/A值比较:从表中可以看出，材料远离中性轴的截面较经济合理。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯能能力力的的截截面面。在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯能能力力与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。因因此此，当当截截面面面面积积一一定定时时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，面积相同时：宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。环形优于圆形。同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。s smaxs smin根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面称的截面 拉压性能不一的材料如铸铁，宜用不对称的截面，使中拉压性能不一的材料如铸铁，宜用不对称的截面，使中 性轴靠近拉的一侧性轴靠近拉的一侧h2Zch1Zc变截面梁变截面梁1)b不变，中间不变，中间h加大加大ZcxMPl/4xb(x)bmin2)h 不变，中间不变，中间b随随x与弯矩与弯矩M（x）同规律变化，）同规律变化，如上图如上图3)b 不变，中间不变，中间h 随随x与弯矩与弯矩 M（x）规律变化，如）规律变化，如 右图摇臂钻床的摇臂。右图摇臂钻床的摇臂。ABPl/2l等强度梁等强度梁阶梯梁阶梯梁渔腹梁渔腹梁（工艺上简化）（工艺上简化）日本岩大桥日本岩大桥雨蓬梁板雨蓬梁板实例：实例：预应力钢筋预应力钢筋以上的措施仅仅考虑提高梁的强度方面，事实上，梁的合以上的措施仅仅考虑提高梁的强度方面，事实上，梁的合理使用应综合考虑强度与刚度、稳定性等问题。这正是工理使用应综合考虑强度与刚度、稳定性等问题。这正是工程构件力学分析的核心内容。程构件力学分析的核心内容。弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。15.10 梁的变形概念梁的变形概念 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。挠挠度度(w):任任一一横横截截面面形形心心(即即轴轴线线上上的的点点)在在垂垂直直于于x轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的称为该截面的挠度挠度。取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线梁变形前的轴线为为x轴轴,横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴,xy平面为纵平面为纵向对称平面。向对称平面。BABCC1挠度w y x x BABCC1 转角 转转角角():横横截截面面绕绕中中性性轴轴转转过过的的角角度度（或或角角位位移移）,称称为为该该截截面面的的转转角角，也也即即挠挠曲曲线线在在该该截截面面处处的的切切线线与与x轴的夹角。轴的夹角。y挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中,向下为正向下为正,向上为负向上为负。转角：转角：顺顺时针转向为正时针转向为正,逆时针转向为负。逆时针转向为负。yxABCw(挠度度)C1 (转角角)F必须注意必须注意:梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后,在在x轴方向轴方向也有线位移。也有线位移。yxABCw(挠度度)C1 (转角角)F但但在在小小变变形形情情况况下下,梁梁的的挠挠度度远远小小于于跨跨长长,这种位移与挠度相比很小，这种位移与挠度相比很小，可略去不计可略去不计。挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线称为：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线。挠曲线方程挠曲线方程:式中式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该为该点的挠度。点的挠度。yxABCw(挠度度)C1 (转角角)挠曲曲线F挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：yxABCw(挠度度)C1 (转角角)F此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。再积分一次再积分一次,得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量,上式可改写成上式可改写成式式中中：积积分分常常数数C1、C2可可通通过过梁梁挠挠曲曲线线的的边边界界条件条件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。15.11 梁的变形计算梁的变形计算 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件在在挠挠曲曲线线的的任任一一点点上上,有有唯唯一的挠度和转角。如一的挠度和转角。如:不可能不可能c 讨论讨论：适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁缺点：计算较繁例例14 图示示一一抗抗弯弯刚度度为EI的的悬臂臂梁梁,在在自自由由端端受受一一集集中中力力F作作用用。试求求梁梁的的挠曲曲线方方程程和和转角角方方程程,并并确确定定其最大其最大挠度度wmax和最大和最大转角角 max。ABlx解解：以以梁梁左左端端A为原原点点,取取直直角角坐坐标系系,令令x轴向向右右,y轴向下向下为正。正。(1)列弯矩方程列弯矩方程F(2)列列挠曲曲线近近似微分方程并似微分方程并积分分(3)确定确定积分常数分常数 代入式代入式(a)和和(b),得：得：C10,C20在在x0处,w0 在在x0处,0-ABlxxyF(4)建立建立转角方程和角方程和挠度方程度方程 将求得的将求得的积分常数分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b),得梁的得梁的转角方程和角方程和挠度方程分度方程分别为：(5)求最大求最大转角和最大角和最大挠度度 自由端自由端B处的的转角和角和挠度度绝对值最大。最大。wmax max所所得得的的挠度度为正正值,说明明B点点向向下下移移动;转角角为正正值,说明横截面明横截面B沿沿顺时针转向向转动。例例1515：一：一简支梁受均布荷支梁受均布荷载作用，求梁的作用，求梁的转角方程角方程和和挠度方程，并确定最大度方程，并确定最大挠度和度和A A、B B截面的截面的转角。角。设梁的抗弯梁的抗弯刚度度为EIEI。ABlq解解:1:1建立坐建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：系。求支座反力。列弯矩方程：xylABq边界条件界条件得得:xylABqBAwmax例例16：已知：已知F、EI，求梁的，求梁的转角方程和角方程和挠度方度方程及程及wmax。xyABFlxabCD解解:1:1建立坐建立坐标系。系。求支座反力。求支座反力。2分段求出弯矩方程及分段求出弯矩方程及w、w。xyABFlxabCD边界条件：界条件：x=0，w1=0。x=l，w2=0。连续条件：条件：x=a，w1=w2，w1=w2 由由连续条件，得：条件，得：C1=C2，D1=D2再由再由边界条件，得：界条件，得：C1=C2=Fb（l2-b2）/6l D1=D2=0因此，梁各段的因此，梁各段的转角方程和角方程和挠度方程度方程为：xyABFlxabC DxyABFlxabC D因此，受任意荷因此，受任意荷载的的简支梁，只要支梁，只要挠曲曲线上没有上没有拐点，均可近似地将梁中点的拐点，均可近似地将梁中点的挠度作度作为最大最大挠度。度。xyABFlxabC D条条件件：由由于于梁梁的的变变形形微微小小,梁梁变变形形后后其其跨跨长长的的改改变变可可略略去去不不计计,且且梁梁的的材材料料在在线线弹弹性性范范围围内内工工作作,因因而而,梁梁的的挠挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。在这种情况下在这种情况下,梁在几项载荷梁在几项载荷(如集中力、集中力如集中力、集中力偶或分布力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角,就就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加叠加。此即为。此即为叠加原理叠加原理。15.11 梁的变形计算梁的变形计算 叠加法叠加法求弯曲变形求弯曲变形例例1717：简支梁所受荷支梁所受荷载如如图示。用叠加法求梁示。用叠加法求梁中点中点挠度和左端截面的度和左端截面的转角。角。设梁抗弯梁抗弯刚度度为EIEI。ml/2qABCl/2解解:qABCBmACml/2qABCl/2+=例例18 18 简支梁的简支梁的EIEI已知，用叠加法求梁已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。跨中截面的位移和两端截面的转角。载荷分解如图载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时集中力偶单独作用时xxx 叠加例例1919：一：一阶梯形梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。臂梁，在左端受集中力作用。试求左端的求左端的挠度。度。FABCaaEI2EIABCFaaEI2EI解：解：FBAwA1A1采用逐段采用逐段刚化法化法1、令、令BC刚化，化，AB为 悬臂梁。臂梁。2、令、令AB刚化，化，BC为 悬臂梁。臂梁。FBAwBCM=FaFBAwA1A1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2EIABCFaaEI2EI累加得到总的结果：累加得到总的结果：例例20：已知：已知F、q、EI。求。求c和和wc。qABF=qaaaaCxy（a）CxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）B(F)c(F)CqAB（c）CqABMM=qaqa2 2/2/2CqABMM=qaqa2 2/2/2CABMM=qaqa2 2/2/2CqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2这种叠加法又称种叠加法又称为逐逐段（段（级）刚化法。化法。CqB