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课时作业31 数列的综合应用
一、选择题
1．设{an}，{bn}分别为等差数列与等比数列，a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则下列结论正确的是( )．
A．a2＞b2 B．a3＜b3
C．a5＞b5 D．a6＞b6
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )．
A．±4 B．－4 C．4 D．无法确定
3．在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，黑、白两只蚂蚁均从点A出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，白蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→D1C1→…，黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→B1C1→…，它们都遵循以下的爬行规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为正整数)，设黑、白蚂蚁都爬完2 012段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时两者的距离为( )．
A．1 B． C． D．0
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )．
A．24 B．32
C．48 D．64
5．已知数列{an}的通项为an＝，则数列{an}的最大项为( )．
A．第7项 B．第8项
C．第7项或第8项 D．不存在
6．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了( )．
A．600天 B．800天
C．1 000天 D．1 200天
7．(2012湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、填空题
8．定义运算：＝ad－bc，若数列{an}满足＝1且＝12(n∈N*)，则a3＝__________，数列{an}的通项公式为an＝__________.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝__________.
10．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是__________．
三、解答题
11．某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行．
(1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？
(2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年)
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3)
12．已知函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)，B(2,3)及C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)若数列{cn}满足cn＝6nan－n，求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题
1．A 解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题可得d＝－1，q＝，于是a2＝3＞b2＝2.故选A.
2．A 解析：依题意得，S9＝9a5＝－36⇒b5＝a5＝－4，S13＝13a7＝－104⇒b7＝a7＝－8，所以b6＝±4.
3．B 解析：白蚂蚁的爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1，…，黑蚂蚁的爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→AB，…，可见两只蚂蚁爬行路线都是循环的，周期为6，故爬完2 012段后，白蚂蚁在D1处，黑蚂蚁在B1处，故D1B1＝.
4．D 解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1.
两式相除得＝2，
所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列．
而a1＝1，a2＝2，
所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.
又因为an＋an＋1＝bn，
所以b10＝a10＋a11＝64.
5．B 解析：由于an＝＝，而函数f(x)＝x＋在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，且f(7)＝7＋，f(8)＝8＋，f(8)＜f(7)，故a8＞a7，从而数列{an}的最大项为第8项．
6．B 解析：由第n天的维修保养费为(n∈N*)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值．
设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋，当且仅当＝时取得最小值，此时n＝800，故选B.
7．C 解析：设等比数列{an}的公比为q，则对于f(x)＝x2，f(an)＝a，由等比数列定义得，＝2＝q2，符合题意；而对于f(x)＝2x，f(an)＝2an，由等比数列定义得，＝2an－an－1，不为定值，故不符合题意；对于f(x)＝，f(an)＝，则＝＝为定值，符合题意；对于f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定义得，并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
二、填空题
8．10 4n－2 解析：由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12，即a1＝2，an＋1－an＝4.
∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．
∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.
9．10 解析：由等差数列的性质可知2am＝am＋1＋am－1，
又∵am－1＋am＋1－a＝0，
∴a＝2am.
∴am＝2(am＝0不合题意，舍去)．
又S2m－1＝(a1＋a2m－1)＝×2am＝(2m－1)·am＝38，
∴2m－1＝19.
∴m＝10.
10．d≤－2或d≥2
解析：由S5S6＋15＝0，得·＋15＝0.
整理可得2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.
∵a1，d为实数，
∴Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2.
三、解答题
11．解：设该人将1万元购买股票，x年后所得的总红利为y万元，
则y＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%(1＋6%)x－1
＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x－1)＝4(1.06x－1)．
(1)由题意，得4(1.06x－1)＝1，
∴1.06x＝.
两边取常用对数，得
xlg 1.06＝lg＝1－3lg 2.
∴x＝≈≈4.
(2)由题意，得4(1.06x－1)＝(1＋6%)x，∴1.06x＝.解得x≈5.
答：(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等；(2)经过大约5年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等．
12．解：(1)∵函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)，B(2,3)，
则解得
∴f(x)＝2x－1，
即Sn＝2n－1，可得an＝2n－1.
(2)∵cn＝3n·2n－n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝3(2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)．
令Sn′＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Sn′＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②得－Sn′＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Sn′＝(n－1)2n＋1＋2，
Tn＝3·(n－1)·2n＋1＋6－.
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