第二章-多目标决策基本理论.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,主讲人：方国华 黄显峰,第二章 多目标决策基本理论,第二章 多目标决策基本理论,总体,概述,优化,理论,效用,理论,效用函数,第二章 多目标决策基本理论,总体,概述,第二章 多目标决策基本理论,模型建立,仿真分析,总结展望,总体概述,2.1,概述,多目标决策问题，从方法论角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。因此，多目标决策问题属于向量优化问题。,向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。其解是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。,模型建立,仿真分析,总结展望,总体概述,2.1,概述,经济学家,Pareto,针对多目标优化问题提出非劣解的概念，继而发展为向量优化问题的非劣解生成技术。,当非劣解生成后，如何从中选出最终解，或选出最佳均衡解，这在很大程度上取决于决策者对某方案的偏好价值观和对风险的态度。任何决策过程中，都直接或间接地含有能够排列方案的序关系。如果这种序关系反映了决策者的偏好，便称为偏好序。另外需了解决策者的偏好和偏好结构。,决策者偏好,是指决策者对行动后果的爱好程度。,偏好结构，是指建立在可行方案集上的某种序关系。,效用函数:决策者的偏好结构能用实函数来表示，这种偏好序要与一个有序的实函数相对应，这个函数便是效用函数。,模型建立,仿真分析,总结展望,总体概述,2.1,概述,研究决策者偏好关系、偏好结构和构造效用函数等的理论，便是效用理论。,效用理论是通过效用函数来表示，借以进行满意方案的选择。,效用函数是反映决策者偏好的显式函数。这种理论是符合人类思维规律的一种公理化的理论，也是多目标评价决策技术的基础。,优化,理论,第二章 多目标决策基本理论,2.2,向量优化理论,总结展望,仿真分析,总体概述,优化理论,多目标决策问题属于向量优化问题，向量优化理论是生成多目标问题非劣解的基础。,本节主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念、最佳均衡解概念、Kuhn-Tucker条件等。,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,2.2.1 非劣解和非劣解集概念,设求解f,1,(x)和f,2,(x)两个目标的最大值，它们的可行解域如图2.1所示。图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。,这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。,图,2.1,多目标非劣解集示意图,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,一般来讲，多目标分析得不出绝对最优解，即得不到满足各个目标的同时最优解。非劣解通常不是一个唯一的解而是一组解，故称为非劣解集。,设有p个目标f,1,(x),f,2,(x),f,p,(x)，在个不等式约束g,1,(x),g,2,(x),g,m,(x)和决策变量向量非负条件下，要求p个目标函数值愈小愈好，表示为：,(2.1),(2.2),(2.3),2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,(2.1),(2.2),(2.3),式中，,为p维目标函数向量中，第,k,个目标函数；,为第i个约束条件；,x,为决策变量组成的n维向量，即,令,(2.4),综上所述，非劣解的数学定义可以表述为：,定义2.1.1：设,，若不存在,，满足,，且至少有一个分量,i,使严格不等式关系成立（即,），则称,是多目标决策问题（2.1）（2.3）的严格非劣解，简称非劣解。,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,例2.1,求解下列具有两个决策变量和两个目标函数的线性多目标问题：,max,f,1,(x)=5x,1,2x,2,，f,2,(x)=-x,1,+4x,2,(2.5),满足约束,(2.6),2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,这个线性问题，以决策变量 和 为坐标的可行域绘于图2.2中，其中约束条件形成的封闭面积，即决策变量 和 的可行域，也就是本问题的决策空间。其中A、B、C、D、E、F为极点，决策空间标以 。,图,2.2,决策空间中的可行域与非劣解集,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,要评价决策空间内各个可行顶点处的目标函数值f,1,和f,2,，需在新的空间，即目标空间中进行。,这个空间是以目标函数值为坐标而绘成的，如图2.3所示。,各目标函数值是根据决策空间内各可行顶点处的x,1,和x,2,值，直接代入相应目标函数中求得的。有关决策变量及目标值列于表2.1中。,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,表,2.1,决策变量与目标函数值,顶 点,x,1,x,2,f,1,(x)=5x,1,2x,2,f,2,(x)=-x,1,+4x,2,A,0,0,0,0,B,6,0,30,-6,C,6,2,26,2,D,4,4,12,12,E,1,4,-3,15,F,0,3,-6,12,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,图中目标空间的可行域，标以,F,，它是由,X,转换而来的，其形状依目标函数特性而定。目标函数的非劣解集标以,F,*,，如图中,BCDE,线段所示。,图,2.3,目标空间中可行域、非劣解集及最佳均衡解,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,由此，非劣解集又称非劣集的定义如下：,定义,2.2,：,由决策空间的所有非劣解组成的集合，称为,非劣解集,。,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,2.2.2 折衷分析和最佳均衡解,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,非劣解集一般包括有许多方案，很明显，不是所有的方案都能中选，而被选中的方案只是非劣解集中决策人偏好的方案，称之为最佳均衡解。,如何选择最佳均衡解？,途径很多，其中之一是用非劣解集的图解表示，根据可能与折衷分析进行选择。选择多目标的组合方案，常根据对多目标组合的偏好而定。偏好可用无差曲线来表示，每条无差曲线表示在给定效用量下，能使各目标组合产生最大效用的可行方案，即为最佳均衡解。,图2.3中无差曲线切于D点处的相应方案就是最佳均衡解。,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,例2.2求解,mix,f,1,(x)=x1，f,2,(x)=(x3),2,+1,受约束于,x,，,xX,对于这个问题的求解过程与例,2.1,类似，其结果如图,2.4(a)(b),所示。其中,(a),和,(b),分别展示出问题的非劣解集在决策空间和目标空间的表现形式。在图,(a),中，介于变量,1,到,3,区间内的任一点,x,均,是问题的非劣解。因为在这个区域内，若想减少,f,1,(,x,),的,值，势必要引起,f,2,(x),值的增加；反之亦然。问题的非劣解集为：,x,*,=,x,xX，1x 3,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,(a),决策空间,(b),目标空间,图,2.4,非劣解集在决策空间和目标空间的表现形式,2.2,向量优化理论,优化理论,总结展望,背景综述,仿真分析,在图,(b),中非劣目标函数集为:,F,*,f,f（f,1,，f,2,），f,2,(f,1,13),2,+1，0 f,1,2,对于这两个目标的最小值问题，,相应的非劣解集位于目标空间可行域边界上的左边阴影部分，且具有负的斜率,；非劣目标集,F,*,内任一点的导数,df,2,(f,1,),df,1,，也必然为负值。这是由于任一目标函数值的增减，必将引起另一目标值反向所导致。如果多于两个目标以上的最小问题，非劣目标集将为非劣目标集边界上一个超曲面的左边部分，且至少有一对,f,k,f,i,2,。由假设,3,在,(0,，,1),内对任何,有,由于,1,2,+,(,1,2,),2,，从式,(,2.29,),有,这指明第二公理是满足的。现在证明第三公理的有效性。令,另一风险展望，且 ，从式,(3.14),知在,(0,，,1),中有,3,，使,2.3,效用理论,模型建立,总结展望,背景综述,效用理论,对任一,(0,，,1),，有,这样，若选,使,(,2,-,3,),(,1,-,3,)1,，,风险展望 ；,而若 。,证 明第三公理是满足的。,2.3,效用理论,模型建立,总结展望,背景综述,效用理论,下面，讨论期望效用函数,U,的构造，并借此证明效用函数的存在性。首先，构造,X,上的效用函数，因为,X,内的任一后果,C,i,，在 内具有相应的确定展望,C,i,，于是从假设,1,总能得到,i,，使式,(2.26),成立。由此可定义,u,：,X,R,为,u,(,C,i,)=,i,i,=1,，,，,9 (2.3,1,a),同理，对任一 为,(2.3,1,b),2.3,效用理论,模型建立,总结展望,背景综述,效用理论,式中,a,由式,(2.22),求得。现在需证明如此定义的期望效用函数满足式,(2.22),和式,(2.23),。第一个特性式,(2.22),可从式,(2.29),和式,(2.20),、（,2.21,）得到，而证明式,(2.23),可从式,(2.23),和式,(2.24),得到，即：,（2.32）,对任何 也不难证明,（2.33）,这样期望效用函数 也满足伯努利原理式,(,2.21,),。,2.3,效用理论,模型建立,总结展望,背景综述,效用理论,例如:要求农民给出概率,i,(他认为确定展望,C,i,和抽采 是无差的,),的某些估计值，其中,i,=2,，,8,，从式,(2.33),和资料数据可计算相应于三种行动的期望效用函数分别为,其中:,所以根据伯努利原则农民应选择种植作物,a,1,。,效用,函数,第二章 多目标决策基本理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,确定效用函数是效用理论的核心。效用函数的形式取决于研究问题的性质和类型。若多目标决策问题中，包括有多个属性，一般将属性划分为属性组，甚至分成单个属性，且设各属性组或各单属性之间是彼此独立的。这样对构造效用函数将是简便的。如果各个（种）属性的效用值可加，或可相乘而得到总效用时，自然更为方便，但是这样的相加或相乘形式的效用函数，要求条件却是相当严格的。一般常见的效用函数有：相加、相乘和拟相加形式。,下面我们将分别讨论它们的必要条件。,模型建立,效用函数,背景综述,仿真分析,2.4.1 加法形式,加法效用函数形式，从实用观点看最为简单，但从理论观点看，分解的形式限制最为严格。,设一个行动集合A，后果集为X，其中X的元素为,=(),(,i=1,2,n),，且存在产生于X上的展望值 （展望集是X中所有元素的混合概率的集合）。记 中的元素 x为:,=,其中，满足：当X是离散的,当X是连续的,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,当 离散时，具有概率 ；当 连续时，从后果x到,的概率则为:,因此，对任一固定的X，中元素可仅由概率分布p来描述，在 和 的所有期望概率分布p之间具有一一对应的关系，可将元素 具有的概率p(x)分布写作 。考察到任一后果 是以多属性(,)为特征的，其中每一属性可视作具有边际概率分布的随机变量，记 的边际分布值为 。若记 =和 为 的本征子集，则 的边际概率分布记为 ，当 离散时，有:,()=),(2.34a),当连续时：()=(2.34b),其中，为 的补集后果值。,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,现在可将集 定义为由 产生的期望集，即,()=(2.35),于是，回顾一下 上的效用函数和 上的期望效用函数分别以u和U表示，条件 上的条件效用函数和 上的期望效用函数分别以 及 表示，为方便计，对 内的任一 及,内的,可写成:,()(2.36),(2.37),其中，为概率分布 p 的数学期望。,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,下面由,Fishburn,(1970)给出了效用函数加法形式的独立性条件。令 为 的特征子集，并联合为 ，这样导出的可加型效用函数称为价值独立，或边际独立，或相加独立性。,定义,：当且仅当 中的任意期望（展望）和 在 时(,i=1,2,.,m,)，,(2.38),成立，则称 为价值独立的。,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,2.4,效用函数形式,模型建立,背景综述,效用函数,效用理论,谢谢大家！,