高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案省公开课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.3.2,平面向量正交分解及坐标表示,2.3.3,平面向量坐标运算,1/58,【,知识提炼,】,1.,平面向量正交分解定义,把一个平面向量分解为两个,_,向量,.,2.,平面向量坐标表示,(1),基底：在平面直角坐标系中，分别取与,x,轴、,y,轴方向相同两个,_,i,，,j,作为,_.,相互垂直,单位向量,基底,2/58,(2),坐标：对于平面内一个向量,a,，有且仅有一对实数,x,，,y,，使得,a,=_,，则有序实数对,(x,，,y),叫做向量,a,坐标,.,(3),坐标表示：,a,=(x,，,y).,(4),特殊向量坐标：,i,=_,，,j,=_,，,0,=(0,，,0).,x,i,+y,j,(1,，,0),(0,，,1),3/58,3.,平面向量坐标运算,设向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),，,R,，则有下表：,文字描述,符号表示,加,法,两个向量和坐标分别等于这两个向量对应坐标_,a,+,b,=_,减,法,两个向量差坐标分别等于这两个向量对应坐标_,a,-,b,=_,和,差,(x,1,+x,2,，,y,1,+y,2,),(x,1,-x,2,，,y,1,-y,2,),4/58,文字描述,符号表示,数,乘,实数与向量积坐标等于用这个实数乘原来向量对应坐标,a,=_,主要,结论,一个向量坐标等于表示此,向量有向线段_,坐标减去_坐标,已知,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，,则,=_,(x,1,，,y,1,),终点,起点,(x,2,-x,1,，,y,2,-y,1,),5/58,【,即时小测,】,1.,思索以下问题,.,(1),与坐标轴平行向量坐标有什么特点？,提醒：,与,x,轴平行向量纵坐标为,0,，即,a,=(x,，,0),；与,y,轴平行向量横坐标为,0,，即,b,=(0,，,y).,6/58,(2),若把向量 平移到 ，则,和,坐标相同吗？,坐标,是,C,点坐标吗？,提醒：,相同，,坐标不是,C,点坐标，只有点,B,与原点,O,重合时,坐标才是,C,点坐标,.,7/58,2.,如图所表示，在矩形,ABCD,中，,AC,与,BD,交于点,O,，以下是正交分解,是,(),【,解析,】,选,B.,因为 ，则 是正交分解,8/58,3.,在平面直角坐标系内，已知,i,，,j,是两个相互垂直单位向量，若,a,=,i,-2,j,，则向量用坐标表示,a,=_.,【,解析,】,因为,i,，,j,是两个相互垂直单位向量，,所以,a,=(1,，,-2).,答案：,(1,，,-2),9/58,4.,若,a,=(2,，,3),，,b,=(-3,，,1),，则,a,+,b,=_.,【,解析,】,a,+,b,=(2,，,3)+(-3,，,1)=(-1,，,4).,答案：,(-1,，,4),10/58,5.,若点,M(3,，,5),，点,N(2,，,1),，用坐标表示向量,=_,【,解析,】,=(2,，,1)-(3,，,5)=(-1,，,-4).,答案：,(-1,，,-4),11/58,【,知识探究,】,知识点,1,平面向量正交分解及坐标表示,观察图形，回答以下问题：,12/58,问题,1,：点坐标与向量坐标有什么区分？,问题,2,：相等向量坐标相同吗？相等向量起点、终点一定相同吗？,13/58,【,总结提升,】,1.,解读平面向量坐标表示,(1),向量坐标只与始点和终点相对位置相关，而与它们详细位置无关,.,(2),向量确定后，向量坐标就被确定了,.,(3),引入向量坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一个是几何法，即用向量长度和方向表示；另一个是坐标法，即用一对有序实数表示,.,有了向量坐标表示，就能够将几何问题转化为代数问题来处理,.,14/58,2.,辨析点坐标与向量坐标,(1),平面向量坐标只有当起点在原点时，向量坐标才与向量终点坐标相同,.,(2),书写不一样：向量,a,=(x,，,y),中间用等号连接，而点坐标,A(x,，,y),中间没有等号,.,(3),在平面直角坐标系中，符号,(x,，,y),可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点,(x,，,y),或向量,(x,，,y).,15/58,(4),给定一个向量，它坐标是唯一，对应一对实数，因为向量能够平移，故以这对实数为坐标向量有没有穷多个,.,注意：,相等向量坐标是相同，不过两个相等向量起点、终点坐标却能够不一样,.,16/58,知识点,2,平面向量坐标运算,观察如图所表示内容，回答以下问题：,17/58,问题,1,：两个向量和与差、实数与向量积坐标怎样运算？,问题,2,：求向量 坐标需要哪些向量？,问题,3,：向量能够平移，平移前后它坐标发生改变吗？,18/58,【,总结提升,】,1.,两个向量和,(,差,),坐标,因为向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),等价于,a,=x,1,i,+y,1,j,，,b,=x,2,i,+y,2,j,，则,a,+,b,=(x,1,i,+y,1,j,)+(x,2,i,+y,2,j,)=(x,1,+x,2,),i,+(y,1,+y,2,),j,，即,a,+,b,=(x,1,+x,2,，,y,1,+y,2,),，同理可得,a,-,b,=(x,1,-x,2,，,y,1,-y,2,).,这就是说，两个向量和,(,差,),坐标分别等于这两个向量对应坐标和,(,差,).,19/58,2.,实数与向量积坐标,由,a,=(x,，,y),，可得,a,=x,i,+y,j,，则,a,=(x,i,+y,j,)=x,i,+y,j,.,从而,a,=(x,，,y).,这就是说实数与向量积坐标等于用这个实数乘原来向量对应坐标,.,20/58,【,题型探究,】,类型一,平面向量坐标表示,【,典例,】,1.,已知基向量,i,=(1,，,0),，,j,=(0,，,1),，,m,=4,i,-,j,，则,m,坐标,是,(,),A.(4,，,1),B.(-4,，,1),C.(4,，,-1),D.(-4,，,-1),2.,如图，取与,x,轴、,y,轴同向两个单位向量,i,，,j,作为,基底，分别用,i,，,j,表示 并求出它们坐标,.,21/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中向量,i,与向量,j,有什么关系？,提醒：,向量,i,与向量,j,垂直,.,2.,典例,2,中，点,A,，,B,坐标分别是多少，怎样用 表示,.,提醒：,A(6,，,2),，,B(2,，,4),，,22/58,【,解析,】,1.,选,C.,因为向量,i,与向量,j,垂直，,m,=4,i,-,j,，所以,m,=(4,，,-1).,2.,由图形可知，,=6,i,+2,j,，,=2,i,+4,j,，,=-4,i,+2,j,，它们坐标表示为：,=(6,，,2),，,=(2,，,4),，,=(-4,，,2).,23/58,【,方法技巧,】,求点和向量坐标惯用方法,(1),求一个点坐标，能够转化为求该点相对于坐标原点位置坐标,.,(2),求一个向量时，能够首先求出这个向量起点坐标和终点坐标，再利用终点坐标减去起点坐标得到该向量坐标,.,24/58,【,变式训练,】,已知边长为,1,正方形,ABCD,中，,AB,与,x,轴正半轴成,30,角，,则,=_,，,=_.,25/58,【,解析,】,由题知,B,，,D,分别是,30,，,120,角终边与单位圆交点,.,设,B(x,1,，,y,1,),，,D(x,2,，,y,2,).,由三角函数定义，得,x,1,=cos30=,y,1,=sin30=,，所以,x,2,=cos120=-,，,y,2,=sin120=,所以,所以,答案：,26/58,【,赔偿训练,】,在直角坐标系,xOy,中，向量,a,，,b,，,c,方向如图所表示，且,|,a,|=2,，,|,b,|=3,，,|,c,|=4,，分别计算出它们坐标,.,27/58,【,解题指南,】,题目中给出了向量,a,，,b,，,c,模以及与坐标轴夹角，要求向量坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标形式，然后写出其对应坐标,.,28/58,【,解析,】,设,a,=(a,1,，,a,2,),，,b,=(b,1,，,b,2,),，,c,=(c,1,，,c,2,),，,则,a,1,=|,a,|cos45=2,a,2,=|,a,|sin45=2,b,1,=|,b,|cos120=3,b,2,=|,b,|sin120=3,c,1,=|,c,|cos(-30)=4,c,2,=|,c,|sin(-30)=4,所以,a,=(,),，,b,=,，,c,=(2,，,-2).,29/58,类型二,平面向量坐标运算,【,典例,】,1.,已知平面上三个点,A(4,，,6),、,B(7,，,5),、,C(1,，,8),，,则,=_,，,=_.,2.,已知,a,=(1,，,2),，,b,=(-3,，,4),，求向量,a,+,b,，,a,-,b,，,3,a,-4,b,坐标,30/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中 ，坐标分别为多少？,提醒：,=(3,，,-1),，,=(-3,，,2).,2.,典例,2,中怎样求向量和、差、数乘坐标？,提醒：,直接利用平面向量坐标运算求解,.,31/58,【,解析,】,1.,因为,A(4,，,6),、,B(7,，,5),、,C(1,，,8),所以,=(7,，,5)-(4,，,6)=(3,，,-1),；,=(1,，,8)-(4,，,6)=(-3,，,2),；,=(3,，,-1)-(-3,，,2)=(6,，,-3),；,=2(3,，,-1)+(-3,，,2),=(6,，,-2)+,答案：,(6,，,-3),32/58,2.,a,+,b,=(1,，,2)+(-3,，,4)=(-2,，,6),；,a,-,b,=(1,，,2)-(-3,，,4)=(4,，,-2),；,3,a,-4,b,=3(1,，,2)-4(-3,，,4)=(15,，,-10),33/58,【,延伸探究,】,若典例,1,中条件不变，则 坐标是多少？,【,解析,】,因为,A(4,，,6),、,B(7,，,5),、,C(1,，,8),，所以,=(7,，,5)-(1,，,8)=(6,，,-3),，,=(4,，,6)-(7,，,5)=(-3,，,1),，,所以,34/58,【,方法技巧,】,平面向量坐标运算技巧,(1),若已知向量坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘运算法则进行,.,(2),若已知有向线段两端点坐标，则可先求出向量坐标，然后再进行向量坐标运算,.,(3),向量线性坐标运算可完全类比数运算进行,.,35/58,【,变式训练,】,1.,若向量,=(2,，,3),，,=(4,，,7),，则,=(),A.(-2,，,-4)B.(3,，,4),C.(6,，,10)D.(-6,，,-10),【,解析,】,选,A.,因为,=(2,，,3),，,=(4,，,7),，,36/58,2.,已知,a,=(-1,，,2),，,b,=(2,，,1),，求：,(1)2,a,+3,b,.(2),a,-3,b,.(3),.,【,解析,】,(1)2,a,+3,b,=2(-1,，,2)+3(2,，,1),=(-2,，,4)+(6,，,3)=(4,，,7),(2),a,-3,b,=(-1,，,2)-3(2,，,1)=(-1,，,2)-(6,，,3),=(-7,，,-1),37/58,【,赔偿训练,】,如图所表示，已知,ABC,，,A(7,，,8),，,B(3,，,5),，,C(4,，,3),，,M,，,N,，,D,分别是,AB,，,AC,，,BC,中点，且,MN,与,AD,交于点,F,，求 坐标,38/58,【,解析,】,因为,A(7,，,8),，,B(3,，,5),，,C(4,，,3),，,所以,=(3-7,，,5-8)=(-4,，,-3),，,=(4-7,，,3-8)=(-3,，,-5),又因为,D,是,BC,中点，,所以,因为,M,，,N,分别为,AB,，,AC,中点，所以,F,为,AD,中点,所以,39/58,类型三,由相等向量求坐标,【,典例,】,1.(,江苏高考,),已知向量,a,=(2,，,1),，,b,=(1,，,-2),，若,m,a,+n,b,=(9,，,-8)(m,，,nR),，则,m-n,值为,_.,2.,已知,A(2,，,4),、,B(-4,，,6),，若,则 坐标为,_.,3.,已知点,O(0,，,0),，,A(1,，,2),，,B(4,，,5),，及,(1)t,为何值时，点,P,在,x,轴上？点,P,在,y,轴上？,(2),四边形,OABP,能为平行四边形吗？若能，求出,t,值；若不能，说明理由,.,40/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中怎样利用,m,a,+n,b,=(9,，,-8),这个条件？,提醒：,先求出,m,a,+n,b,坐标，然后依据相等向量坐标对应相等求解,m,，,n.,2.,典例,2,中,能确定哪些点坐标？,提醒：,由,可确定点,C,坐标，由,可确定点,D,坐标,.,3.,典例,3,中点,P,在,x,轴上，在,y,轴上坐标有何特点？,提醒：,点,P,在,x,轴上，纵坐标为,0,，在,y,轴上横坐标为,0.,41/58,【,解析,】,1.,因为,a,=(2,，,1),，,b,=(1,，,-2),，所以,m,a,+n,b,=m(2,，,1)+n(1,，,-2),=(2m+n,，,m-2n).,又因为,m,a,+n,b,=(9,，,-8),，所以,解得,所以,m-n=-3.,答案：,-3,42/58,2.,设,C(x,，,y),，则由,得，,(x-2,，,y-4)=(-6,，,2),，解得,x=-7,，,y=7,，,即点,C,坐标为,C(-7,，,7),又设,D(m,，,n),，则由,得，,(m+4,，,n-6)=(6,，,-2),，,解得,m=4,，,n=,，即,D,点坐标为,(4,，,),故,答案：,43/58,3.(1)=(1,，,2)+t(3,，,3)=(1+3t,，,2+3t),，,若点,P,在,x,轴上，则,2+3t=0,，所以,t=-.,若点,P,在,y,轴上，则,1+3t=0,，所以,t=-.,(2)=(1,，,2),，,=(3-3t,，,3-3t),若四边形,OABP,为平行四边形，,则,所以 该方程组无解,故四边形,OABP,不能成为平行四边形,44/58,【,延伸探究,】,1.(,改变问法,),若本例,3,条件不变，问,t,为何值时，,B,为线段,AP,中点？,【,解析,】,由 得,所以当,t=2,时，,B,为线段,AP,中点,45/58,2.(,改变问法,),若本例,3,条件不变，问,t,为何值时，点,P,在第二象限？,【,解析,】,若点,P,在第二象限，则,所以,46/58,【,方法技巧,】,坐标形式下向量相等条件及其应用,(1),条件：相等向量对应坐标相等,.,(2),应用：利用坐标形式下向量相等条件，能够建立相等关系，由此可求一些参数值,.,47/58,【,变式训练,】,(,泰安高一检测,),已知向量,=(3,，,-4),，,=(6,，,-3),，,=(2,，,-6).,(1),若四边形,ABCD,为平行四边形，求,D,点坐标,.,(2),若 求实数 值,.,48/58,【,解析,】,(1),设,D,点坐标为,(m,，,n),，则,=(m,，,n),，,因为,=(3,，,-4),，,=(6,，,-3),，,=(2,，,-6),，,所以,=(6,，,-3)-(3,，,-4)=(3,，,1),，,=(2,，,-6)-(m,，,n)=(2-m,，,-6-n).,又因为四边形,ABCD,为平行四边形，,所以 所以 所以,所以,D,点坐标为,(-1,，,-7).,49/58,(2),因为,所以,(3,，,-4)=x(6,，,-3)+y(2,，,-6)=(6x+2y,，,-3x-6y),，,所以 解得,所以,50/58,【,赔偿训练,】,已知,A(1,，,-2),、,B(2,，,1),、,C(3,，,2),和,D(-2,，,3),，以,为一组基底来表示,【,解析,】,因为,=(1,，,3),，,=(2,，,4),，,=(-3,，,5),，,=(-4,，,2),，,=(-5,，,1),，,所以,=(-3,，,5)+(-4,，,2)+(-5,，,1)=(-12,，,8),依据平面向量基本定理，一定存在实数,m,、,n,，使得,51/58,所以,(-12,，,8)=m(1,，,3)+n(2,，,4),，,也就是,(-12,，,8)=(m+2n,，,3m+4n),，,即 解得,m=32,，,n=-22.,所以,52/58,易错案例,向量坐标与点坐标,【,典例,】,(,湛江高一检测,),已知点,A(2,，,3),，,B(5,，,4),，,C(7,，,10),，,若第三象限点,P,满足 则实数,取值范围为,(),53/58,【,失误案例,】,54/58,【,错解分析,】,分析解题过程，你知道错在哪里吗？,提醒：,错误根本原因是混同了向量 坐标与点,P,坐标，误认为,(3+5,，,1+7,),为,P,坐标,.,55/58,【,自我矫正,】,选,A.,方法一：设,P(x,，,y),，则,=(x-2,，,y-3),，,又,于是可得，,(x-2,，,y-3)=(3+5,，,1+7),，,所以 即,因为点,P,在第三象限，所以 解得,-1.,故所求实数,取值范围是,(-,，,-1),56/58,方法二：,所以,P(5+5,，,4+7),，,因为点,P,在第三象限内，,所以 所以,-1.,57/58,【,防范办法,】,明确向量坐标与点坐标关注点,(1),明确向量坐标与点坐标概念，当且仅当向量起点为坐标原点时，向量坐标与其终点坐标相同,.,(2),明确向量坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量坐标运算是解题关键,.,58/58,