分析力学基础(6).ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,广义能量守恒,循环坐标与循环积分,广义动量守恒,质点系的动能表达,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,结论和讨论,循环坐标与循环积分,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,循环坐标,循环坐标与循环积分,N,个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程,(,j=,1,2,N,),L,T,V,拉格朗日函数,如果,L,中不含某个广义坐标,则这个坐标称为循环坐标（可遗坐标）。,由,n,个质点所,组成的质点系,q,i,是循环坐标，即有,循环坐标与循环积分,循环积分,拉格朗日方程成为,于是得到一个首次积分,循环积分,广义动量守恒,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,广义动量守恒,广义动量,广义动量,p,i,定义为,广义动量为动能对广义速度的偏导数,广义动量,p,i,是标量,广义动量守恒,广义动量守恒,有几个循环坐标，就有几个首次积分，也就有几个广义动量积分（广义动量守恒）。,广义动量守恒对应的物理意义是动量守恒和动量矩守恒。,例 题 1,广义动量守恒,质点的抛射运动,因为,L,不含,x,y,所以,x,y,是循环坐标，得到两个方向动量守恒,例 题 2,质点的有心运动,广义动量守恒,极坐标下拉格朗日函数为,是循环坐标，循环积分为,动量矩守恒,质点系的动能表达,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,N,个自由度,由,n,个质点所,组成的质点系,广义坐标,第,i,个质,点的位矢,质点系的动能表达,第,i,个质点的速度矢量,速度的平方,质点系的动能表达,第,i,个质点的速度矢量,质点系的动能表达,动能,质点系的动能表达,所以,其中,是,的函数，,当,r,i,不显含时间,t,，,T,0,=,T,1,=0，,动能,质点系的动能表达,分别是零次、一次和二次齐式,对广义速度,来说，,广义速度的二次齐式,动能齐次式的性质,质点系的动能表达,求导数后得：,所以,质点系的动能表达,证明：,设,为,k,个广义速度的,h,次齐次函数，若以,将上式对,求导，得,令,=1，则有,质点系的动能表达,证毕,广义能量守恒,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,由,n,个质点所,组成的质点系,N,个自由度质点系统在有势力场中的拉格朗日方程,(,j=,1,2,N,),势函数,V,与广义速度,无关，所以,广义能量守恒,广义能量守恒,目的：寻求广义能量守恒的条件,利用拉格朗日方程，上式右端第二项成为,广义能量守恒,上式代入到第一式中，得到,广义能量守恒,移项后得：,上式左端括号中的项称为,广义能量,，记为,h,广义能量守恒,广义能量：,代入,得到：,广义能量守恒,广义能量和广义能量对时间,的,化率分别为,如果,则得到广义能量积分,广义能量守恒,如果拉格朗日函数,L,不显含时间,t,那末广义能量,h,守恒。,对于定常系统，,T,0,=0,T,=,T,2,广义能量积分,机械能守恒,解：,建立坐标轴,xOy,=,t,质点的坐标为,例 题 3,广义能量守恒,y,O,m,x,a,半径为,a,的圆环以匀角速度,绕,O,轴在水平面内运动，环上有一质量为,m,的质点。,求,质点运动微分方程的首次积分,约束方程是,约束方程显含时间,t,所以是非定常系统,例 题 3,广义能量守恒,y,O,m,x,a,因为,V,=0，,所以拉格朗日函数,L,=,T,因为,L,中无循环坐标，所以没有广义动量积分，但,L,中不显含时间,t,所以存在广义能量积分,其中,例 题 3,广义能量守恒,y,O,m,x,a,由此得：,质点的广义能量守恒，但是机械能不守恒。,第,6,章 拉格朗日方程的首次积分,结论和讨论,结论和讨论,对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。,保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：循环积分、能量积分。,一、循环积分,如果拉格朗日函数,L,中不显含某一广义坐标,q,r,则该坐标称为保守系统的,循环坐标或可遗坐标,。,广义动量守恒（包含动量或动量矩守恒）,结论和讨论,二、广义能量积分,设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数,L,=,T,-,V,中不显含时间,t,，,则,广义能量守恒,对于定常系统，,T,0,=0,T,=,T,2,机械能守恒,结论和讨论,一个系统的广义能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。,循环积分和广义能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。,结论和讨论,例 题 4,楔形体重,P,，,斜面倾角,，置于光滑水平面上。均质圆柱体重,Q,，,半径为,r,，,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求:(1)系统的运动微分方程；(2)系统的能量积分与循环积分。,解：,研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想约束，具有两个自由度。取广义坐标为,x,s,；,各坐标原点均在初始位置。,结论和讨论,系统的动能：,系统的势能：,取水平面为重力势能零点。,例 题 4,结论和讨论,拉格朗日函数：,代入保守系统拉格朗日方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。,（,d,）,例 题 4,结论和讨论,拉格朗日函数,L,中不显含,t,，,故系统存在能量积分:,例 题 4,当,t,=0,时，,x,=,s,=0,代入上式中，得,结论和讨论,例 题 4,能量积分(机械能守恒）,:,结论和讨论,例 题 4,由于拉格朗日函数,L,中不显含广义坐标,x,，,故,x,为系统循环坐标，故有循环积分：,t,=0,时 ，故上式中,C,2,=0，,可得,动量守恒（,x,方向）,谢谢大家,