资源描述
,13.2,综正当、分析法与反证法,1/85,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/85,基础知识自主学习,3/85,1.,综正当,知识梳理,(1),定义：从,出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过,，一步一步地靠近要证实,，直到完成命题证实,.,我们把这么思维方法称为,.,(2),框图表示：,(,其中,P,表示已知条件、已经有定义、公理、定理等，,Q,表示要证实结论,).,命题条件,演绎推理,结论,综正当,4/85,2.,分析法,(1),定义：从,出发，一步一步地探索确保前一个结论成立,，直到归结为这个命题条件，或者归结为定义、公理、定理等,.,我们把这么思维方法称为,.,求证结论,充分条件,分析法,5/85,3.,反证法,我们能够先假定命题结论,，在这个前提下，若推出结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论反面不可能成立，由此断定命题结论成立,.,这种证实方法叫作反证法,.,反证法证题步骤是：,(1),作出否定结论假设；,(2),进行推理，导出,；,(3),否定假设，必定,.,反面成立,矛盾,结论,6/85,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),综正当是直接证实，分析法是间接证实,.(,),(2),分析法是从要证实结论出发，逐步寻找使结论成立充要条件,.(,),(3),用反证法证实结论,“,a,b,”,时，应假设,“,a,b,”.,(,),(4),反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾,.(,),(5),在处理问题时，常惯用分析法寻找解题思绪与方法，再用综正当展现处理问题过程,.(,),思索辨析,7/85,考点自测,1.,若,a,，,b,，,c,为实数，且,a,b,0,，则以下命题正确是,答案,解析,a,2,ab,a,(,a,b,),，,a,b,0,，,a,b,0,，,a,2,ab,.,又,ab,b,2,b,(,a,b,)0,，,ab,b,2,，,由,得,a,2,ab,b,2,.,8/85,2.(,北京,),袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占二分之一,.,甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，假如这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，不然就放入丙盒,.,重复上述过程，直到袋中全部球都被放入盒中，则,A.,乙盒中黑球不多于丙盒中黑球,B.,乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,C.,乙盒中红球不多于丙盒中红球,D.,乙盒中黑球与丙盒中红球一样多,答案,解析,9/85,取两个球往盒子中放有,4,种情况：,红红，则乙盒中红球数加,1,；,黑黑，则丙盒中黑球数加,1,；,红黑,(,红球放入甲盒中,),，则乙盒中黑球数加,1,；,黑红,(,黑球放入甲盒中,),，则丙盒中红球数加,1.,因为红球和黑球个数一样，所以,和,情况一样多,.,和,情况完全随机，,和,对,B,选项中乙盒中红球数与丙盒中黑球数没有任何影响,.,和,出现次数是一样，所以对,B,选项中乙盒中红球数与丙盒中黑球数影响次数一样,.,综上选,B.,10/85,a,2,b,2,1,a,2,b,2,0,(,a,2,1)(,b,2,1),0.,答案,解析,11/85,a,0,，,b,0,且,a,b,答案,解析,12/85,答案,解析,13/85,f,(,x,),sin,x,在区间,(0,，,),上是凸函数，且,A,、,B,、,C,(0,，,).,14/85,题型分类深度剖析,15/85,题型一综正当应用,例,1,(,重庆模拟,),设,a,，,b,，,c,均为正数，且,a,b,c,1.,证实：,证实,由,a,2,b,2,2,ab,，,b,2,c,2,2,bc,，,c,2,a,2,2,ac,，,得,a,2,b,2,c,2,ab,bc,ca,，,由题设得,(,a,b,c,),2,1,，,即,a,2,b,2,c,2,2,ab,2,bc,2,ca,1.,所以,3(,ab,bc,ca,),1,，即,ab,bc,ca,.,16/85,证实,17/85,(1),综正当是,“,由因导果,”,证实方法，它是一个从已知到未知,(,从题设到结论,),逻辑推理方法，即从题设中已知条件或已证真实判断,(,命题,),出发，经过一系列中间推理，最终导出所要求证结论真实性,.(2),综正当逻辑依据是三段论式演绎推理,.,思维升华,18/85,跟踪训练,1,对于定义域为,0,1,函数,f,(,x,),，假如同时满足：,对任意,x,0,1,，总有,f,(,x,),0,；,f,(1),1,；,若,x,1,0,，,x,2,0,，,x,1,x,2,1,，都有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),成立，则称函数,f,(,x,),为理想函数,.,(1),若函数,f,(,x,),为理想函数，证实：,f,(0),0,；,证实,取,x,1,x,2,0,，则,x,1,x,2,0,1,，,f,(0,0),f,(0),f,(0),，,f,(0),0.,又对任意,x,0,1,，总有,f,(,x,),0,，,f,(0),0.,于是,f,(0),0.,19/85,解答,20/85,对于,f,(,x,),2,x,，,x,0,1,，,f,(1),2,不满足新定义中条件,，,f,(,x,),2,x,(,x,0,1,),不是理想函数,.,对于,f,(,x,),x,2,，,x,0,1,，显然,f,(,x,),0,，且,f,(1),1.,对任意,x,1,，,x,2,0,1,，,x,1,x,2,1,，,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),即,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,).,f,(,x,),x,2,(,x,0,1,),是理想函数,.,21/85,综上，,f,(,x,),x,2,(,x,0,1,),是理想函数，,即,f,2,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),2,.,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),，不满足条件,.,22/85,题型二分析法应用,证实,23/85,24/85,所以,cos,x,1,cos,x,2,0,，,sin(,x,1,x,2,)0,1,cos(,x,1,x,2,)0,，,故只需证实,1,cos(,x,1,x,2,)2cos,x,1,cos,x,2,，,即证,1,cos,x,1,cos,x,2,sin,x,1,sin,x,2,2cos,x,1,cos,x,2,，,即证,cos(,x,1,x,2,)0,0,，,28/85,(1),逆向思索是用分析法证题主要思想，经过反推，逐步寻找使结论成立充分条件,.,正确把握转化方向是使问题顺利获解关键,.,(2),证实较复杂问题时，能够采取两头凑方法，即经过分析法找出某个与结论等价,(,或充分,),中间结论，然后经过综正当证实这个中间结论，从而使原命题得证,.,思维升华,29/85,跟踪训练,2,(,重庆月考,),设,a,0,，,b,0,2,c,a,b,，求证：,(1),c,2,ab,；,证实,30/85,证实,(,a,c,),2,c,2,ab,a,(,a,b,2,c,)0,成立，,原不等式成立,.,31/85,题型三反证法应用,命题点,1,证实否定性命题,例,3,等差数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，,a,1,1,，,S,3,9,3 .,(1),求数列,a,n,通项,a,n,与前,n,项和,S,n,；,解答,32/85,(2),设,b,n,(,n,N,),，求证：数列,b,n,中任意不一样三项都不可能成为等比数列,.,证实,33/85,p,r,，与,p,r,矛盾,.,假设不成立，即数列,b,n,中任意不一样三项都不可能成为等比数列,.,34/85,命题点,2,证实存在性问题,例,4,(,济南模拟,),若,f,(,x,),定义域为,a,，,b,，值域为,a,，,b,(,a,1,，所以,b,3.,g,(1),1,，,g,(,b,),b,，,36/85,(2),是否存在常数,a,，,b,(,a,2),，使函数,h,(,x,),是区间,a,，,b,上,“,四维光军,”,函数？若存在，求出,a,，,b,值；若不存在，请说明理由,.,解答,解得,a,b,，这与已知矛盾,.,故不存在,.,37/85,命题点,3,证实唯一性命题,例,5,已知,M,是由满足下述条件函数组成集合：对任意,f,(,x,),M,，,方程,f,(,x,),x,0,有实数根；,函数,f,(,x,),导数,f,(,x,),满足,0,f,(,x,)1.,解答,38/85,当,x,0,时，,f,(0),0,，所以方程,f,(,x,),x,0,有实数根,0,；,39/85,(2),集合,M,中元素,f,(,x,),含有下面性质：若,f,(,x,),定义域为,D,，则对于任意,m,，,n,D,，都存在,x,0,(,m,，,n,),，使得等式,f,(,n,),f,(,m,),(,n,m,),f,(,x,0,),成立,.,试用这一性质证实：方程,f,(,x,),x,0,有且只有一个实数根,.,证实,40/85,假设方程,f,(,x,),x,0,存在两个实数根,，,(,),，则,f,(,),0,，,f,(,),0.,不妨设,，依据题意存在,c,(,，,),，,满足,f,(,),f,(,),(,),f,(,c,).,因为,f,(,),，,f,(,),，且,，所以,f,(,c,),1.,与已知,0,f,(,x,)1,矛盾,.,又,f,(,x,),x,0,有实数根，,所以方程,f,(,x,),x,0,有且只有一个实数根,.,41/85,应用反证法证实数学命题，普通有以下几个步骤：,第一步：分清命题,“,p,q,”,条件和结论；,第二步：作出与命题结论,q,相反假设,綈,q,；,第三步：由,p,和,綈,q,出发，应用正确推理方法，推出矛盾结果；,第四步：断定产生矛盾结果原因在于开始所作假设,綈,q,不真，于是原结论,q,成立，从而间接地证实了命题,p,q,为真,.,所说矛盾结果，通常是指推出结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与暂时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果,.,思维升华,42/85,证实,43/85,f,(,x,),图像与,x,轴有两个不一样交点，,f,(,x,),0,有两个不等实根,x,1,，,x,2,，,f,(,c,),0,，,x,1,c,是,f,(,x,),0,根，,44/85,证实,45/85,典例,(12,分,),直线,y,kx,m,(,m,0),与椭圆,W,：,y,2,1,相交于,A,、,C,两点，,O,是坐标原点,.,(1),当点,B,坐标为,(0,1),，且四边形,OABC,为菱形时，求,AC,长；,(2),当点,B,在,W,上且不是,W,顶点时，证实：四边形,OABC,不可能为菱形,.,反证法在证实题中应用,思想与方法系列,26,思想方法指导,规范解答,46/85,在证实否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证实，应用反证法需注意：,(1),掌握反证法证实思绪及证题步骤，正确作出假设是反证法基础，应用假设是反证法基本伎俩，得到矛盾是反证法目标,.,(2),当证实结论和条件联络不显著、直接证实不清楚或正面证实分类较多、而反面情况只有一个或较少时，常采取反证法,.,(3),利用反证法证实时，一定要回到结论上去,.,返回,47/85,(1),解,因为四边形,OABC,为菱形，,则,AC,与,OB,相互垂直平分,.,因为,O,(0,0),，,B,(0,1),，,(2),证实,假设四边形,OABC,为菱形，,因为点,B,不是,W,顶点，且,AC,OB,，所以,k,0.,48/85,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,C,(,x,2,，,y,2,),，则,因为,M,为,AC,和,OB,交点，且,m,0,，,k,0,，,49/85,所以,OABC,不是菱形，与假设矛盾,.,所以当点,B,不是,W,顶点时，四边形,OABC,不可能是菱形,.,12,分,返回,50/85,课时作业,51/85,1.(,泰安质检,),用反证法证实命题,“,设,a,，,b,为实数，则方程,x,2,ax,b,0,最少有一个实根,”,时，要做假设是,A.,方程,x,2,ax,b,0,没有实根,B.,方程,x,2,ax,b,0,至多有一个实根,C.,方程,x,2,ax,b,0,至多有两个实根,D.,方程,x,2,ax,b,0,恰好有两个实根,答案,解析,因为,“,方程,x,2,ax,b,0,最少有一个实根,”,等价于,“,方程,x,2,ax,b,0,有一个实根或两个实根,”,，所以该命题否定是,“,方程,x,2,ax,b,0,没有实根,”.,故选,A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/85,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/85,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/85,当且仅当,x,y,z,时等号成立,.,A.,都大于,2 B.,最少有一个大于,2,C.,最少有一个大于,2 D.,最少有一个小于,2,所以三个数中最少有一个大于,2,，故选,C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,55/85,4.,已知,p,3,q,3,2,，证实：,p,q,2.,用反证法证实时，可假设,p,q,2,；,若,a,，,b,R,，,|,a,|,|,b,|2,，故,中假设错误；,对于,，其假设正确，故选,D.,56/85,5.,设,a,，,b,是两个实数，给出以下条件：,a,b,1,；,a,b,2,；,a,b,2,；,a,2,b,2,2,；,ab,1.,其中能推出：,“,a,，,b,中最少有一个大于,1,”,条件是,A.,B.,C.,D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/85,但,a,1,，,b,2,，故,推不出；,若,a,2,，,b,3,，则,ab,1,，故,推不出；,对于,，即,a,b,2,，,则,a,，,b,中最少有一个大于,1,，,反证法：假设,a,1,且,b,1,，,则,a,b,2,与,a,b,2,矛盾，,所以假设不成立，,a,，,b,中最少有一个大于,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/85,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,59/85,7.(,全国甲卷,),有三张卡片，分别写有,1,和,2,1,和,3,2,和,3.,甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙卡片后说：,“,我与乙卡片上相同数字不是,2,”,，乙看了丙卡片后说：,“,我与丙卡片上相同数字不是,1,”,，丙说：,“,我卡片上数字之和不是,5,”,，则甲卡片上数字是,_.,答案,解析,1,和,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/85,由丙说：,“,我卡片上数字之和不是,5,”,可知，,丙为,“,1,和,2,”,或,“,1,和,3,”,，,又乙说,“,我与丙卡片上相同数字不是,1,”,，,所以乙只可能为,“,2,和,3,”,，,又甲说,“,我与乙卡片上相同数字不是,2,”,，,所以甲只能为,“,1,和,3,”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/85,若二次函数,f,(,x,),0,在区间,1,1,内恒成立，,8.,若二次函数,f,(,x,),4,x,2,2(,p,2),x,2,p,2,p,1,，在区间,1,1,内最少存在一点,c,，使,f,(,c,)0,，则实数,p,取值范围是,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,62/85,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证实,63/85,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/85,所以要证不等式成立,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/85,由函数,f,(,x,1),与,f,(,x,),图像关于,y,轴对称，可知,f,(,x,1),f,(,x,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证实,66/85,(1),证实：函数,f,(,x,),在,(,1,，,),上为增函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证实,67/85,任取,x,1,，,x,2,(,1,，,),，,不妨设,x,1,0.,a,1,，,1,且,ax,1,0,，,0.,又,x,1,10,，,x,2,10,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,68/85,故函数,f,(,x,),在,(,1,，,),上为增函数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,69/85,(2),用反证法证实方程,f,(,x,),0,没有负数根,.,证实,假设存在,x,0,1,，,0,ax,0,1,，,故方程,f,(,x,),0,没有负数根,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,70/85,12.(,陕西,),设,f,n,(,x,),是等比数列,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,各项和，其中,x,0,，,n,N,，,n,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证实,71/85,F,n,(,x,),f,n,(,x,),2,1,x,x,2,x,n,2,，,则,F,n,(1),n,1,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,72/85,又,F,n,(,x,),1,2,x,nx,n,1,0(,x,0),，,因为,x,n,是,F,n,(,x,),零点，所以,F,n,(,x,n,),0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,73/85,(2),设有一个与上述等比数列首项、末项、项数分别相同等差数列，其各项和为,g,n,(,x,),，比较,f,n,(,x,),与,g,n,(,x,),大小，并加以证实,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,74/85,设,h,(,x,),f,n,(,x,),g,n,(,x,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,),；,75/85,所以,h,(,x,),在,(0,1),上递增，在,(1,，,),上递减，,所以,h,(,x,),h,(1),0,，即,f,n,(,x,),g,n,(,x,),，,总而言之，当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,),；,当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,76/85,方法二,由题设，,f,n,(,x,),1,x,x,2,x,n,，,当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,),，,当,x,1,时，用数学归纳法能够证实,f,n,(,x,),g,n,(,x,),，,所以,f,2,(,x,),g,2,(,x,),成立，,假设,n,k,(,k,2),时，不等式成立，即,f,k,(,x,),g,k,(,x,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,77/85,那么，当,n,k,1,时，,f,k,1,(,x,),f,k,(,x,),x,k,1,g,k,(,x,),x,k,1,令,h,k,(,x,),kx,k,1,(,k,1),x,k,1(,x,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,78/85,则,h,k,(,x,),k,(,k,1),x,k,k,(,k,1),x,k,1,k,(,k,1),x,k,1,(,x,1),，,所以当,0,x,1,时，,h,k,(,x,),0,，,h,k,(,x,),在,(0,1),上递减；,当,x,1,时，,h,k,(,x,),0,，,h,k,(,x,),在,(1,，,),上递增，,所以,h,k,(,x,),h,k,(1),0,，,故,f,k,1,(,x,),g,k,1,(,x,),，即,n,k,1,时不等式也成立，,由,和,知，对一切,n,2,整数，都有,f,n,(,x,),g,n,(,x,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,79/85,方法三,由已知，记等差数列为,a,k,，等比数列为,b,k,，,k,1,，,2,，,，,n,1,，,则,a,1,b,1,1,，,a,n,1,b,n,1,x,n,，,b,k,x,k,1,(2,k,n,),，,令,m,k,(,x,),a,k,b,k,当,x,1,时，,a,k,b,k,1,，所以,f,n,(,x,),g,n,(,x,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,80/85,(,k,1),x,k,2,(,x,n,k,1,1),，,而,2,k,n,，所以,k,1,0,，,n,k,1,1,，,若,0,x,1,，,x,n,k,1,1,，,m,k,(,x,),0,；,若,x,1,，,x,n,k,1,1,，,m,k,(,x,),0,，,从而,m,k,(,x,),在,(0,1),上递减，在,(1,，,),上递增，,所以,m,k,(,x,),m,k,(1),0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,81/85,所以当,x,0,且,x,1,时，,a,k,b,k,(2,k,n,),，,又,a,1,b,1,，,a,n,1,b,n,1,，,故,f,n,(,x,),g,n,(,x,),，,总而言之，当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,),；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当,x,1,时，,f,n,(,x,),g,n,(,x,).,82/85,*13.(,课标全国,),设,a,，,b,，,c,，,d,均为正数，且,a,b,c,d,，证实：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题设,a,b,c,d,，,ab,cd,，,证实,83/85,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证实,84/85,因为,a,b,c,d,，所以,ab,cd,，于是,(,a,b,),2,(,a,b,),2,4,ab,(,c,d,),2,4,cd,(,c,d,),2,.,若,|,a,b,|,|,c,d,|,，则,(,a,b,),2,(,c,d,),2,即,(,a,b,),2,4,ab,(,c,d,),2,4,cd,.,因为,a,b,c,d,，所以,ab,cd,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以,|,a,b,|,|,c,d,|.,85/85,
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