高考数学复习第八章立体几何与空间向量高考专题突破四高考中的立体几何问题市赛课公开课一等奖省名师优质课.pptx

剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,高考中立体几何问题,高考专题突破四,1/93,考点自测,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/93,考点自测,3/93,1,2,3,4,5,解析,答案,1.,在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,为,BC,中点，,E,为,A,1,C,1,中点，则,DE,与平面,A,1,B,1,BA,位置关系为,A.,相交,B.,平行,C.,垂直相交,D.,不确定,4/93,1,2,3,4,5,解析,如图取,B,1,C,1,中点为,F,，连接,EF,，,DF,，,则,EF,A,1,B,1,，,DF,B,1,B,，,且,EF,DF,F,，,A,1,B,1,B,1,B,B,1,，,平面,EFD,平面,A,1,B,1,BA,，,DE,平面,A,1,B,1,BA,.,5/93,1,2,4,5,解析,3,答案,2.,设,x,，,y,，,z,是空间中不一样直线或平面，对以下四种情形：,x,，,y,，,z,均为直线；,x,，,y,是直线，,z,是平面；,z,是直线，,x,，,y,是平面；,x,，,y,，,z,均为平面,.,其中使,“,x,z,且,y,z,x,y,”,为真命题是,A.,B.,C.,D.,解析,由正方体模型可知,为假命题；,由线面垂直性质定理可知,为真命题,.,6/93,1,2,4,5,3,解析,3.(,届黑龙江海林市朝鲜中学模拟,),已知某几何体三视图如图所表示，则该几何体表面积为,答案,7/93,1,2,4,5,3,解析,依据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形,(,侧视图,),，其余各侧面为矩形，,两底面面积为,四个侧面面积为,几何体表面积为,8/93,4.(,天津滨海新区模拟,),如图，以等腰直角三角形,ABC,斜边,BC,上高,AD,为折痕，把,ABD,和,ACD,折成相互垂直两个平面后，某学生得出以下四个结论：,BD,AC,；,BAC,是等边三角形；,三棱锥,D,ABC,是正三棱锥；,平面,ADC,平面,ABC,.,其中正确是,A.,B.,C.,D.,解析,答案,1,2,4,5,3,9/93,1,2,4,5,3,解析,由题意知，,BD,平面,ADC,，故,BD,AC,，,正确；,AD,为等腰直角三角形斜边,BC,上高，平面,ABD,平面,ACD,，所以,AB,AC,BC,，,BAC,是等边三角形，,正确；,易知,DA,DB,DC,，又由,知,正确；,由,知,错,.,故选,B.,10/93,解析,1,2,4,5,3,答案,或,5.(,沈阳调研,),设,，,，,是三个平面，,a,，,b,是两条不一样直线，有以下三个条件：,a,，,b,；,a,，,b,；,b,，,a,.,假如命题,“,a,，,b,，且,_,，则,a,b,”,为真命题，则能够在横线处填入条件是,_.(,把全部正确序号填上,),11/93,1,2,4,5,3,解析,由线面平行性质定理可知，,正确；,当,b,，,a,时，,a,和,b,在同一平面内，且没有公共点，所以平行，,正确,.,故应填入条件为,或,.,12/93,题型分类深度剖析,13/93,例,1,(,全国,),如图，菱形,ABCD,对角线,AC,与,BD,交于点,O,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,，将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,位置,.,(1),证实：,AC,HD,；,题型一求空间几何体表面积与体积,证实,14/93,故,AC,EF,，由此得,EF,HD,，折后,EF,与,HD,保持垂直关系，,即,EF,HD,，所以,AC,HD,.,15/93,解答,16/93,所以,OH,1,，,D,H,DH,3,，,故,OD,OH,.,由,(1),知,AC,HD,，又,AC,BD,，,BD,HD,H,，,BD,，,HD,平面,BHD,，,所以,AC,平面,BHD,，于是,AC,OD,，,17/93,又由,OD,OH,，,AC,OH,O,，,AC,，,OH,平面,ABC,，,所以,OD,平面,ABC,.,所以五棱锥,D,-,ABCFE,体积,18/93,(1),若所给定几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解,.,其中，等积转换法多用来求三棱锥体积,.,(2),若所给定几何体是不规则几何体，则将不规则几何体经过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解,.,(3),若以三视图形式给出几何体，则应先依据三视图得到几何体直观图，然后依据条件求解,.,思维升华,19/93,解答,跟踪训练,1,(,乌鲁木齐质检,),正三棱锥高为,1,，底面边长为,，内有一个球与它四个面都相切,(,如图,).,求：,(1),这个正三棱锥表面积；,20/93,21/93,解答,(2),这个正三棱锥内切球表面积与体积,.,22/93,解,设正三棱锥,P,ABC,内切球球心为,O,，连接,OP,，,OA,，,OB,，,OC,，,而,O,点到三棱锥四个面距离都为球半径,r,.,V,三棱锥,P,ABC,V,三棱锥,O,PAB,V,三棱锥,O,PBC,V,三棱锥,O,PAC,V,三棱锥,O,ABC,23/93,24/93,题型二空间点、线、面位置关系,例,2,(,广州五校联考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是菱形，,PA,PD,，,BAD,60,，,E,是,AD,中点，点,Q,在侧棱,PC,上,.,证实,(1),求证：,AD,平面,PBE,；,25/93,证实,由,E,是,AD,中点，,PA,PD,可得,AD,PE,.,因为底面,ABCD,是菱形，,BAD,60,，,所以,AB,BD,，所以,AD,BE,，,又,PE,BE,E,，,PE,，,BE,平面,PBE,，,所以,AD,平面,PBE,.,26/93,证实,(2),若,Q,是,PC,中点，求证：,PA,平面,BDQ,；,27/93,证实,连接,AC,，交,BD,于点,O,，连接,OQ,.,因为,O,是,AC,中点，,Q,是,PC,中点，,所以,OQ,PA,，,又,PA,平面,BDQ,，,OQ,平面,BDQ,，,所以,PA,平面,BDQ,.,28/93,解答,29/93,解,设四棱锥,P,BCDE,，,Q,ABCD,高分别为,h,1,，,h,2,.,30/93,(1),平行问题转化,思维升华,利用线线平行、线面平行、面面平行相互转化处理平行关系判定问题时，普通遵照从,“,低维,”,到,“,高维,”,转化，即从,“,线线平行,”,到,“,线面平行,”,，再到,“,面面平行,”,；而应用性质定理时，其次序恰好相反,.,在实际解题过程中，判定定理和性质定理普通要相互结合，灵活利用,.,31/93,(2),垂直问题转化,在空间垂直关系中，线面垂直是关键，已知线面垂直，既可为证实线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证实面面垂直作好铺垫,.,应用面面垂直性质定理时，普通需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题,.,32/93,证实,跟踪训练,2,如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,AC,，,E,是,BC,中点，求证：,(1),平面,AB,1,E,平面,B,1,BCC,1,；,33/93,证实,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CC,1,平面,ABC,.,因为,AE,平面,ABC,，所以,CC,1,AE,.,因为,AB,AC,，,E,为,BC,中点，所以,AE,BC,.,因为,BC,平面,B,1,BCC,1,，,CC,1,平面,B,1,BCC,1,，,且,BC,CC,1,C,，所以,AE,平面,B,1,BCC,1,.,因为,AE,平面,AB,1,E,，,所以平面,AB,1,E,平面,B,1,BCC,1,.,34/93,(2),A,1,C,平面,AB,1,E,.,证实,35/93,证实,连接,A,1,B,，设,A,1,B,AB,1,F,，连接,EF,.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，四边形,AA,1,B,1,B,为平行四边形，所以,F,为,A,1,B,中点,.,又因为,E,是,BC,中点，所以,EF,A,1,C,.,因为,EF,平面,AB,1,E,，,A,1,C,平面,AB,1,E,，,所以,A,1,C,平面,AB,1,E,.,36/93,题型三平面图形翻折问题,例,3,(,全国,),如图，菱形,ABCD,对角线,AC,与,BD,交于点,O,，,AB,5,，,AC,6,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,.,将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,位置，,OD,.,(1),证实：,D,H,平面,ABCD,；,证实,37/93,证实,由已知得,AC,BD,，,AD,CD,.,所以,EF,HD,，从而,EF,D,H,.,所以,OH,1,，,D,H,DH,3.,于是,D,H,2,OH,2,3,2,1,2,10,D,O,2,，故,D,H,OH,.,又,D,H,EF,，而,OH,EF,H,，,所以,D,H,平面,ABCD,.,38/93,解答,(2),求二面角,B,-,D,A,-,C,正弦值,.,39/93,解,如图，以,H,为坐标原点，,HF,，,HD,，,HD,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系，则,H,(0,0,0),，,A,(,3,，,1,0),，,B,(0,，,5,0),，,C,(3,，,1,0),，,设,m,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),是平面,ABD,法向量，则,所以可取,m,(4,3,，,5).,设,n,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),是平面,ACD,法向量，则,40/93,所以可取,n,(0,，,3,1).,41/93,平面图形翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系改变情况,.,普通地，翻折后还在同一个平面上性质不发生改变，不在同一个平面上性质发生改变,.,思维升华,42/93,跟踪训练,3,如图,(1),，四边形,ABCD,为矩形，,PD,平面,ABCD,，,AB,1,，,BC,PC,2,，作如图,(2),折叠，折痕,EF,DC,.,其中点,E,，,F,分别在线段,PD,，,PC,上，沿,EF,折叠后，点,P,叠在线段,AD,上点记为,M,，而且,MF,CF,.,证实,(1),证实：,CF,平面,MDF,；,几何画板展示,43/93,证实,因为,PD,平面,ABCD,，,AD,平面,ABCD,，,所以,PD,AD,.,又因为,ABCD,是矩形，,CD,AD,，,PD,CD,D,，,PD,，,CD,平面,PCD,，,所以,AD,平面,PCD,.,又,CF,平面,PCD,，所以,AD,CF,，即,MD,CF,.,又,MF,CF,，,MD,MF,M,，,MD,，,MF,平面,MDF,，,所以,CF,平面,MDF,.,44/93,解答,(2),求三棱锥,M,CDE,体积,.,45/93,解,因为,PD,DC,，,PC,2,，,CD,1,，,PCD,60,，,如图，过点,F,作,FG,CD,交,CD,于点,G,，,46/93,47/93,题型四立体几何中存在性问题,例,4,(,安徽江南名校联考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,AB,DC,，,AB,AD,，,DC,6,，,AD,8,，,BC,10,，,PAD,45,，,E,为,PA,中点,.,(1),求证：,DE,平面,BPC,；,证实,48/93,证实,取,PB,中点,M,，连接,EM,和,CM,，过点,C,作,CN,AB,，垂足为点,N,.,在平面,ABCD,内，,CN,AB,，,DA,AB,，,CN,DA,，,又,AB,CD,，,四边形,CDAN,为平行四边形，,CN,AD,8,，,DC,AN,6,，,在,Rt,BNC,中，,49/93,AB,12,，而,E,，,M,分别为,PA,，,PB,中点，,EM,AB,且,EM,6,，又,DC,AB,，,EM,CD,且,EM,CD,，四边形,CDEM,为平行四边形，,DE,CM,.,CM,平面,PBC,，,DE,平面,PBC,，,DE,平面,BPC,.,50/93,(2),线段,AB,上是否存在一点,F,，满足,CF,DB,？若存在，请求出二面角,F,PC,D,余弦值；若不存在，请说明理由,.,解答,51/93,解,由题意可得,DA,，,DC,，,DP,两两相互垂直，如图，以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DP,所在直线分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,Dxyz,，,则,A,(8,0,0),，,B,(8,12,0),，,C,(0,6,0),，,P,(0,0,8).,又平面,DPC,一个法向量为,m,(1,0,0),，,设平面,FPC,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,假设,AB,上存在一点,F,使,CF,BD,，设点,F,坐标为,(8,，,t,0)(0,t,12),，,52/93,又由图可知，该二面角为锐二面角，,53/93,对于线面关系中存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足条件，若满足则必定假设，若得出矛盾结论则否定假设,.,思维升华,54/93,跟踪训练,4,(,成都模拟,),如图，四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，侧棱,A,1,A,底面,ABCD,，,AB,DC,，,AB,AD,，,AD,CD,1,，,AA,1,AB,2,，,E,为棱,AA,1,中点,.,(1),证实：,B,1,C,1,CE,；,证实,55/93,证实,如图，以点,A,为原点，分别以,AD,，,AA,1,，,AB,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，由题意得,A,(0,0,0),，,B,(0,0,2),，,C,(1,0,1),，,B,1,(0,2,2),，,C,1,(1,2,1),，,E,(0,1,0).,56/93,(2),求二面角,B,1,CE,C,1,正弦值；,解答,57/93,设平面,B,1,CE,法向量,m,(,x,，,y,，,z,),，,消去,x,，得,y,2,z,0,，不妨令,z,1,，,可得一个法向量为,m,(,3,，,2,1).,由,(1),知，,B,1,C,1,CE,，又,CC,1,B,1,C,1,，,CC,1,CE,C,，,CC,1,，,CE,平面,CEC,1,，可得,B,1,C,1,平面,CEC,1,，,58/93,59/93,解答,60/93,设,为直线,AM,与平面,ADD,1,A,1,所成角，则,61/93,62/93,课时作业,63/93,基础保,分练,1.(,北京,),某四棱锥三视图如图所表示，则该四棱锥最长棱长度为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,64/93,解析,在正方体中还原该四棱锥，如图所表示，,可知,SD,为该四棱锥最长棱,.,由三视图可知正方体棱长为,2,，,故选,B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,65/93,解析,答案,2.(,沈阳质检,),如图所表示，已知平面,平面,l,，,.,A,，,B,是直线,l,上两点，,C,，,D,是平面,内两点，且,AD,l,，,CB,l,，,DA,4,，,AB,6,，,CB,8.,P,是平面,上一动点，且有,APD,BPC,，则四棱锥,P,ABCD,体积最大值是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,66/93,解析,由题意知，,PAD,，,PBC,是直角三角形，,又,APD,BPC,，所以,PAD,PBC,.,因为,DA,4,，,CB,8,，所以,PB,2,PA,.,作,PM,AB,于点,M,，由题意知，,PM,平面,.,令,BM,t,，则,AM,|6,t,|,，,PA,2,(6,t,),2,4,PA,2,t,2,，,所以,PA,2,4,t,12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,67/93,即为四棱锥,P,ABCD,高，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,68/93,解析,答案,3.(,云南省,11,校调研,),设已知,m,，,n,是两条不一样直线，,，,为两个不一样平面，有以下四个命题：,若,，,m,，,n,，则,m,n,；,若,m,，,n,，,m,n,，则,；,若,m,，,n,，,m,n,，则,；,若,m,，,n,，,，则,m,n,.,其中全部正确命题序号是,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,69/93,解析,对于,，当两个平面相互垂直时，分别位于这两个平面内两条直线未必垂直，所以,不正确；,对于,，依据结论,“,由空间一点向一个二面角两个半平面,(,或半平面所在平面,),引垂线，这两条垂线所成角与这个二面角平面角相等或互补,”,可知,正确；,对于,，分别与两条平行直线平行两个平面未必平行，所以,不正确；,对于,，由,n,得，在平面,内必存在直线,n,1,平行于直线,n,，由,m,，,得,m,，,m,n,1,，又,n,1,n,，所以有,m,n,，,正确,.,总而言之，全部正确命题序号是,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,70/93,解析,答案,4.,如图梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,ABC,90,，,AD,BC,AB,2,3,4,，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,中点，将四边形,ADFE,沿直线,EF,进行翻折，给出四个结论：,DF,BC,；,BD,FC,；,平面,DBF,平面,BFC,；,平面,DCF,平面,BFC,.,在翻折过程中，可能成立结论是,_.(,填写结论序号,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,71/93,解析,因为,BC,AD,，,AD,与,DF,相交不垂直，所以,BC,与,DF,不垂直，则,错误；,设点,D,在平面,BCF,上射影为点,P,，当,BP,CF,时就有,BD,FC,，而,AD,BC,AB,2,3,4,，可使条件满足，所以,正确；,当点,P,落在,BF,上时，,DP,平面,BDF,，从而平面,BDF,平面,BCF,，所以,正确；,因为点,D,投影不可能在,FC,上，,所以平面,DCF,平面,BFC,不成立，即,错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,72/93,解析,答案,5.,如图所表示，在棱长为,2,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,BC,中点，,点,P,在线段,D,1,E,上，则点,P,到直线,CC,1,距离最小值为,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,73/93,1,2,3,4,5,6,7,8,9,74/93,证实,6.(,烟台模拟,),如图，在四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AC,B,1,D,，,BB,1,底面,ABCD,，,E,，,F,，,H,分别为,AD,，,CD,，,DD,1,中点，,EF,与,BD,交于点,G,.,(1),证实：平面,ACD,1,平面,BB,1,D,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,75/93,证实,BB,1,平面,ABCD,，,AC,平面,ABCD,，,AC,BB,1,.,又,AC,B,1,D,，,BB,1,B,1,D,B,1,，,BB,1,，,B,1,D,平面,BB,1,D,，,AC,平面,BB,1,D,.,AC,平面,ACD,1,，,平面,ACD,1,平面,BB,1,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,76/93,证实,(2),证实：,GH,平面,ACD,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,77/93,证实,设,AC,BD,O,，连接,OD,1,.,E,，,F,分别为,AD,，,CD,中点，,EF,OD,G,，,G,为,OD,中点,.,H,为,DD,1,中点，,HG,OD,1,.,GH,平面,ACD,1,，,OD,1,平面,ACD,1,，,GH,平面,ACD,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,78/93,证实,7.(,青岛质检,),在平面四边形,ABCD,中，,AB,BD,CD,1,，,AB,BD,，,CD,BD,.,将,ABD,沿,BD,折起，使得平面,ABD,平面,BCD,，如图所表示,.,(1),求证：,AB,CD,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,79/93,证实,平面,ABD,平面,BCD,，平面,ABD,平面,BCD,BD,，,AB,平面,ABD,，,AB,BD,，,AB,平面,BCD,.,又,CD,平面,BCD,，,AB,CD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,80/93,解答,(2),若,M,为,AD,中点，求直线,AD,与平面,MBC,所成角正弦值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,81/93,解,过点,B,在平面,BCD,内作,BE,BD,，如图,.,由,(1),知,AB,平面,BCD,，,BE,平面,BCD,，,BD,平面,BCD,.,AB,BE,，,AB,BD,.,以,B,为坐标原点，分别以,BE,，,BD,，,BA,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,.,设平面,MBC,法向量为,n,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,82/93,取,z,0,1,，得平面,MBC,一个法向量,n,(1,，,1,1).,设直线,AD,与平面,MBC,所成角为,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,83/93,技能提升练,8.(,郑州模拟,),等边三角形,ABC,边长为,3,，点,D,，,E,分别是边,AB,，,AC,上点，且满足,，如图,1.,将,ADE,沿,DE,折起到,A,1,DE,位置，,使二面角,A,1,DE,B,为直二面角，连接,A,1,B,，,A,1,C,，如图,2.,证实,(1),求证：,A,1,D,平面,BCED,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,84/93,证实,因为等边三角形,ABC,边长为,3,，,在,ADE,中，,DAE,60,，由余弦定理得,从而,AD,2,DE,2,AE,2,，所以,AD,DE,.,折起后有,A,1,D,DE,，因为二面角,A,1,DE,B,是直二面角，,所以平面,A,1,DE,平面,BCED,，,又平面,A,1,DE,平面,BCED,DE,，,A,1,D,DE,，,所以,A,1,D,平面,BCED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,85/93,解答,(2),在线段,BC,上是否存在点,P,，使直线,PA,1,与平面,A,1,BD,所成角为,60,？若存在，求出,PB,长；若不存在，请说明理由,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,86/93,解,存在,.,理由：由,(1),可知,ED,DB,，,A,1,D,平面,BCED,.,以,D,为坐标原点，分别以,DB,，,DE,，,DA,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所表示空间直角坐标系,Dxyz,.,设,PB,2,a,(0,2,a,3),，作,PH,BD,于点,H,，,连接,A,1,H,，,A,1,P,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,87/93,要使直线,PA,1,与平面,A,1,BD,所成角为,60,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,88/93,拓展冲刺练,证实,9.(,合肥模拟,),如图，在梯形,ABCD,中，,AB,CD,，,AD,DC,CB,1,，,BCD,，四边形,BFED,为矩形，平面,BFED,平面,ABCD,，,BF,1.,(1),求证：,AD,平面,BFED,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,89/93,证实,在梯形,ABCD,中，,AB,2,AD,2,BD,2,，,AD,BD,.,平面,BFED,平面,ABCD,，平面,BFED,平面,ABCD,BD,，,DE,平面,BFED,，,DE,DB,，,DE,平面,ABCD,，,DE,AD,，又,DE,BD,D,，,AD,平面,BFED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,90/93,解答,(2),点,P,在线段,EF,上运动，设平面,PAB,与平面,ADE,所成锐二面角为,，试求,最小值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,91/93,解,由,(1),可建立以点,D,为坐标原点，分别以直线,DA,，,DB,，,DE,为,x,轴，,y,轴，,z,轴空间直角坐标系，如图所表示,.,设,n,1,(,x,，,y,，,z,),为平面,PAB,一个法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,92/93,n,2,(0,1,0),是平面,ADE,一个法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,93/93,