高考数学复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第三课时导数与函数的综合问题文市赛课公开课一等奖省名师.pptx

,3.2,导数应用,第,3,课时导数与函数综合问题,1/71,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/71,题型分类深度剖析,3/71,题型一导数与不等式相关问题,命题点,1,解不等式,例,1,设,f,(,x,),是定义在,R,上奇函数，,f,(2),0,，当,x,0,时，有,0,解集是,_.,答案,解析,(,，,2),(0,，,2),又,(2),0,，,当且仅当,0,x,0,，,此时,x,2,f,(,x,)0.,又,f,(,x,),为奇函数，,h,(,x,),x,2,f,(,x,),也为奇函数,.,故,x,2,f,(,x,)0,解集为,(,，,2),(0,，,2).,4/71,命题点,2,证实不等式,例,2,(,全国丙卷,),设函数,f,(,x,),ln,x,x,1.,(1),讨论,f,(,x,),单调性；,解答,由题设，,f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,f,(,x,),1,，令,f,(,x,),0,，解得,x,1.,当,0,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递减,.,5/71,(2),证实：当,x,(1,，,),时，,1 ,x,.,证实,由,(1),知，,f,(,x,),在,x,1,处取得最大值，最大值为,f,(1),0.,所以当,x,1,时，,ln,x,x,1.,故当,x,(1,，,),时，,ln,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(1,，,),时，,f,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),为单调增函数，所以,g,(,x,),g,(1),2,，,故,k,2.,所以实数,k,取值范围是,(,，,2.,10/71,引申探究,本题,(2),中，若改为存在,x,0,1,，,e,，使不等式,f,(,x,),成立，求实数,k,取值范围,.,解答,11/71,12/71,(1),利用导数解不等式思绪,已知一个含,f,(,x,),不等式，可得到和,f,(,x,),相关函数单调性，然后可利用函数单调性解不等式,.,(2),利用导数证实不等式方法,证实,f,(,x,),g,(,x,),，,x,(,a,，,b,),，能够结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，假如,F,(,x,)0,，则,F,(,x,),在,(,a,，,b,),上是减函数，同时若,F,(,a,),0,，由减函数定义可知，,x,(,a,，,b,),时，有,F,(,x,)0,，即证实了,f,(,x,),g,(,x,).,(3),利用导数处理不等式恒成立问题策略,首先要结构函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出对应含参不等式，从而求出参数取值范围,.,也可分离变量，结构函数，直接把问题转化为函数最值问题,.,思维升华,13/71,跟踪训练,1,已知函数,f,(,x,),x,2,ln,x,a,(,x,2,1),，,a,R,.,(1),当,a,1,时，求曲线,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线方程；,解答,当,a,1,时，,f,(,x,),x,2,ln,x,x,2,1,，,f,(,x,),2,x,ln,x,3,x,.,则曲线,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线斜率为,f,(1),3.,又,f,(1),0,，所以切线方程为,3,x,y,3,0.,14/71,(2),若当,x,1,时，,f,(,x,),0,恒成立，求,a,取值范围,.,解答,15/71,f,(,x,),2,x,ln,x,(1,2,a,),x,x,(2ln,x,1,2,a,),，其中,x,1.,所以函数,f,(,x,),在,1,，,),上单调递增,.,故,f,(,x,),f,(1),0.,若,x,1,，,，则,f,(,x,)0,，,所以函数,f,(,x,),在,1,，,),上单调递减，,16/71,所以当,x,1,，,),时，,f,(,x,),f,(1),0,，不符合题意,.,17/71,题型二利用导数研究函数零点问题,例,4,(,扬州模拟,),设函数,f,(,x,),x,e,x,a,sin,x,cos,x,(,a,R,，其中,e,是自然对数底数,).,(1),当,a,0,时，求,f,(,x,),极值；,解答,几何画板展示,18/71,当,a,0,时，,f,(,x,),x,e,x,，,f,(,x,),e,x,(,x,1),，,令,f,(,x,),0,，得,x,1.,列表以下：,x,(,，,1),1,(,1,，,),f,(,x,),0,f,(,x,),极小值,19/71,(2),若对于任意,x,0,，,，,f,(,x,),0,恒成立，求,a,取值范围；,解答,20/71,当,a,0,时，因为对于任意,x,0,，,，有,sin,x,cos,x,0,，,所以,f,(,x,),0,恒成立，即当,a,0,时，符合题意；,当,0,a,1,时，因为,f,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos 2,x,e,0,(0,1),a,cos 0,1,a,0,，,所以函数,f,(,x,),在,0,，,上为增函数,.,所以,f,(,x,),f,(0),0,，即当,01,时，,f,(0),1,a,0,，,21/71,设,f,(,),0,，其中,是,f,(,x,),0,中最靠近,x,0,零点,.,所以,f,(,x,),在,(0,，,),上为减函数，此时,f,(,x,)1,时，不符合题意,.,总而言之，,a,取值范围是,(,，,1.,22/71,(3),是否存在实数,a,，使得函数,f,(,x,),在区间,(0,，,),上有两个零点？若存在，求出,a,取值范围；若不存在，请说明理由,.,解答,23/71,当,a,1,时，,f,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos 2,x,.,令,g,(,x,),e,x,(,x,1),a,cos 2,x,，,则,g,(,x,),e,x,(,x,2),2,a,sin 2,x,，,24/71,且当,x,(0,，,x,0,),时，,f,(,x,)0,；,25/71,即函数,f,(,x,),在,(0,，,x,0,),上单调递减，,当,x,(0,，,x,0,),时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上递增,.,当,x,0,时，,f,(,x,)1,时，曲线,y,f,(,x,),与直线,y,b,有且仅有两个不一样交点,.,综上可知，,b,取值范围是,(1,，,).,29/71,题型三利用导数硕士活中优化问题,例,5,某商场销售某种商品经验表明，该商品每日销售量,y,(,单位：千克,),与销售价格,x,(,单位：元,/,千克,),满足关系式,y,10(,x,6),2,，其中,3,x,6,，,a,为常数,.,已知销售价格为,5,元,/,千克时，每日可售出该商品,11,千克,.,(1),求,a,值；,解答,30/71,(2),若该商品成本为,3,元,/,千克，试确定销售价格,x,值，使商场每日销售该商品所取得利润最大,.,解答,31/71,由,(1),可知，该商品每日销售量为,所以商场每日销售该商品所取得利润为,2,10(,x,3)(,x,6),2,，,3,x,6.,从而，,f,(,x,),10,(,x,6),2,2(,x,3)(,x,6),30(,x,4)(,x,6).,于是，当,x,改变时，,f,(,x,),，,f,(,x,),改变情况以下表：,x,(3,，,4),4,(4,，,6),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递增,极大值,42,单调递减,32/71,由上表可得，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得极大值，也是最大值,.,所以，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得最大值且最大值等于,42.,答,当销售价格为,4,元,/,千克时，商场每日销售该商品所取得利润最大,.,33/71,利用导数处理生活中优化问题四个步骤,(1),分析实际问题中各个量之间关系，列出实际问题数学模型，写出实际问题中变量之间函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求函数导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,点函数值大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点,.,(4),回归实际问题作答,.,思维升华,34/71,解答,35/71,解得,40,x,6.,因为,1,x,14,，所以,1,x,0,，得,x,0,，所以,f,(,x,),在区间,(1,，,14),上是增函数，,若该商品均衡价格不低于,6,百元，则函数,f,(,x,),在区间,6,，,14),上有零点，,答,若该商品均衡价格不低于每吨,6,百元，实数,a,取值范围是,(0,，,.,38/71,典例,(16,分,),设,f,(,x,),x,ln,x,，,g,(,x,),x,3,x,2,3.,(1),假如存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,成立，求满足上述条件最大整数,M,；,(2),假如对于任意,s,，,t,，,2,，都有,f,(,s,),g,(,t,),成立，求实数,a,取值,范围,.,一审条件挖隐含,审题路线图系列,规范解答,审题路线图,39/71,(1),存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,(,正确了解,“,存在,”,含义,),g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,M,挖掘,g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,隐含实质,g,(,x,),max,g,(,x,),min,M,求得,M,最大整数值,40/71,(2),对任意,s,，,t,，,2,都有,f,(,s,),g,(,t,),(,了解,“,任意,”,含义,),f,(,x,),min,g,(,x,),max,求得,g,(,x,),max,1,x,ln,x,1,恒成立,分离参数,a,a,x,x,2,ln,x,恒成立,求,h,(,x,),x,x,2,ln,x,最大值,41/71,a,h,(,x,),max,h,(1),1,a,1,返回,42/71,解,(1),存在,x,1,，,x,2,0,，,2,使得,g,(,x,1,),g,(,x,2,),M,成立，等价于,g,(,x,1,),g,(,x,2,),max,M,.,2,分,43/71,g,(,x,),max,g,(2),1.,则满足条件最大整数,M,4.,7,分,44/71,45/71,所以,a,1,，即实数,a,取值范围是,1,，,).16,分,返回,46/71,课时作业,47/71,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.,函数,f,(,x,),(,x,1),2,(,x,2),2,极大值是,_.,答案,解析,12,13,48/71,f,(,x,),(,x,1),2,(,x,2),2,，,令,f,(,x,),0,，得可能极值点,x,1,1,，,x,2,，,x,3,2.,当,x,改变时，,f,(,x,),，,f,(,x,),改变情况以下表：,f,(,x,),2(,x,1)(2,x,3)(,x,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/71,2.,已知曲线,y,x,2,a,ln,x,(,a,0),上任意一点处切线斜率为,k,，若,k,最小值为,4,，则此时切点坐标为,_.,答案,解析,(1,，,1),函数,y,x,2,a,ln,x,(,a,0),定义域为,x,|,x,0,，,当且仅当,x,1,时，,“,”,成立，,将,x,1,代入曲线方程得,y,1,，,故所求切点坐标是,(1,，,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/71,答案,解析,(0,，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/71,4.,若商品年利润,y,(,万元,),与年产量,x,(,百万件,),函数关系式：,y,x,3,27,x,123(,x,0),，则取得最大利润时年产量为,_,百万件,.,答案,解析,3,y,3,x,2,27,3(,x,3)(,x,3),，,当,0,x,0,；,当,x,3,时，,y,0,，,即,AB,最小值是,4,2ln 2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/71,a,c,0,时，,h,(,x,),f,(,x,),x,f,(,x,)0,，,此时函数,h,(,x,),单调递增,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/71,7.,若函数,f,(,x,),ax,2,4,x,3,在,0,，,2,上有最大值,f,(2),，则,a,取值范围是,_.,答案,解析,1,，,),f,(,x,),2,ax,4,，由,f,(,x,),在,0,，,2,上有最大值,f,(2),，,则要求,f,(,x,),在,0,，,2,上单调递增，,则,2,ax,4,0,在,0,，,2,上恒成立,.,当,a,0,时，,2,ax,4,0,恒成立；,当,a,1,，,f,(0),4,，则不等式,e,x,f,(,x,)e,x,3(,其中,e,为自然对数底数,),解集为,_.,答案,解析,设,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,(,x,R,),，,则,g,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,e,x,f,(,x,),f,(,x,),1,，,f,(,x,),f,(,x,)1,，,f,(,x,),f,(,x,),10,，,g,(,x,)0,，,y,g,(,x,),在定义域上单调递增，,e,x,f,(,x,)e,x,3,，,g,(,x,)3,，,g,(,x,),g,(0),，,x,0.,(0,，,),又,g,(0),e,0,f,(0),e,0,4,1,3,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/71,9.,已知函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,1,，若,f,(,x,),存在唯一零点,x,0,且,x,0,0,，则,a,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,2),当,a,0,时，,f,(,x,),3,x,2,1,有两个零点，不合题意，,故,a,0,，,f,(,x,),3,ax,2,6,x,3,x,(,ax,2),，,若,a,0,，由三次函数图象知,f,(,x,),有负数零点，不合题意，故,a,0.,又,a,0,，所以,a,0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(0,，,),时，,f,(,x,)0,时，,f,(,x,)0,，,g,(,x,)01.,当,1,x,0,时，,g,(,x,),x,.,设,h,(,x,),f,(,x,),x,，则,h,(,x,),x,e,x,1.,当,x,(,1,，,0),时，,0,x,1,，,0e,x,1,，,从而当,x,(,1,，,0),时，,h,(,x,)0,，,当,1,x,h,(0),0,，即,g,(,x,),1,且,x,0,时总有,g,(,x,)1.,则,0,x,e,x,0.,当,a,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),是增函数，,当,x,1,时，,f,(,x,),e,x,a,(,x,1)0.,所以函数,f,(,x,),存在零点，不满足题意,.,当,a,0,时，,f,(,x,),e,x,a,，,令,f,(,x,),0,，得,x,ln(,a,).,在,(,，,ln(,a,),上，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增，,所以当,x,ln(,a,),时，,f,(,x,),取最小值,.,函数,f,(,x,),不存在零点，等价于,f,(ln(,a,),e,ln(,a,),a,ln(,a,),a,2,a,a,ln(,a,)0,，解得,e,2,a,0,时，,f,(,x,),0,恒成立，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,x,1,不是,f,(,x,),极值点,.,故不存在实数,a,，使得,f,(,x,),在,x,1,处取得极值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,68/71,(2),设,g,(,x,),(,a,2),x,，若,x,0,，,e,，使得,f,(,x,0,),g,(,x,0,),成立，求实数,a,取值范围,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,69/71,当,0,x,1,时，,F,(,x,)1,时，,F,(,x,)0,，,F,(,x,),单调递增,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,70/71,x,2ln,x,20,，,x,(1,，,e),时，,G,(,x,)0,，,G,(,x,),单调递增，,G,(,x,),min,G,(1),1.,a,G,(,x,),min,1.,故实数,a,取值范围为,1,，,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,71/71,