概率论和数理统计之随机变量及其分布(PPT).ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,休息,结束,本资料,(zlio),来源,第一页，共一百页。,第二章,随机变量,(su j bin lin),及其分布,第二页，共一百页。,2.1 随机变量,(su j bin lin),例 总机某段时间内接到的 次数，,可用一个变量,(binling),X 来描述：,X=0，1，2，,随机变量,(su j bin lin),的概念,第三页，共一百页。,例,检测,一件产品,(chnpn),可能出现的两个结果，,也可以用一个变量来描述:,例 考虑“测试灯泡寿命这一试验，以 X 记灯泡的寿命以小时,(xiosh),计那么：,X=t，(t0),第四页，共一百页。,设 S 是随机试验,(shyn),E的样本空间，假设,定义,(dngy),那么,(n me),称 S 上的单值实值函数 X()为随机变量,随机变量一般用大写英文,字母,X,，,Y,，,Z,，,或小写希腊字母,，,，,表示,第五页，共一百页。,随机变量,是,上的映射，,此映射具有,(jyu),如下特点:,定义域,事件,(shjin),域,S,；,随机性,随机变量,X,的可能取值不止,(bzh),一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；,概率特性,X,以一定的概率取某个值或某些 值。,第六页，共一百页。,引入随机变量,(su j bin lin),的意义,有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以,(ky),通过随机变量的关系式表达出来。,如：单位时间内某 交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个,(y),随机变量。,收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫,第七页，共一百页。,可见，随机事件,(shjin),这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机事件,(shjin),是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量那么是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。,第八页，共一百页。,随机变量,(su j bin lin),分类,所有取值可以逐个,一一列举,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举。,第九页，共一百页。,例,有奖储蓄，20万户为一开奖,(ki jin),组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额,X,。,2.2 离散,(lsn),型随机变量及其分布律,第十页，共一百页。,例,有奖储蓄，20万户为一开奖,(ki jin),组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额,X,。,X,的可能,(knng),取值为：,0,4,40,400,4000,p,解：,4000，400，40，4，0,。,.0001,.0006,.7933,.2,.006,第十一页，共一百页。,假设随机变量,(su j bin lin),X 的可能取值是有限个或可列个，那么称 X 为离散型随机变量,(su j bin lin),。,定义,(dngy),描述,(mio sh),X,的概率特性常用,概率分布列,或,分布列,X,p,即,或,第十二页，共一百页。,概率分布的性质,(xngzh),非负性,正则性,概率分布的特征,(tzhng),第十三页，共一百页。,例1,一批产品的次品率为8%，从中抽取1件,进行检验，令 写出,X,的分布律.,X,的分布,(fnb),律为:,X,p,概率分布图:,0.08,0 1,x,y,0.92,解：,第十四页，共一百页。,两点分布,(fnb),(01分布,(fnb),),只取两个值的概率分布,分布,(fnb),律为：,X 1 0,p,k,p 1-p,0 p 1,或,第十五页，共一百页。,应用,(yngyng),场合,凡试验只有两个可能结果,(ji gu),，常用0 1分布描述，如产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超标等。,第十六页，共一百页。,10件产品中，有3件次品,(cpn),，任取两件，X是“抽得的次品,(cpn),数，求分布律。,X,可能,(knng),取值为,0，1，2,。,例,2,解：,第十七页，共一百页。,所以,(suy),，X的分布律为：,X,0,1,2,p,7/15,7/15,1/15,注 求分布律，首先弄清 X 确实切含义,(hny),及其所有可能取值。,第十八页，共一百页。,例3 上海的“天天彩中奖率为p，某人每天买 1 张，假设不中奖第二天继续买 1张，直至,(zhzh),中奖为止。求该人购置次数 X 的分布律。,X=k 表示,(biosh),购置了 k 张，前 k-1张都未中奖，第 k 张中了奖。,几何,(j h),分布,适用于试验首次成功的场合,解：,1 2 3 k-,1,k,第十九页，共一百页。,例4,一汽车沿一街道行驶,(xngsh),，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求,X,的概率分布。,A,i,=第,i,个路口遇红灯 ，,i=1，2，3,解:设,依题意,(t y),，,X,可取值,0，1，2，3,。,第二十页，共一百页。,P X=0,=,P(A,1,)=,路口3,路口2,路口1,路口3,路口2,路口1,p=1/2,，,第二十一页，共一百页。,路口3,路口2,路口1,路口3,路口2,路口1,第二十二页，共一百页。,X,0,1,2,3,p,1/2,1/4,1/8,1/8,概率分布：,第二十三页，共一百页。,二项分布,贝努里概型和二项分布,例 设生男孩的概率,(gil),为p，生女孩的概率,(gil),为,q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩的个数。,我们,(w men),来求,X,的概率分布。,第二十四页，共一百页。,X,表示,(biosh),随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，,生男孩的概率为,p,.,X,=0,X,=1,X,=2,X,=3,X,=4,第二十五页，共一百页。,设试验,E,只有两个结果：,和，记:,将,E,独立地重复,n,次，则称这一串重复的独立试验为,n,重贝努利,(,Bernoulli,),试验，简称为,贝努利,(Bernoulli),试验,第二十六页，共一百页。,在,n,重贝努利试验中,，事件,(shjin),A可能发生,0,1,2,n,次,称,X,服从,(fcng),参数为,p,的,二项分布,(,binomial,)。,记作：,当,n,=1时，,P,(,X,=,k,)=,p,k,(1-p),1-k,k=0,1,即0-1分布,(fnb),第二十七页，共一百页。,（,2,）每次试验只考虑两个互逆结果,A,或 ，,贝努里概型对试验结果没有等可能,(knng),的要求，但有下述要求：,1每次试验,(shyn),条件相同；,且,P,(,A,)=,p,，；,3各次试验,(shyn),相互独立。,二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功次数 X 的概率分布。,第二十八页，共一百页。,二项分布 的分布特点：,X,B,(,n,p,),当(n+1)p为整数时，二项概率,(gil),P(X=k)在 k=(n+1)p 和 k=(n+1)p-1 处到达最大值；,当(n+1)p不为整数时，二项概率,(gil),P(X=k)在 k=(n+1)p 到达最大值。,计算,第二十九页，共一百页。,例5 100个产品中有5个次品,(cpn),，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品,(cpn),的概率。,解:,依题意,(t y),，,p,=0.05,设,X,为所取的3个中的次品,(cpn),数。,则,X,B,(3,0.05),于是，所求概率为,：,计算,第三十页，共一百页。,例6设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人,(gng rn),的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。,第三十一页，共一百页。,X=第1人维护的20台中同一时刻故障台数；,Ai：第i人维护的20台故障不能及时,(jsh),维修,i1，2，3，4；,解：,按第一种方法,(fngf),。,而Xb20，0.01，故有80台中发生故障而不能及时维修,(wixi),的概率为：,计算,第三十二页，共一百页。,设：,Y,=80台中同一,(tngy),时刻发生故障的台数；,按第二种方法,(fngf),。,N,),N,),n,大，,p,小，,np,=3，,用 =,np,=3,的泊松近似,我们求满足,的最小的,N,.,第四十一页，共一百页。,查泊松分布,(fnb),表得,N,+1 9，,即,N,8,即至少需配备,(pibi),8个维修人员.,计算,第四十二页，共一百页。,x,定义,(dngy),设,X,为随机变量，,x,是任意,(rny),实数，,称函数,(hnsh),为,X,的,分布函数,。,几何意义：,X,x,2.3 随机变量的分布函数,第四十三页，共一百页。,分布函数的根本,(gnbn),性质,单调性,有界性,右连续性,鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分,(chngfn),必要条件。,第四十四页，共一百页。,x,由定义知,X,落在区间,(q jin),(,a，b,里的概率可用分布函数来计算：,b,a,第四十五页，共一百页。,a,x,a,a-x,x,第四十六页，共一百页。,用分布函数,(hnsh),表示概率,请,填,空,第四十七页，共一百页。,解,：,X,的分布,(fnb),律为,X,0,1,2,p,7/15,7/15,1/15,例1,求例2中的分布函数 并作图.,第四十八页，共一百页。,0,1,2,x,分布,(fnb),函数为,x,x,x,x,第四十九页，共一百页。,0,1,2,x,1,F(x),的图形为:,7/15,7/15,1/15,第五十页，共一百页。,一般,(ybn),情形为:,x,2,x,1,x,1,x,n,x,k,p,k,p,2,p,1,p,n,x,第五十一页，共一百页。,例2,设随机变量,(su j bin lin),X的分布函数为:,试求：1系数,(xsh),A，B;,2X落在-1，1内的概率,解：,由性质,(xngzh),第五十二页，共一百页。,柯西分布,(fnb),函数,第五十三页，共一百页。,离散随机变量的分布,(fnb),函数,F,(,x,)是分段,(fn dun),阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度,p,k,第五十四页，共一百页。,x,y,y=f(x),2.4,连续型随机变量,(su j bin lin),及其概率密度,几何,(j h),意义,x,X,返回,第五十五页，共一百页。,对任意,(rny),实数 x，假设随机变量 X 的分布函数可写成：,定义,(dngy),2.3,其中 ，则称,X,是,连续型随机变量,，称,f,(,x,)为,X,的,概率密度函数,，简称为,密度函数,或,概率密度,。,记为:,第五十六页，共一百页。,概率密度,f(x),的性质,(xngzh),常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中,(qzhng),的未知参数。,1.,2.,第五十七页，共一百页。,3.,在,f,(,x,),的,连续点,处有,4.,对连续型随机变量,(su j bin lin),X,有：,1.,2.,3,.,图形,第五十八页，共一百页。,例1 某型号,(xngho),电子管的使用寿命 X 为连,续随机变量，其密度函数为：,(1),求,常数,(chngsh),c,；,(2)计算,(3)一设备装有3个这样的电子管，每个电子管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时,(xiosh),只有一个损坏的概率。,第五十九页，共一百页。,解：,(,1,),令,c=1000,(2),第六十页，共一百页。,(3),设A 表示,(biosh),一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初,(zuch),1500小时三只晶体管中损坏的只数为,Y,第六十一页，共一百页。,例2,设随机变量,(su j bin lin),X,的分布函数为：,(1)求,X,取值在区间,(q jin),(0.3，0.7)的概率；,(2)求,X,的概率密度。,解:(1)P(0.3X 0为未知参数,(cnsh),，那么称 X 服从参数,(cnsh),为，的正态分布，记为：,正态分布,第六十八页，共一百页。,正态分布有广泛的应用，如地区,(dq),的年降雨量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。,第六十九页，共一百页。,0,-,+,x,y,正态分布密度,(md),函数,第七十页，共一百页。,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,动态,(dngti),演示,第七十一页，共一百页。,称,X,服从,标准正态分布,概率密度函数为：,分布函数为：,的函数值可查,正态分布表,。,例：,0.8413,记为：,第七十二页，共一百页。,对标准,(biozhn),正态分布，有：,0,x,-x,第七十三页，共一百页。,引理：,第七十四页，共一百页。,于是：,第七十五页，共一百页。,例3：,第七十六页，共一百页。,第七十七页，共一百页。,这在统计学上称作“,3 准则,”,（,三倍标准差原则,）,。,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内.,第七十八页，共一百页。,分位点,则 称为标准正态分布的,上 分位点,。,0,第七十九页，共一百页。,常用 值：,0.001,0.005,0.01,0.025,0.05,0.10,3.090,2.576,2.327,1.960,1.645,1.282,第八十页，共一百页。,2.5 随机变量函数,(hnsh),的分布,问题,(wnt),的提出,在实际中，人们常常对随机变量,(su j bin lin),的函数,更感兴趣.,例如，t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率,W=V,2,/R,的分布,第八十一页，共一百页。,设随机变量X 的分布,(fnb),，Y=g(X)(设g是连续函数，如何由 X 的分布,(fnb),求出 Y 的分布,(fnb),？,这个问题无论在实践中还是在理论,(lln),上都是重要的。,下面,(xi mian),进行讨论。,第八十二页，共一百页。,例,离散,(lsn),型随机变量函数的分布,求,Y,1,=,2X,1 与,Y,2,=,X,2,的分布,(fnb),律,解:,X,-1,0,1,2,p,1/8,1/8,1/4,1/2,Y,1,-3,-1,1,3,p,1/8,1/8,1/4,1/2,Y,1,=,2X,1 的分布,(fnb),律:,第八十三页，共一百页。,解:,Y,2,0,1,4,p,1/8,3/8,1/2,X,-1,0,1,2,p,1/8,1/8,1/4,1/2,Y,2,=,X,2,的分布,(fnb),律:,第八十四页，共一百页。,结论,(jiln),设随机变量,(su j bin lin),X,的分布律为：,由函数 g(x)可求出随机变量 Y 的所有,(suyu),可能取值，那么 Y 的概率分布为：,第八十五页，共一百页。,连续型随机变量函数,(hnsh),的分布,分布,(fnb),函数法,问题,(wnt),：,方法：,第八十六页，共一百页。,例,2,设随机变量X具有概率密度,解：,y,x,y,y,第八十七页，共一百页。,第八十八页，共一百页。,x,0,1,y,例3,设,X,的概率密度函数为:,求,的概率密度函数,解:,y,y,y 0,0,arcsin,y,-,arcsin,y,1,y,第八十九页，共一百页。,0,y 0,1,0,y 0,1,第九十页，共一百页。,0,y 0,1,0,y 0,1,第九十一页，共一百页。,第九十二页，共一百页。,定理,(dngl),设随机变量X具有概率密度 又设函数,g(x),处处可导且恒有 （或有 ），则,Y=g(X),是连续型随机变量，其密度函数为：,h(y),是,g(x),的反函数。,第九十三页，共一百页。,x,y,y,证明,(zhngmng),：,设,0,1,第九十四页，共一百页。,设,第九十五页，共一百页。,y,x,设,y,0,1,+,1,第九十六页，共一百页。,综合,(zngh),之，得到定理。,第九十七页，共一百页。,例4,设,证：,证明,(zhngmng),：Y也服从正态分布。,第九十八页，共一百页。,特别,(tbi),，当,第九十九页，共一百页。,内容,(nirng),总结,本资料来源。可见，随机事件这个,(zh ge),概念实际上是包容在随机变量这个,(zh ge),更广的概念内。末等奖4万名，奖金4元。两点分布(01分布)。q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩的个数。在n重贝努利试验中，事件A可能发生0,1,2,。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台。而Xb20，0.01，故有80台中发生故障而不能及时维修的概率为：。第二种方法优于第一种方法。分布函数法,第一百页，共一百页。,