七(下)培优训练(二)实数(提高版).doc

培优提高 重在平时
培优训练二：实数（提高篇）
（一）【内容解析】
（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；
要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；②符号概念：若，那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么。
（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；
②在算术平方根中，其结果是非负数，即≥0；
③计算中的性质1：（a≥0）；
④计算中的性质2：；
⑤在立方根中，（符号法则）
⑥计算中的性质3：；
（3）实数的分类：

（二）【典例分析】
1、利用概念解题：
例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。

练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。

2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。

例2、已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求的值。

2、利用性质解题：
例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．

变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是 ；
②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为 。
例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值

例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

例4．已知与互为相反数，求的值.

练习： 1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。

2. 若（x－3）2＋=0，求x＋y的平方根；

3. 已知求的值.

4. 当x满足下列条件时，求x的范围。
① =x－2 ② = ③=x

5. 若，则的值是

6. ①中x的取值范围是________；②中x的取值范围是________；
③中x的取值范围是________；④中x的取值范围是________；
7. 若x＝5，则＝________；若，则x－1＝________．

3、利用取值范围解题：
例1. 已知有理数a满足，求的值。

例2. 已知实数x，y满足,则的值是　　　．

例3. 已知= 。

例4. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，则的值是 。

4、利用估算比较大小、计算：
比较大小的常用方法还有：
①差值比较法：
如：比较1－与1－的大小。
解 ∵（1－）－（1－）=－＞0 ， ∴1－＞1－。
②商值比较法（适用于两个正数）
如：比较与的大小。
解：∵÷=-1＜1 ∴＜
③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。（以后介绍）
④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
如：当0<x<1时，，，的大小顺序是____________。
解：（特殊值法）取=，则：=，=2。∵＜＜2，∴＜＜。
⑤估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例1．比较与的大小

例2．若的小数部分是a， 的小数部分是b，求a+b的值。

例3. 设则A、B中数值较小的是 。

练习：1.估计＋1的值是（ ）
（A）在2和3之间 （B）在3和4之间 （C）在4和5之间 （D）在5和6之间
2．比较大小：① 1；②3 2.1（填“>”、“<”）

5、利用数形结合解题：
例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+的结果是（ ）
a
0
b

A、2b B、2a
C、－2a D、－2b
0

1

C
A
B

例2 如图，数轴上表示1、的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
A、－1 B、1－
C、 2－ D、－2
例3 若实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：
．

练习：1.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，那么可以化简为( )
A．2c－a B．2a－2b C．－a D．a

2．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在( )
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边

6、实数的计算
例1.计算：①(-) ②

练习：（1）； （2）；

例2、解方程（x+1）2=36.

练习：（1）　　　 　（2）

（3）8x3－27＝0； （4）(x－1)2－121＝0．

（三）【常见错误诊断】
1、混淆平方根和算术平方根：
①由-3是9的平方根得：=-3。 ②由81的平方根是±9得=±9
③是5的平方根的相反数
2、混淆文字表示和符号表示：
①的算术平方根是4； ②的立方根是4
3、概念理解不透彻：
（1）平方根、算术平方根的概念不清：
①是6的平方根；②6的平方根是；③与互为相反数；
④a的算术平方根是
填空：①计算的结果是________； ②的算数平方根是________；
③25的算数平方根是________； ④5的算数平方根是________；
⑤9的平方根是________； ⑥(－1)2的算数平方根是________；
⑦的算数平方根是________； ⑧－8的立方根是________．
（2）无理数的概念不清：
①开方开不尽的数是无理数； ②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；
填空：在-1.414，，π， 3.，2+，3.212212221…，，，0.303003.这些数中，无理数的个数有 个；
4、计算错误：
①=；②③④若x2=16，则x==4.
5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）
①若代数式有意义，则的取值范围是
②若代数式有意义，则的取值范围是
6、公式用错：
①；②=3.14-π；②若c满足，则c=-3

（四）【巩固练习】
1．
B. 8 C. D.2
2．如果，那么y 的值是（ ）
A. 0.0625 B. —0.5 C. 0.5 D .±0.5
3．下列说法中正确的是（ ）
　A.的平方根是±3 　B.1的立方根是±1　 C.=±1 　D.是5的平方根的相反数
4．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
5．若=3.136，则=（ ）
A、0.03136 B、0.3136 C、±0.03136 D、±0.3136
6．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0
C . 7 2 的平方根是7 D. 负数有一个平方根
8．若-3，则的取值范围是( ).
A. ＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤3
9．若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为（ ）
A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对
10. 在，3.1415926，，，，这6个数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。
12．若和都是5的立方根，则= .
13．观察下列各式：，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则＝ .
14．由下列等式：，，……所揭示的规律，可得出一般的结论是 （用字母n表示，n是正整数且n>1）。
15．比较下列实数的大小：① 12 ② 0.5；
16．一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。
17．计算：
① ②

18．已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是的整数部分，求的平方根。

19．已知a、b满足，解关于的方程

20．若，，，求a+b的值

21. 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，求（x-1）2+(+8)2的平方根。

22．已知点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且a、b满足，点C是数轴上不同于A、B的一动点，其对应的数为c。
（1）若C运动到使AB=BC时，求点C所对应的数；

（2）若c满足，试化简：

（3）当C运动某一位置时，实数c满足，试求线段BC的长.

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