数学学习及教学解读方法□○.doc

数学学习和教学的解读方法——□○
【关键字】数学学习方法；数学教学方法；数学解读；方圆数学
【摘要】“□○”解读方法指用方圆的形状（□○）和词义（方法、准则；随宜；变通）通过涂画的动作加以简明的语言对数学公式、法则、定理、概念等结构（或形式、内含）通俗化、直观化、概括化的一种表示方法和解读思维。“□○”解读方法具有简洁性、直观性、一般性。例：加法交换律可以表示成 □+○=○+□ 能更好地体现这个运算律的含义. 因为对于现行教材中的：a+b=b+a，大部分学生不能把它理解为：（a+b）+c=c+（a+b）； “□○”在高中数学学习及教学中更能体现出其优越性。如：f(x+1)=2x+3即f(x+1)=2(x+!)+1，解读为f(○)=2○+1 ，其中○=x+1即f(x)=2x+1
（一）导 言
本人确信，最好的方法是最原始的，是易于理解的，也是最根本的方法，甚至是常识。
我们在数学学习和教学中，常常遇到有些数学内容在讲解和分析的过程足可以控制在很短时间内到位的情形，这诱使我，在该学科领域寻求一种简洁而相对有一般性的一个数学学习和教学的方法——寻求一个常识，一个早期没有被人们引起特别关注的，孕育着真理的常识。这个常识有待于我们用新的视角和独特的思维精心打造，通过实践——认识——实践——再认识相互作用过程的检验和概括，逐步形成系统的好方法，然后融入学习体系中。
数学的数量关系和空间形式都可以理解为“结构”。数学学习就是对数学符号的学习，表现为对符号的处理。如何使你对数学符号学得更快，那就是你用你所有的“智力”和感觉——通过音乐、节奏、韵律、图画、记号、情感和动作。符号是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物。这启发了我后文中的方块儿圆圈儿符号“□○”。
我想，数学学习和教学也应存在其特种记号，能使学习和教学变得更容易。再形象点来说就是把符号搭建成种种数量或空间结构再用新的记号解读，然后呈现给学习者。
（二）“□○”数学学习和数学教学解读方法概述
“□○”解读方法指用方圆的形状（□○）和词义（方法、准则；随宜；变通）通过涂画的动作加以简明的语言对数学公式、法则、定理、概念等结构（或形式、内含）通俗化、直观化、概括化的一种表示方法和解读思维。“□○”解读方法具有简洁性、直观性、一般性。
例：加法交换律可以表示成 □+○=○+□ 能更好地体现这个运算律的含义. 因为对于现行教材中的：a+b=b+a，大部分学生不能把它理解为：（a+b）+c=c+（a+b）；
“□○”在高中数学学习及教学中更能体现出其优越性。如：f(x+1)=2x+3即f(x+1)=2(x+!)+1，解读为f(○)=2○+1 ，其中○=x+1即f(x)=2x+1
一、动机——数学的学习和教学中也需要一种符号语言来解读。
1.在数学教学中教师要帮助学生准确理解概念，从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表达出来，进而使学生用数学知识去解决实际问题，正确理解数学符号的意义。学生是从体会具体数学问题情境到学生用特别意义的符号来抽象表示的过程中学习数学，而一些数学符号语言内容所代表的内涵极为丰富，学生在学习符号运算过程中的困难是：不容易真正地认识、理解字母表示数的意义，理解符号表示的意义，教师只用一般的言语表述会到一定的局限性。教学实施过程中能否形象、直观、自然地正确描述数学知识点是课堂效率的决定性因素。
2.解读符号对于数学的学习和教学是积极的、重要的，它可使人们摆脱数学符号自身的抽象与约束，集中精力于主要环节。本人认为，没有解读符号的数学，起码在数学学习和教学领域内是不完善的。正如数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了。数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学的学习和教学领域是特殊的领域，他的发展本身与符号语言直接相关。4.数学的学习和教学在某种程度上数学符号的运用得当与否，没有符号或符号不恰当、不简练，是必都会影响到数学的推理和演算。简练、方便的数学解读符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便！
3.在数学学习和教学中能否找到合适的符号解读数学符号，这需要创新。 我的教学实践中，通过引入一种辅助记画符号“□○”，结果是非常有效的。
二、“□○”功能——使数学概念、数学关系、数学符号直观、形象、清晰，自然地外显。
“□○”是对数学符号语言的再表示，用以解读数学概念、数学关系、数学符号的新型辅助记画符号，是对数学学习和教学的一种有效方法。最大的优势是可以使数学概念、数学关系、数学符号的一般性、抽象性、简洁性达到直观、形象、清晰，自然地外显。
数学解读符号的作用主要包括：表示数量关系（规律）,表示公式、解释关系，说明规律；延伸思维过程,通过实施运算和推理；借助“□○”符号，人们可以将看不见的思维过程转化为可视的符号操作过程，便于深入进行思维。解决问题,用于建立数学模型的基础，推测结论。
三、“□○”特点—— 简洁性、直观性、一般性
“□○”数学解读符号具备的特点:一是简洁性，也正像是数学符号简化了复杂的数学理论,且把远离的数学理论巧妙地联系起来.数学解读符号“□○”使数学学习和教学的过程得以简化；二是直观性，直观明了地告知信息，使解决问题的思路顺畅，提高效率；三是一般性，改进表述方式、方法，即创造性改写符号，不改变其结构和本质,简化叙述, 准确、直观地提取抽象模型。
四、“□○”目标——符号感建立、培养、应用
1.重视情境教学,帮助学生去认识与理解符号感，体验情境中对符号的需求,引导学生去感知与顿悟，遵循认知规律、渗透数学思想方法,循序渐进地让学生建立并发展符号感.应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律．给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程．利用实践性课程，让学生参与解决问题的实践活动，亲身体会符号的优越性．
2.个人技能提升。在数学学习中 “符号感”的建立及培养是重点任务。因为在形成后的”符号感”运用中能培养综合概念技能，能够启发将同一或类似概念应用到其他地方；能使数学的学习或教学做得更快、更好、更轻松；以至于能培养应用于你所做一切事情的个人技能和态度。
（三）“□○”数学学习和数学教学解读方法实践举例
一、“□○”在数学知识的基础知识上的实践。
例1：已知f(x)=x+2x，求f(x-1)的解析式。
□○解读: f(x)=x+2x等价于f( ○ )= ○ + 2 ○，把x-1看成○
解：f( x-1 )=(x-1) + 2(x-1) = x-1
练1：已知f(x+1)=2x-3，求f(x)的解析式。 答案：f(x)=2x-5
二、“□○”在数学知识的解题方法技巧上的实践。
例2：若f (m+2)=2m-3,求 f(5)=___
□○解读:: 假设式子f(5)= □ ，它等价于f ( □ )=5 ；这里利用了反函数的反思维。
又f (m+2)=2m-3
所以, 2m-3=5 且m+2=□，
解得,m=4  ，□=4+2=6即f(5)=6。
练2：已知，求___ 答案：

三、“□○”在数学知识的难点突破上的实践。
例3：已知数列{}中，=3 + 2(n>1)，求。
分析：由=3 + 2变形得
+1=3(+1)
□ ○表示：若涂画（+1）为□，
则（ +1）=□
从而，□=3 □ 就更加明了了
即新数列{□}为等比数列。

四、“□○”在数学知识的对抽象概念通俗化上的实践。
例4：已知f(x+1)的定义域是[1 , 2],求f(x)的定义域。
 □○解读：定义域：指自变量 x的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 。对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射；根据对应法则不变性可得到f ( )中括号的取值范围不变。
   解： 因为f(x+1)的x的取值范围[1,2],(  )里的取值范围是[2,3]
           所以f(x)的(  )里的取值范围也应是[2,3] ,也就是
f(x)的x的取值范围[1,2],即f(x)的定义域是[1,2]。  

练4：①已知f(x)的定义域是[2 , 3],求f(x+1)的定义域。
 解：f(x+1)中的x ∈[1 , 2],  x+1∈ [2 , 3] 根据对应法则不变性
       f (x) 中的   x  ∈ [2 , 3],   
即    f (x)的定义域是[2 , 3]

②已知函数f(x)的值域是[1,2],求函数f(x-2)的值域。
□ ○解读：根据对应法则不变性，由已知知道f(□)∈[1,2] ，
令□=x-2 答案：[1,2]
 五、“□○”在数学公式的应用上的实践。
例5：解不等式|2x-1|<3
□○表示：把2x-1看成□，|□|<3的解先表示为-3<□<3
则-3<2x-1<3 ，解得，-1<x<2

练5：化简：(a-b+c)(a+b-c)=
□○解读：平方差公式：(□+○) ( □-○) =□-○
解：把 a看成□，b-c看成○，则
原式=a-(b-c) =a-b-c+2bc
 六、“□○”在数学定义的理解上的实践。
例6：已知y-1与x成正比例函数，当x=1时,y=3，求y与x的函数解析式。
□○解读：正比例函数：形如y=kx (k为不等于零的常数)
若□与○成正比例函数，则 □=k○
y-1与x成正比例函数 表示为 y-1=kx
再用待定系数法——设、列（有点就有坐标,有坐标就有方程）、解、写四步骤。
 七、“□○”在数学知识性质应用方面上的实践。
例7：求y=sin(2x+π/3)的对称轴方程。
□○解读：根据正弦函数图象性质：y=sin□的对称轴方程是□ =π/2+kπ得，2x+π/3=π/2+kπ，
解得x=π/12+kπ/2 （k∈Z）
（四）“□○”数学学习和数学教学解读方法推广
推广：

（1）加法交换律： □+○=○+□
（2）例：下列函数一定与f(x)=2x是同一函数的序号是（ ①②③    ）
① f(t)=2t  ②f(□)=2□ 
② ③f(○)=2○  ④f(x+1)=2(x+1)
□○解读：定义域和解析式分别相同的函数是同一函数
    解： ①中的t取值范围、②中□的取值范围、③中○的取值范围  都是全体实数；  ④中x的取值范围（仿例4求法）也是全体实数；①②③的解析式与已知f(x)=2x也相同。但④的解析式与条件中不相同。

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