第三章微分中值定理小结.doc

第三章 小结
学院：创新实验学院 专业：生物技术 班级：102
姓名：许健龙 学号：2010015065 日期：2010-12-5
一、 微分中值定理
1) 罗尔定理（拉格朗日中值定理的特殊情况）：表述，推导
2) 拉格朗日中值定理：表述，推导，几何意义
A. 推论1：如果函数在区间Ι上的导数恒为零，那么在区间Ι上是一个常数。
B. 推论2：若在上成立，，那么
注*
C. 推出有限增量公式
D. 推广：泰勒中值定理
3) 柯西中值定理：表述，推导
二、 洛必达法则
1) 型：定理1（）；定理2（）
2) 型：定理1（）；定理2（）
三、 泰勒公式
1) 泰勒中值定理：表述，推导
2) 泰勒公式
A. 拉格朗日余项

B. 佩亚诺型余项
C. 阶泰勒多项式

D. 带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式

E. 带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式

F. 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式
；
G. 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

3) 几种常见的微分公式
A.
其中；
B. ；
C.
其中
D.
其中；
E.
其中；
四、 函数的单调性与曲线的凹凸性
1) 单调性的判定：设函数在上连续，在内可导；1、如果在内，那么函数在上单调增加；2、如果在内，那么函数在上单调减少。
注*一般的，如果在某区间的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或）负时，那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。
2) 曲线的凹凸性与拐点：定义1；定义2；判定。
注*拐点的切线必定穿过曲线
五、 函数的极值与最大值最小值
1) 极值定义
A. 必要条件：设函数在处可导，且在处取得极值，那么。
B. 第一充分条件：设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导；1、若时，，而时，则在处取得极大值；2、若时，，而时，则在处取得极大值；3、若时，的符号保持不变，则在处没有极值。证明
C. 第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且，那么1、当时，函数在处取得极大值；2、当时，函数在处取得极小值。证明
D. 步骤：1、求出导数；2、求出的全部驻点与不可导点；3、考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；4、求出各极值点的函数值，就得函数的全部极值
2) 最大值最小值（一般列表求简便）
六、 函数图形的描绘
A. 确定函数的定义域及函数所具有的某些特征（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数；
B. 求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；
C. 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；
D. 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
E. 算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步得到的结果，联结这些点画出函数的图形。
注*渐进线的求法1、水平：；2、铅直：；3、斜渐近线：且则
七、 曲率
1) 弧微分
A. 弧微分公式
B. 推导方法
2) 曲率及其计算公式
A. 曲率公式
1、
2、参数方程推导出
3) 曲率圆与曲率半径（曲率中心、曲率半径、曲率中心的定义）
曲率中心的计算公式
注*曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数