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映射1.函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素2.映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。思考：映射与函数有什么区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数3）映射与函数都是特殊的对应思考：有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A B就叫做A B的函数。记作：y=f (x).（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域。定义：给定一个集合A到集合B的映射，且aA， bB。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 给定映射f：AB。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。例1：说出下图所示的对应中，哪些是到的映射？ （5） （6） （7） （8）答：（1）（2）（3（6）不是A到B的映射；（4）（5）（7）（8）是A到B的映射。变式练习：说出下图所示的对应中，哪些是到的映射？ 答 是从B到A的映射。问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义：一般地，设A、B是两个集合。f：AB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一 一映射。 单射满射一 一 映射注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。 2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3）一 一映射 A和B中元素个数相等。例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,对应法则 f：a b = (a-1)2 答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。）2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,对应法则 f：求平方根答：不是映射。3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值答：不是映射。4）A=11,16,20,21,B=6,2,4,0,对应法则 f：求被7除的余数答：是映射，且是一一映射。例3：已知集合，(x,y)|x,y，f是从到的映射f:x(x+1,x2) .（）求在B中的对应元素（）(2,1)在中的对应元素解:（1）将x=代入对应关系，可得其在中的对应元素为（+1，2） （2）由题意得： x+1=2 x2=1 x=1 即（2,1）在A中的对应元素为1例4：设集合A=a、b,B=c、d、e（1）可建立从A到B的映射个数 .（2）可建立从B到A的映射个数 .答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有 nm 个。练习1设f:AB是集合A到集合B的映射，则正确的是 （ ）AA中每一元素在B中必有象 BB中每一元素在A中必有原象CB中每一元素在A中的原象是唯一的DA中的不同元素的象必不同2集合A=3,4,B=5,6,7,那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.3设集合A和B都是自然数集N，映射f:AB把集合A中的元素n影射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.54如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ）A.（3，1） B.（） C. （） D.（-1，3）5.已知点(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， 求(1)点（，）在映射f下的像；（）点(4，6)在映射f下的原象. 6.设集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a,其中a,kN,映射f:AB，使B中元素y3x1与A中元素x对应，求a及k的值. 1A 2.9. 3.C 4.B 5.答：(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）6.答： a2 , k5 3