映射资料.doc

映射
1.函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数．
函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应
这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素
2.映射的概念
一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数——建立在两个非空数集上的特殊对应
映射——建立在两个非空集合上的特殊对应
1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．
2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．
3）映射与函数都是特殊的对应
思考：有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？
①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.
3.用映射定义函数
(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A → B就叫做A → B的函数。记作：y=f (x).
（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。
（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域。
定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A， b∈B。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

给定映射f：A→B。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。
例1：说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？

（5） （6） （7） （8）
答：（1）（2）（3（6）不是A到B的映射；（4）（5）（7）（8）是A到B的映射。
变式练习：说出下图所示的对应中，哪些是Ｂ到Ａ的映射？

答： 是从B到A的映射。

问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？

答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。
（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。
定义：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一 一映射。
单射
满射

一 一 映射

注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。
2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件
3）一 一映射： A和B中元素个数相等。

例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？
1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f：a →b = (a-1)2
答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。）
2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f：求平方根
答：不是映射。
3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f：求被7除的余数
答：是映射，且是一一映射。

例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) .
（１）求在B中的对应元素
（２）(2,1)在Ａ中的对应元素
解:（1）将x=代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（+1，2）
（2）由题意得： x+1=2
x2=1 ∴x=1 即（2,1）在A中的对应元素为1
例4：设集合A={a、b},B={c、d、e}
（1）可建立从A到B的映射个数 .
（2）可建立从B到A的映射个数 .
答：9,8（可以试着画图看看）
小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有 nm 个。
练习
1．设f:A→B是集合A到集合B的映射，则正确的是 （ ）
A．A中每一元素在B中必有象
B．B中每一元素在A中必有原象
C．B中每一元素在A中的原象是唯一的
D．A中的不同元素的象必不同
2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是_______，从B到A的映射个数是__________.
3．设集合A和B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n影射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4．如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ）
A.（3，1） B.（） C. （） D.（-1，3）
5.已知点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)， 求(1)点（２，３）在映射f下的像；（２）点(4，6)在映射f下的原象.

6.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值.

1A 2.9. 3.C 4.B 5.答：(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）
6.答： a＝2 , k＝5
3